Nhũng kiến thức cần lưu ý
1. Có mười chữ số là $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9$. Khi viết một số tự nhiên, ta sử dụng mưòi chữ số trên. Chữ số đấu tiên kể từ bên trái của một số tự nhiên phải khác 0 .
2. Phân tích cấu tạo của một só́ tự nhiên :
$\overline{a b}=a \times 10+b$
$\overline{\mathrm{abc}}=\mathrm{a} \times 100+\mathrm{b} \times 10+\mathrm{c}=\overline{\mathrm{ab}} \times 10+\mathrm{c}=\mathrm{a} \times 100+\overline{\mathrm{bc}}$
$\overline{\mathrm{abcd}}=\mathrm{a} \times 1000+b \times 100+c \times 10+d=\overline{\mathrm{abc}} \times 10+d=a \times 1000+\overline{b c d}=\ldots$
3. Quy tắc so sánh hai số tự nhiên :
a) Trong hai số tụ nhiên, số nào có nhiều chữ số hơn sẽ lớn hơn.
b) Nếu hