Category Archives: Đại số

Đại cương hàm số – Bài giảng

Leave a reply

1. Hàm số là gì?

a. Định nghĩa. Cho tập $D \neq \emptyset$, một quy tắc cho tương mỗi phần tử $x \in D$ với một và chỉ một phần tử $y \in \mathbb{R}$ được gọi là hàm số. Kí hiệu

$f: D \to \mathbb{R}$

      $x \mapsto y = f(x)$.

  • $D$ được gọi là tập xác định.
  • $y = f(x)$ được gọi là giá trị của hàm số tại $x$. 

b. Cách cho một hàm số. Các quy tắc có thể cho bởi công thức, ví dụ cho hàm số $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}, y = 2x + 1$. Tập xác định là $\mathbb{R}$.

Khi cho hàm số bởi công thức, nếu không nói gì đến tập xác định thì quy ước tập xác định trong trường hợp này là tập các giá trị $x$ để biếu thức có nghĩa.

Ví dụ 1. Cho $y = \dfrac{2}{4x-1}$. Thì biểu thức có nghĩa khi $4x -1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{1}{4}$. Do đó tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus {\dfrac{1}{4}}$

2. Sự biến thiên của hàm số

  • Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $I$. Ta nói $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
  • Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $I$. Ta nói $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = f(x) = 2x – 3$.

Chứng minh rằng hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải. Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}, x_1 < x_2$. Ta có $f(x_1) – f(x_2) = (2x_1-3) – (2x_2-3) = 2(x_1 – x_2) < 0$, suy ra $f(x_1) < f(x_2)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{1}{x}$. Chứng minh hàm nghịch biến trên $(0;+\infty)$,

Lời giải. Lấy $x_1, x_2 \in (0;+\infty), x_1 < x_2$ ta có $f(x_1) – f(x_2) = \dfrac{1}{x_1} – \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}$.

Ta có $x_2 – x_1 > 0, x_1x_2 > 0$, suy ra $f(x_1) – f(x_2) > 0 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty)$.

Chú ý. 

  • $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I, \Rightarrow \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} >0$
  • $f$ đồng biến trên $I$ khi và chỉ khi $\forall x_1, x_2 \in I,  \Rightarrow \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < 0$

3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

a. Cho hàm số $f$ có tập xác định là $D$. Ta nói $f$ là hàm số chẵn nếu thoả

  • $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
  • $\forall x \in D, f(-x) = f(x)$.

b. Cho hàm số $f$ có tập xác định là $D$. Ta nói $f$ là hàm số lẻ nếu thoả

  • $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$.
  • $\forall x \in D, f(-x) = -f(x)$.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. $y = 2x^2 + |x|$

b.$ y = \dfrac{1}{x^3}$.

Lời giải.

a. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$.

$f(-x) = 2(-x)^2+|-x| = 2x^2 + |x| = f(x)$.

Do đó $f$ là hàm số chẵn.

b. Tập xác định là $D =\mathbb{R} \setminus {0}$.

Với $x \in D \Rightarrow -x \in D$.

$f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^3} = \dfrac{-1}{x^3} = -f(x)$.

Suy ra $f$ là hàm số lẻ.

4. Đồ thị của hàm số

a. Định nghĩa. Cho hàm số có tập xác định $f$. Đồ thị hàm số là tập hợp các điểm $(x,y)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ sao cho

  • $x \in D$.
  • $y = f(x)$.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = x^3-3x + 2$. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Lời giải. Gọi $M(x;y)$ là giao điểm của đồ thị với trục hoành, khi đó $y = 0$.

Ta có $M(x;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên $ 0 = x^3-3x + 2 $ giải ra được $x=1, x=-2$.

Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $M_1(1;0), M_2(2;0)$.

Chú ý. Nếu hàm số $y = f(x)$ có đồ thị (C) và hàm số $y = g(x)$ có đồ thị $(H)$. Khi đó hoành độ giao điểm của (C)  và (H) là nghiệm của phương trình $f(x)= g(x)$.

b. Tính chất. 

  • Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
  • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Bài tập rèn luyện

Dạng tìm tập xác định

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số $y= \dfrac{\sqrt{5-6x}-\sqrt{2x+11}}{x^2+3x+2}$.

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2+5x-14}$.
b) $y=\sqrt{x^2-2x+5}-\dfrac{1}{x}$.
c) $y=\dfrac{x^2-2}{(x-2)\sqrt{x+1}}$.
d) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{8-x}$.

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) $y=\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}$.
b) $y=\dfrac{\sqrt{2x-3}}{(x^2-3x+2) \sqrt{7-x}}$.
c) $y =\dfrac{x+\sqrt{x+4}-2 \sqrt{2-x}}{-x^2+4x-3}$.
d) $y=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+\sqrt{2x-1}$.

Bài 4, Tìm $m$ để các hàm số sau xác định trên tập đã chỉ ra:

a) $y=\dfrac{2x+1}{x^2-6x+m-2}$ trên $D=\mathbb{R}$.
b) $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1}$ trên $D=(0, +\infty)$.
c) $y=\sqrt{2x-3m+4}+\dfrac{x-m}{x+m-1}$ trên $D=(0, +\infty)$.
d) $y=\dfrac{x+2m}{x-m+1}$ trên $(0, +\infty)$.

Dạng 2. Sự biến thiên

Bài 1. Chứng minh hàm số $y=\dfrac{x^2-x-1}{x-1}$ đồng biến trên $(- \infty, 1)$ và $(1, + \infty)$.

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
a) $y = 2020x – 2019$ trên $\mathbb{R}$
b) $y = \dfrac{1}{x-2048}$ trên $(2048;+\infty)$.
c) $y = x^3+x$ trên $\mathbb{R}$.
d) $y=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+1}$ trên $(0, + \infty)$
e) $y=\sqrt{x+4+2 \sqrt{x+3}}$ trên tập xác định
f) $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ trên $(1, + \infty)$

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) $y = x^3+x$ trên $\mathbb{R}$.
b) $y=\sqrt{x-4}-\sqrt{x+1}$ trên $(0, + \infty)$
c) $y=\sqrt{x+4+2 \sqrt{x+3}}$ trên tập xác định
d) $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ trên $(1, + \infty)$

Dạng 3. Tính chẵn lẻ và đồ thị

Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=x^4-x^2+1$
b) $y=x^3-3x-4$
c) $y=\dfrac{x^4+x^2}{1-x^2}$
d) $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}$
e) $y=x^3 |x|$
f) $y=\dfrac{|x|}{x^2-4}$
g) $y=\sqrt{x}(x^2+1)$
h) $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{1-x^2}$.

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}}{x^2-x^4}$.
b) $y = \dfrac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{|x|+2}$.

Bài 3. Cho hàm số $y = x^2 -2x-1$, có đồ thị $G$.

a) Nếu tịnh tiến $G$ qua phải hai đơn vị thì được đồ thị hàm số nào?
b) Nếu tịnh tiến qua trái một đơn vị và tịnh tiến lên 3 đơn vị thì được đồ thị hàm số nào?

Bài 4. Cho hàm số $y = \dfrac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}{x^2-1}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số. Từ đó nhận xét về đồ thị của hàm số.

Rút gọn căn thức đơn giản

Leave a reply

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt 8 – \sqrt {48} – 2\sqrt {\dfrac{4}{3}} + 4\sqrt {\dfrac{9}{2}} $.

b) $10\sqrt {28a} + 2\sqrt {175a} – 3\sqrt {343a} + \sqrt {112a} $ với $a \ge 0$.

c) $\sqrt {20 + 2\sqrt {19} }  – \sqrt {30 + 2\sqrt {29} } $.

d) $\sqrt {17 – 4\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } } $.

e) $\sqrt {6 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } $

Giải

a) $3\sqrt 8 – \sqrt {48} – 3\sqrt {\dfrac{4}{3}} + 4\sqrt {\dfrac{9}{2}}$

$= 3\sqrt {2^2.2} – \sqrt {4^2.3} – 3\dfrac{\sqrt {2^2} }{\sqrt 3 } + 4\dfrac{\sqrt {3^2} }{\sqrt 2 }$
$= 6\sqrt 2 – 4\sqrt 3 – 3\dfrac{2\sqrt 3 }{3} + 4\dfrac{3\sqrt 2 }{2} = 12\sqrt 2 – 6\sqrt 3 $

b) $10\sqrt {28a} + 2\sqrt {175a} – 3\sqrt {343a} + \sqrt {112a} $
$= 10\sqrt {{2^2}7a} + 2\sqrt {{5^2}7a} – 3\sqrt {{7^2}7a} + \sqrt {{4^2}7a} $
$= 20\sqrt {7a} + 10\sqrt {7a} – 21\sqrt {7a} + 4\sqrt {7a} = 13\sqrt {7a} $

c) $\sqrt {20 + 2\sqrt {19} } – \sqrt {30 + 2\sqrt {29} } = \sqrt {19 + 2\sqrt {19} + 1} – \sqrt {29 + 2\sqrt {29} + 1} $
$= \sqrt {\left( {\sqrt {19} + 1} \right)^2} – \sqrt {\left( {\sqrt {29} + 1} \right)^2} = \left| {\sqrt {19} + 1} \right| – \left| {\sqrt {29} + 1} \right|$
$= \sqrt {19} + 1 – \sqrt {29} – 1 = \sqrt {19} – \sqrt {29}$.

d) $\sqrt {17 – 4 \sqrt {9 – 4\sqrt 5 } } = \sqrt {17 – 4\sqrt {4 – 2.2\sqrt 5 + 5} } $

$= \sqrt {17 – 4\sqrt {\left( {2 – \sqrt 5 } \right)^2} } = \sqrt {17 – 4.\left| {2 – \sqrt 5 } \right|} $
$= \sqrt {17 – 4\left( {\sqrt 5 – 2} \right)} = \sqrt {25 – 4\sqrt 5 } $.

e)$\sqrt {6 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2 + 1 – 2\sqrt 6 + 2\sqrt 2 – 2\sqrt 3 } $
$= \sqrt {\left ( \sqrt 3  \right )^2 + \left ( \sqrt 2  \right )^2 + 1^2 – 2\sqrt 3 .\sqrt 2 + 2\sqrt 2 .1 – 2\sqrt 3 .1} $
$= \sqrt {\left ( \sqrt 3 – \sqrt 2 – 1 \right )^2} = \left | \sqrt 3 – \sqrt 2 – 1 \right | = \sqrt 2 + 1 – \sqrt 3$.

Bài tập :

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt {24} – 2\sqrt {54} + 3\sqrt 6 – \sqrt {150} $.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $10\sqrt {72} – \dfrac{5}{3}\sqrt {162} + \sqrt {128} – 2\sqrt {50} + \sqrt {98} $.

d) $5\sqrt {12} – 2\sqrt {48} + 6\sqrt {75} – \sqrt {108} $.

e) $\dfrac{3}{2}\sqrt {12} + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} – \dfrac{9}{{10}}\sqrt {300} + \dfrac{{11}}{6}\sqrt {108} $.

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {31 – 8\sqrt {15} } + \sqrt {24 – 6\sqrt {15} } $.

b)$\sqrt {49 – 5\sqrt {96} } – \sqrt {49 + 5\sqrt {96} } $.

c) $\sqrt {15 – 6\sqrt 7 } + \sqrt {43 – 12\sqrt 7 } $.

d) $\sqrt {8 – 2\sqrt {15} } – \sqrt {23 – 4\sqrt {15} } $.

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {10 + 2\sqrt 6 + 2\sqrt {10} + 2\sqrt {15} } $.

b)$\sqrt {6 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } $.

c) $\sqrt {18 – 4\sqrt 6 – 8\sqrt 3 + 4\sqrt 2 } $.

d) $\sqrt {8 + \sqrt 8 + \sqrt {20} + \sqrt {40} } $.

e) $\sqrt {25 – 4\sqrt {10} – 4\sqrt {15} + 2\sqrt 6 } $.

Bài 4: Cho $x=\sqrt{3}-1$

a) Tính: $x^3-3x^2+x-1 $.

b) Chứng minh: $x^2+2x-2=0 $.

c) Tính: $P=\left( x^3+2x^2-x+1\right)^{2020} $.

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt {a+b+c-2\sqrt {ac+bc}} $.

b) $\sqrt {a+b+9c+6\sqrt {ac+bc}}+\sqrt {a+b+9c-6\sqrt {ac+bc}} $.

c) $\sqrt {a-b+4c+4\sqrt {ac-bc}}+\sqrt {a-b+4c-4\sqrt {ac-bc}} $.

Tập hợp

Leave a reply

1. Tập hợp là gì?

  • Tập hợp là khái niệm cơ bản, không có định nghĩa.
  • Kí hiệu tập hợp là các chữ cái in hoa: A, B, C…
  • Trong tập hợp bao gồm các phần tử, tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu $\emptyset $.
  • Phần tử $a$ thuộc tập $X$, kí hiệu là $a \in X$. Phần tử $b$ không thuộc tập $X$ kí hiệu là $b \notin X$.
  • Cách cho tập hợp:
  1. Cho bằng cách liệt kê. Ví dụ $A = \{1, 2, 3, 4, 5 \}$.
  2. Cho bằng đặc trưng của tập hợp $A = \{n \in \mathbb{N}|n \vdots 5 \}$.

2.Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau.

Tập $A$ là tập con của $B$ (hay $A$ chứa trong $B$) khi và chỉ khi mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$.

$(A \subset B) \Leftrightarrow (\forall x \in A \Rightarrow x \in B) $

Ta có các tình chất sau:

  • Tập rỗng là con của mọi tập hợp.
  • Một tập là tập con của chính nó
  • Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.

3. Các phép toán trên tập hợp

a. Giao của hai tập hợp.

$A \cap B = \{x| x\in A \wedge x \in B \}$.

b. Hợp của hai tập hợp.

$A \cup B = \{x|x \in A \vee x \in B$\}$.

c. Hiệu – Phần bù

$A \setminus B = \{x|x \in A \wedge x \notin B \}$

Ví dụ. Cho $A = \{1, 2, 3, 4 \}, B = \{3, 4, 5, 6 \}, C = \{5, 6, 1, 8\}$.

Khi đó $A \cap B = \{3, 4 \}, A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}, A \setminus B = \{1, 2\}, B \setminus A = \{5, 6\}$.

4. Các tập hợp số

a) Tập các số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, …\}$.

Tính chất.

  • Một tập con của $\mathbb{N}$ luôn có phần tử nhỏ nhất.
  • Tập số tự nhiên không có số lớn nhất.
  • Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào.

b) Tập các số nguyên $\mathbb{Z} = \{…,-2,-1,0,1,2,…\}$

c) Tập các số hữu tỉ. $\mathbb{Q} = \{\dfrac{m}{n}|m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}$.

Tính chất.

  • Tổng hiệu tích thương (mẫu khác 0) của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
  • Giữa hai số hữu tỉ bất kì luôn có một số hữu tỉ

d) Tập các số thực. Hợp của tập các hữu tỷ và vô tỷ.

Các tập con của tập các số thực.

Bài tập.

  1. Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}, B = \{2,3, 4, 8 \}, C = \{3, 4, 10, 11 \}$. Tìm $A \setminus B, A \cap B, (A \cup B) \setminus C$.
  2. Cho $A = [-4;2], B = (-1;5), C = (-\infty;0)$. Tìm $\mathbb{R} \setminus A, A \cup B, C \setminus B, (A\cap B) \setminus C$.
  3. Cho hai tập A, B thoả mãn $C_{R}A=(2, +\infty), C_{R}B=(- \infty,1) \cup [3, + \infty)$. Hãy xác định các tập $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$ và phần bù của các tập trên.
  4. Cho $A=[\dfrac{1}{2}, +\infty), B=\{x \in \mathbb{R}: |2x-1| \le 1\}$. Tìm $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$ và phần bù của các tập trên.
  5. Cho $A=(2m-1, 2m+3), B=(-6,1]$. Tìm $m$ để
    a. $A \subset B.$
    b. $B \subset A.$
  6. Lớp 10A có 40 học sinh, trong đó có 15 bạn được xếp học lực giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, 10 bạn vừa học lực giỏi vừa hạnh kiểm tốt.
    a. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết để được khen thưởng thì bạn đó hoặc phải có học lực giỏi hoặc phải có hạnh kiểm tốt.
    b. Lớp 10 A có bao nhiêu bạn chưa có học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hàm số lượng giác

Leave a reply

I. Lý thuyết

  1. Hàm số lượng giác $y=\sin x$ và $y=\cos x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\sin $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số sin và ký hiệu $y=\sin x.$
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x$ với $\cos $ của góc lượng giác có số đo radian bằng $x$ được gọi là hàm số cos và ký hiệu $y=\cos x.$

 

  1. Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$

  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tan và ký hiệu là $y=\tan x$.
  • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực $x \in \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$ với số thực $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtan và ký hiệu là $y=\cot x$.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y=\sin 2x+\dfrac{1}{\cos x}$

b) $y=\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$

c) $y=3\tan \left(x+\dfrac{\pi}{3} \right)$

d) $y=\tan x+\cot x$

Đáp số
 a) Hàm số được xác định khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

  b) Hàm số được xác định khi $\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \ge 0 (1).$ Vì $1+\sin x \ge 0, \forall x$ nên:

$(1) \Leftrightarrow 1 -\sin x >0 \Leftrightarrow \sin x \ne 1$

$\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

 

 c) Hàm số được xác định khi $x + \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định của hàm số là:

$D=\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

  d) $\tan x$ xác định khi $x \ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \cot x$ xác định khi $x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}$.

Do đó $y= \tan x+\cot x$ xác định khi $x \ne k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số sau:

a) $y=-4\cos 2x$

b) $y=\sin^3 4x-3\sin x$

c) $y=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$

d) $y=3\sin x+2\cos x-1$

Đáp số

a) Hàm số $y=f(x)=-4\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x)=-4\cos (-2x)=-4\cos 2x=f(x).$

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

b) Hàm số $y=f(x)=\sin^3 4x-3\sin x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(x-)=\sin^3 (-4x)-3\sin (-x) = -sin^3 4x+3\sin x=-f(x).$ Vậy hàm số là hàm số lẻ.

c) Hàm số $y=f(x)=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x \ne 0$ và $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi}{2}.$ Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R} \setminus \left\{k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Với mọi $x \in D \Leftrightarrow x\ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \ne k\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow -x \in D.$

Ta có: $f(-x)=\dfrac{\tan (-x)+\cot (-x)}{\sin (-x)}=\dfrac{-\tan x-\cot x}{-\sin x}=\dfrac{\tan x+\cot x}{\sin x}=f(x)$.

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

d) Hàm số $y=f(x)=3\sin x + 2\cos x -1$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-4, f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)=2 \Rightarrow f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \ne \pm f\left(\dfrac{\pi}{2} \right)$

Do đó, hàm số không chẵn, không lẻ.

3. Hàm số tuần hoàn

  • Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $\mathbb{D}$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T \ne 0$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{D}$ ta có $x \pm T \in \mathbb{D} \ \text{và} \ f(x+T)=f(x).$
  • Nếu có số dương T nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.
  •  Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
  •  Hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $T= \pi$.
  •  Ta chứng minh được hàm số $y=A \sin (ax+b)+B$ tuần hoàn với chu kì $T=\dfrac{2 \pi}{|a|}.$
  •  Nếu hàm số $y=f(x)$ có chu kì $T_1$, hàm số $y=g(x)$ có chu kì $T_2$ thì hàm số $y=f(x) \pm g(x)$ có chu kì là BCNN của $T_1$ và $T_2$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì là $\pi$.

Đáp số

Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

$\forall x \in D$, ta có: $x \pm \pi \in D;$

$f(x+\pi)=\cos 2(x+\pi)=\cos (2x+2\pi)=\cos 2x =f(x).$

Vậy hàm số $y=\cos 2x$ tuần hoàn.

Ta chứng minh chu kì của hàm số bằng $\pi$.

Giả sử có số T thỏa mãn $0<T<\pi$ và $\cos 2(x+T)=\cos 2x  (*), \forall x$.

Cho $x=0$ khi đó đẳng thức (*) trở thành:

$\cos 2T=\cos 0 \Leftrightarrow \cos 2T=1 \Leftrightarrow T=k\pi.$

Vì $0<T<\pi$ nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$.

II. Bài tập

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\dfrac{3+\sin x}{\cos x}$

b) $y=\tan \left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$

c) $y=\sqrt{1+2\tan^2 x}+\dfrac{3}{\sin x}$

d) $y=\sin\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}$

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=3\sin (x+\pi)+\tan 3x$

b) $y=2\sin^2 x+\cot x -2$

c) $y=\cos^3 x+\dfrac{\tan 3x}{\sin x}$

d) $y=\dfrac{\cos x}{2\sin x-1}$

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y=1-3\sin 5x$

b) $y=\sqrt{4-\cos^2 3x}+1$

c) $y=2\sin^2 x+5\cos 2x-4\cos^2 x$

d) $y=\sin^2 x-2\sin x -3$

Phân tích đa thức thành nhân tử – Hằng đẳng thức

Leave a reply

Cách thực hiện: Vận dụng các hằng đẳng thức  để đưa đa thức về dạng tích các đa thức hay dạng lũy thừa của một đa thức

$A^2 \pm 2AB +B^2=(A \pm B)^2$

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

$A^3 \pm 3A^2B+3AB^2 \pm B^3= (A \pm B)^3$

$A^3 \pm B^3=(A \pm B)(A^2 \mp AB+B^2)$

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $ x^2 – 9 $
b) $ 4x^2 – 25$
c) $ x^6 – y^6$

$(3x+1)^2-(2x+3)^2$

Giải

a) $ x^2 – 9 =x^2-3^2=(x-3)(x+3) $
b) $ 4x^2 – 25=(2x)^2-5^2=(2x-5)(2x+5) $
c) $ x^6 – y^6=(x^2)^3-(y^2)^3=(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4$
d) $(3x+1)^2-(2x+3)^2=(3x+1-2x-3)(3x+1+2x+3)=(x-2)(5x+4)$

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $ x^2 – 9 $
b) $ 4x^2 – 25$
c) $ x^6 – y^6$
d) $ 9x^2 + 6xy + y^2$
e) $ 6x -9 -x^2 $

Giải

a) $x^2-4x+4=x^2-2.2x+2^2=(x-2)^2$
b) $ x^2 +6x + 9=x^2+2.3x+3^2=(x+3)^2$
c)  $ 9x^2 + 6xy + y^2=(3x)^2+2.3xy+y^2=(3x+y)^2 $
d) $ 6x -9 -x^2=-(x^2-6x+9)=-(x^2-2x.3+3^2)=-(x-3)^2. $

Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) $ 27 -125x^3. $

b)  $ x^3 + \dfrac{1}{27}. $
c) $ x^3 – 9x^2+ 27x – 27. $
d) $x^3+3x^2+3x+1$

Giải

a) $x^2-4x+4=x^2-2.2x+2^2=(x-2)^2$
b) $ x^2 +6x + 9=x^2+2.3x+3^2=(x+3)^2$
c)  $ 9x^2 + 6xy + y^2=(3x)^2+2.3xy+y^2=(3x+y)^2 $
d) $ 6x -9 -x^2=-(x^2-6x+9)=-(x^2-2x.3+3^2)=-(x-3)^2. $

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3 – y^6$
b) $x^3 + y^3z^3$
c) $(x-1)^2 – (y-3)^2$
d) $x^4 – 4x^2 + 4$

Daie) $x^2 – 8x + 16$.

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3+8$
b)  $x^3 – 27$
c) $x^3 – 6x^2 + 12x- 8$
d)  $(a^2 + 4ab+ 4b^2) – x^2 $
e)  $x^2 – y^4$.

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $4a^2-b^2$
b) $121-a^2$
c) $196a^2-4b^2$
d) $(a-b)^2-c^2$

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $81(x+7)^2-(3x+8)^2$
b)  $x^2+14x+49$
c) $25x^2-20xy+4y^2$

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^10-4x^8+4x^6$
b) $m^3+27$
c) $8x^6-27y^3$
d) $x^12-y^4$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3+6x^2+12x+8$
b) $27-27m+9m^2-m^3$
c)  $27a^3-54ab+36ab^2-8b^2$

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $ x^2 + 4y^2 + 4xy. $
b) $ (x+y)^2 – (x-y)^2. $
c) $ (3x+1)^2 – (x+1)^2. $
d) $ x^3 + y^3 +z^3 -3xyz. $
e) $ x^3 – \dfrac{1}{4}x. $

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ \dfrac{1}{25}x^2 – 64y^2 $
b)  $ x^3 + \dfrac{1}{27}. $
c)  $ (a+b)^3 – (a-b)^3. $
d)  $ (a+b)^3 + (a-b)^3. $

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 8x^3 +12x^2y + 6xy^2 + y^3. $
b)  $ -x^3 + 9x^2- 27x + 27. $
c) $4x^2-12xy+9y^2$.
d) $x^3+3x^2+3x+1$.

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^4-4x^2y^2+4y^4$.
b)  $ 25x^2 – 16y^2. $
c) $ 27 -125x^3. $

Bài 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2-y^2$
b) $4x^2-9y^2$
c) $(x+1)^2-(y-3)^2$
d) $(2x+1)^2-(2y-1)^2$.

Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3-y^3$
b) $x^3+y^3$
c) $8x^3+27y^3$
d) $x^3-(y+1)^3$.

Bài 13. Tìm $ x $, biết.

a) $ x^3 – 0,25x =0 .$
b)  $ x^2 -10x = -25. $
c)  $ 2-25x^2 =0 .$
d) $ x^2 – x+ \dfrac{1}{4} =0. $

Bài 14. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $8x^3-6x^2+12x-1$
b)  $27x^3+27x^2+9x+1$
c) $x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3$
d) $8x^3-48x^2y+96xy^2+64y^3$

Bài 15. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $(3x+1)^3-(3x-5)^3$
b) $(2x+1)^3+(5-2x)^3$.

Bài 16. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^8 – y^4$
b) $x^3 + y^6$.

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp đặt ẩn phụ

Leave a reply
  1. Đặt ẩn phụ dạng đa thức

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $ 4x^4 -37x^2+9 .$
b) $ (x-y)^2 +4x-4y -12. $
c)  $ (x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10 $

Giải

a) $ 4x^4 -37x^2+9 $

Đặt $t=x^2, t \geq 0$

Ta có:

$4t^2-37t+9$

$=4t^2-t-36t+9$

$=t(4t-1)-9(4t-1)$

$=(4t-1)(t-9)$

Vậy

$ 4x^4 -37x^2+9$

$=(4x^2-1)(x^2-9)$

$=(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3). $

b) $ (x-y)^2 +4x-4y -12=(x-y)^2+4(x-y)-12$

Đặt $t=x-y$

Ta có:

$(x-y)^2+4(x-y)-12$

$=t^2+4t-12$

$=t^2-2t+6t-12$

$=t(t-2)+6(t-2)$

$=(t-2)(t+6)$

Vậy

$ (x-y)^2 +4x-4y -12$

$=(x-y)^2+4(x-y)-12$

$=(x-y-2)(x-y+6).$

c)  $ (x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10 =(x^2 + 3x)^2+7(x^2 + 3x)+10 $

Đặt $t=x^2 + 3x$

Ta có:

$t^2+7t+10$

$=t^2+2t+5t+10$

$=t(t+2)+5(t+2)$

$=(t+2)(t+5)$

Vậy

$ (x^2 + 3x)^2 + 7x^2 +21x +10$

$=(x^2 + 3x)^2+7(x^2 + 3x)+10$

$=(x^2 + 3x+2)(x^2 + 3x+5).  $

2. Đặt ẩn phụ dạng $ (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e $ với $ (a+d = b+c). $

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24$.
b)  $ (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16. $
c)$ (x^2 + 6x +8)(x^2+8x+15) -24. $

Giải

a) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 24$

$=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24$

$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

Đặt $t=x^2+5x+5$

Suy ra

$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

$=(t-1)(t+1)-24$

$=t^2-1-24$

$=t^2-25=(t-5)(t+5)$

Vậy $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$

$=(x^2+5x+5-5)(x^2+5x+5+5)$

$=(x^2+5x)(x^2+5x+10)$

$=x(x+5)(x^2+5x+10)$

b)  $ (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$

$=(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16$

$=(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+16 $

Đặt $t=x^2+10x+20$

Suy ra

$(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+16$

$=(t-4)(t+4)+16$

$=t^2-16+16=t^2 $

Vậy

$(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+16$

$=(x^2+10x+20)^2 $
c)$ (x^2 + 6x +8)(x^2+8x+15) -24$

$=(x+2)(x+4)(x+3)(x+5)-24$

$=(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-24$

$=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24 $

Đặt $t=x^2+7x+11$

Suy ra

$(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24$

$=(t-1)(t+1)-24$

$=t^2-1-24$

$=t^2-25$

$=(t-5)(t+5)$

Vậy

$(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24$

$=(x^2+7x+11-5)(x^2+7x+11+5)$

$=(x^2+7x+6)(x^2+7x+16)$

 

3. Đặt biến phụ dạng đẳng cấp.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)  $ (x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2. $
b)  $ (x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2. $
c)  $ 4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2. $

Giải

a)  $(x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2$

Đặt $ t=x^2+1$, ta được:

$t^2+3xt+2x^2$

$=(t^2+xt)+(2xt+2x^2)$

$=t(t+x)+2x(t+x)$

$=(t+x)(t+2x)$

Vậy

$ (x^2 + 1)^2 + 3x(x^2+1) +2x^2$

$=(x^2+1+x)(x^2+1+2x)$.

b)  $ (x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2. $

Đặt $ t=x^2+4x+8$, ta được:

$t^2+3xt+2x^2$

$=(t^2+xt)+(2xt+2x^2)$

$=t(t+x)+2x(t+x)$

$=(x+t)(t+2x)$

Vậy

$ (x^2 +4x +8)^2 +3x(x^2 + 4x+ 8) + 2x^2$

$=(x+x^2+4x+8)(x^2+4x+8+2x)$

$=(x^2+5x+8)(x^2+6x+8)$.
c)  $ 4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2. $

Đặt $ t=x^2+x+1$, ta được:

$4t^2+5xt+x^2$

$=(4t^2+4xt)+(xt+x^2)$

$=4t(t+x)+x(t+x)$

$=(x+t)(4t+x)$

Vậy

$ 4(x^2 +x +1)^2 + 5x(x^2 + x + 1)+ x^2$

$=(x^2 +x +1+x)[4(x^2 +x +1)+x]$

$=(x+1)^2(4x^2+5x+4)$.

 

4. Đặt biến phụ dạng hồi quy $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0. \left(\dfrac{a}{e} =\left( \dfrac{b}{d}\right)^2\right) $. Hay $ e = \left(\dfrac{d}{b}\right)^2. $

Cách giải:  Đặt biến phụ $ t = x^2 + \dfrac{d}{b} $ và biến đổi đa thức trên về dạng chứa hạng tử $ t^2 +bxy + zx^2 $ rồi sử dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a)  $ x^4 + 6x^3 +11x^2 + 6x+1 $
b) $ x^4 + 5x^3 -12x^2 + 5x +1. $
c) $ 6x^4 + 5x^3 -38x^2 + 5x+ 6. $

Giải

a)  $ x^4 + 6x^3 +11x^2 + 6x+1$

$=x^2\left(x^2+6x+11+\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+11\right]$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow t^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

$x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+11\right]$

$=x^2(t^2-2+6t+11)$

$=x^2(t^2+6t+9)$

$=x^2(t+3)^2$

$=x^2\left(x+\dfrac{1}{x}+3\right)^2.$
b) $ x^4 + 5x^3 -12x^2 + 5x +1. $

$=x^2\left(x^2+5x-12+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)$

$=x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-12\right]$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow t^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

$=x^2\left[\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-12\right]$

$=x^2(t^2-2+5t-12)$

$=x^2(t^2+5t-14)$

$=x^2(t^2-2t+7t-14)$

$=x^2[t(t-2)+7(t-2)]$

$=x^2(t-2)(t+7)$

$=x^2\left(x+\dfrac{1}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{1}{x}+7\right).$

c) $ 6x^4 + 5x^3 -38x^2 + 5x+ 6. $

$=x^2\left(6x^2+5x-38+\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^2}\right)$

$=x^2\left[6\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-38\right]$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x} \Rightarrow t^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

$=x^2\left[6\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-38\right]$

$=x^2[6(t^2-2)+5t-38]$

$=x^2(6t^2-12+5t-38)$

$=x^2(6t^2+5t-50)$

$=x^2(6t^2-15t+20t-50)$

$=x^2(2t-5)(3t+10)$

$=x^2\left[2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-5\right]\left[3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+10\right].$

 

5. Đặt biến phụ dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+ex^2 $ với $ (ad= bc) .$

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $ (x+1)(x-4)(x+2)(x-8) + 4x^2. $
b)  $ (x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+32x^2. $
c) $ (x+2)(x-4)(x+6)(x-12) +36x^2. $

Giải

a) $ (x+1)(x-4)(x+2)(x-8) + 4x^2. $

$=(x+1)(x-8)(x-4)(x+2)+4x^2$

$=(x^2-7x-8)(x^2-2x-8)+4x^2$

Đặt $t=x^2-8 $

$(x^2-7x-8)(x^2-2x-8)+4x^2$

$=(t-7x)(t-2x)+4x^2$

$=t^2-9xt+14x^2+4x^2$

$=t^2-9xt+18x^2$

$=t^2-3xt-6xt+18x^2$

$=t(t-3x)-6x(t-3x)$

$=(t-3x)(t-6x)$

$=(x^2-8-3x)(x^2-8-6x).$
b)  $ (x-1)(x+2)(x+3)(x-6)+32x^2. $

$=(x-1)(x-6)(x+2)(x+3)+32x^2$

$=(x^2-7x+6)(x^2+5x+6)+32x^2$

Đặt $t=x^2+6 $

$(x^2-7x+6)(x^2+5x+6)+32x^2$

$=(t-7x)(t+5x)+32x^2$

$=t^2-2xt-35x^2+32x^2$

$=t^2-2xt-3x^2$

$=t^2+xt-3xt-3x^2$

$=t(t+x)-3x(t+x)$

$=(t+x)(t-3x)$

$=(x^2+6+x)(x^2+6-3x).$

c) $ (x+2)(x-4)(x+6)(x-12) +36x^2. $

$=(x+2)(x-12)(x-4)(x+6)+36x^2$

$=(x^2-10x-24)(x^2+2x-24)+36x^2$

Đặt $t=x^2-24 $

$=(x^2-10x-24)(x^2+2x-24)+36x^2$

$=(t-10x)(t+2x)+36x^2$

$=t^2-8xt-20x^2+36x^2$

$=t^2-8xt+16x^2$

$=(t-4x)^2$

$=(tx^2-24-4x)^2$.

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích  các đa thức sau thành nhân tử:

a)  $ (x^2 +5x)^2 +10x^2 + 50x +24. $
b) $ x^2 + 6xy + 9y^2 – 3(x+3y)+1. $
c)  $ (x^2 +x + 1)(x^2 +x +2) -12. $
d) $(x^2+2x)^2-4(x^2+2x)+3.$
e)$(x^2+x+1)^2-4(x^2+x+1) – 5.$

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)  $(x^2+x-2)(x^2+9x+18) – 28$
b) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 $
c) $(x^2 + 5x+6)(x^2 -15x+56)-144 $
d)$x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
e) $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$c

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $(x-3)(x-5)(x-6)(x-10) – 24x^2 $
b) $(x-1)(x+2)(x+3)(x-6) + 32x^2 $
c) $(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)- 4x^2 $
d) $(x^2+1)^2 + 3x(x^2 + 1)+2x^2 $
e) $(x^2 -x+2)^4 – 3x^2(x^2-x+2)^2 + 2x^4$
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $x^3 – x^2 + x + 3$
b) $x^3 – 3x^2 – 5x +1$
c) $x^3 + 4x^2 – 2x -5$
d)  $2x^3 – 3x^2 – x + 4$
e)  $3x^3 – 2x^2 +5$
f) $-x^3 – 4x^2 + 2x +5$

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-20 $
b) $(x^2 + 5x+6)(x^2 -15x+56)-144 $
c) $x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
d) $(x^2-11x+28)(x^2-7x+10)-72$
e) $(x^2+x-2)(x^2+9x+18) – 28$

 

 

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp thêm bớt (tách) hạng tử

Leave a reply
  1. Phương pháp tách hạng tử

Cách thực hiện: Với tam thức bậc hai: $ ax^2 + bx + c. $

  • Xét tích: $ a\cdot c $.
  • Phân tích $ a\cdot c $ thành tích của hai số nguyên.
  • Xét xem tích nào có tổng của chúng bằng $ b $, thì ta tách $ b $ thành 2 số đó, cụ thể như sau:
    $ b_1+b_2 = b$ và $ a \cdot c = b_1 \cdot b_2. $

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)  $ x^2 -7x +12. $
b)  $ x^2 – 5x -14. $
c) $ 4x^2 – 3x -1. $

Giải

a)  $ x^2 -7x +12=x^2-3x-4x+12$

$= (x^2-3x)-(4x-12)=x(x-3)-4(x-3)$

$=(x-3)(x-4).$
b)  $ x^2 – 5x -14=x^2-7x+2x-14$

$=(x^2-7x)+(2x-14)=x(x-7)+2(x-7)$

$=(x+2)(x-7) $
c) $ 4x^2 – 3x -1=4x^2-4x+x-1$

$=(4x^2-4x)+(x-1)=4x(x-1)+(x-1)$

$=(x-1)(4x+1). $

Với dạng $ax^2+bxy+cy^2$ ta cũng làm tương tự.

Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $3x^2+10xy+3y^2$

b) $2x^2-9xy + 9y^2$.

Giải

a) $3x^2 + 10xy + 3y^2 = 3x^2 + xy + 9xy+3y^2$

$= x(3x+y) + 3y(3x+y)$

$=(3x+y)(x+3y)$.

b) $2x^2-9xy+9y^2 = 2x^2-3xy -6xy + 9y^2$

$=x(2x-3y) – 3y(2x-3y)$

$=(2x-3y)(x-3y)$.

2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Một số trường hợp ta thêm bớt để được hằng đẳng thức $(a+b)^2$ hoặc $a^3-b^3$.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) $ x^4 +4$
b)  $ 64x^4 +1. $
c)  $ 81x^4 +4. $

Giải

a) Phân tích: Ta thấy $x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2$, để có hằng đẳng thức ta thêm bớt hạng tử $2.2x^2 = 4x^2$, khi đó ta có biến đổi sau:

$ x^4 +4=x^4+4x^2+4-4x^2$

$=(x^4+4x^2+4)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2$

$=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x) $

Tương tự ta có thể làm cho các bài sau.
b)  $ 64x^4 +1=64x^4+16x^2+1-16x^2$

$=(8x^2+1)^2-(4x)^2$

$=(8x^2+1-4x)(8x^2+1+4x) $
c)  $ 81x^4 +4=81x^4+36x^2+4-36x^2$

$=(81x^4+36x^2+4)-36x^2$

$=(9x^2+2-6x)(9x^2+2+6x) $

 

Ví dụ 2. Phân tích đa thức $ x^5 + x +1 $ thành nhân tử

Giải

$ x^5 + x +1=x^5+x^4-x^4+x^3-x^3+x^2-x^2+x+1$

$=(x^5+x^4+x^3)-(x^4+x^3+x^2)+(x^2+x+1)$

$=x^3(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$

$=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1).$

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2+4x+3$
b) $x^2+6x+5$
c) $2x^2+5x+2$
Bài 2.  Phân tích đa thức sau thành phân tử

a) $ x^2 – 3x + 2 .$
b) $ x^2 + 5x + 6. $
c)   $ x^4 +4. $

Bài 3. Phân tích thành nhân tử

a) $2x^2+7x^2+5y^2$

b) $x^2-4xy-5y^2$.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a)  $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x+ 1$
b)  $ x^3 + x^2 – x+ 2$
c) $ x^5 – x^2 + x^3 – 1$
d)   $x^5 + x^4+ 1$

Quy tắc cộng, quy tắc nhân

Leave a reply

I. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng

  • Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có $n$ cách thực hiện phương án A và $m$ cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n+m$ cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện phương án $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện phương án $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện phương án $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1+n_2+…+n_k$ cách.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 8 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh lá. Bạn Khoa muốn chọn một viên bi để chơi, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Để chọn 1 viên bi ta có thể chọn:

  • Bi trắng: có 8 cách chọn.

  • Bi đỏ: có 5 cách chọn.

  • Bi xanh lá: có 6 cách chọn.

Nên tổng cộng có: 8+5+6=19 cách chọn.

2. Quy tắc nhân

  • Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo $n$ cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo $m$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $m.n$ cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc nào đó gồm $k$ công đoạn $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện công đoạn $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện công đoạn $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện công đoạn $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2…n_k$ cách.

Ví dụ 2. Trong một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca nam nữ?

Để chọn 1 đôi nam nữ, ta phải chọn ra 1 bạn nữ, rồi chọn 1 bạn nam.

  • Để chọn 1 bạn nữ có 6 cách chọn.

  • Chọn 1 bạn nam có 8 cách chọn.

Nên có 6.8=48 cách chọn.

II. Bài tập

1.Từ tập $A=\left{2,3,4,5,6\right}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:

a) Bắt đầu bằng số 3.

b) Không bắt đầu bằng số 2.

c) Chia hết cho 5.

d) Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.

  1. Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số:

a) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

b) Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

c) Có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.

  1. Có hai dãy ghế, mỗi dạy có 5 ghế hướng vào nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam, 5 bạn nữ ngồi vào đó thoả:

a) Sắp xếp bất kì.

b) Đối diện một bạn nam và một bạn nữ.

  1. Có bao nhiêu bộ số $(a,b, c)$ thoả $a, b, c \in {1, 2, …, 50}$ và $a<b, a<c$.

  2. Từ tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ có thể lập được bao nhiêu số không lớn hơn 3000 và có các chữ số khác nhau.

 

 

 

Hoán vị

Leave a reply

I. Lí thuyết

  • Cho tập hợp $A$ có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A$ (gọi tắt là một hoán vị của $A$).
  • Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là: $$ P_{n}=n!=n(n-1)(n-2)…2.1 $$
  • Qui ước: $0!=1.$

Ví dụ 1. Từ tập hợp $X=\left\{1,2,3,4,5\right\}$, ta có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một?

Đáp số

Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$, ta thấy số cần tìm là một hoán vị của các phần tử của $X$, vậy số cách chọn là: $P_5=5!=120$.

Ví dụ 2. Có 7 quyển sách Toán, 6 quyển sách Lí và 4 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ sách dài, sao cho:

a) Các quyển sách được xếp tùy ý.

b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau.

Đáp số

a) Mỗi cách xếp tùy ý là một hoán vị của 17 phần tử. Vậy số cách chọn là $17!$.

b) Ta chia thao tác xếp thỏa mãn yêu cầu thành 4 công đoạn:

Bước 1: Hoán vị 7 quyển sách Toán với nhau.

Bước 2: Hoán vị 6 quyển sách Lí với nhau.

Bước 3: Hoán vị 4  quyển sách Hóa với nhau.

Bước 4: Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau.

Vậy số cách xếp là: $7!.6!.4!.3!$

II. Bài tập

1.Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách nếu:

a) Nam, nữ xếp tùy ý.

b) Nam 1 dãy, nữ 1 dãy.

2. Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 4 dãy ghế, mỗi dãy 5 học sinh. Có bao nhiêu cách xếp cách học sinh cùng lớp ngồi nối đuôi nhau. Bao nhiêu cách xếp học sinh ngồi cạch nhau thì khác lớp

3. Xét tập hợp các số tự nhiên

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và các chữ số đều lớn hơn 5.

b) Tính tổng tất cả các số đó.

Đáp số
  1. a) $10!$, b) $2.5!.5!$
  2. $2(10!)^2$
  3. a) $24$, b) $199980$.

 

 

 

Trục căn thức ở mẫu

Leave a reply

Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:

  • $\dfrac{1}{\sqrt A}=\dfrac {\sqrt A}{A}$.
  • $\dfrac {1}{\sqrt A-\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A+\sqrt B}{A-B}$.
  • $\dfrac {1}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A-\sqrt B}{A-B}$.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}$.

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}$.

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$.

Giải

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}=\dfrac {12 \sqrt 2 \sqrt 3}{5.3}=\dfrac {4\sqrt 6}{5}$

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}=\dfrac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}=\dfrac {3\left (\sqrt 5+\sqrt 2 \right ) }{5-2}=\sqrt 5+\sqrt 2$

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}=\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}$

$=\dfrac{{3\sqrt 2 – 3 + \sqrt 6 – \sqrt 3 }}{{2 – 1}} + \dfrac{{6 + 4\sqrt 2 }}{{4 – 2}}$

$=3\sqrt 2 – 3 +\sqrt 6 – \sqrt 3 + 3 + 2\sqrt 2 =5\sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 6$

Bài tập:

Bài 1:  Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{7}{\sqrt 3 }$; $\dfrac{3}{2\sqrt 5 }$; $\dfrac{5}{3\sqrt {12} }$; $\dfrac{2}{3\sqrt {20} }$.

b)$\dfrac{\sqrt 3 + 3}{5\sqrt 3 }$; $\dfrac{7 – \sqrt 7 }{\sqrt 7 – 1}$; $\dfrac{2}{\sqrt 5 + \sqrt 3 }$; $\dfrac{\sqrt 5 + 2}{\sqrt 5 – 2}$.

c) $\dfrac{y + a\sqrt y }{a\sqrt y }$; $\dfrac{b – \sqrt b }{\sqrt b – 1}$; $\dfrac{b}{5 + \sqrt b }$; $\dfrac{p}{2\sqrt p – 1}$.

Bài 2: Tính:

a) $\dfrac{1}{{2 – \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }}$.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 – \sqrt 3 }} – \dfrac{{2 – \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{2}{{\sqrt 3 – 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 – 2}} + \dfrac{{12}}{{3 – \sqrt 3 }}$.

Bài 3: Rút gọn:

a) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{{2\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 2}}$.

b) $\dfrac{{5\sqrt 2 – 2\sqrt 5 }}{{\sqrt {10} }} – \dfrac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}$.

c) $\dfrac{{\sqrt {15} – \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 – 2}} – \dfrac{1}{{2 – \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} – 1}} – \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} + 1}}$.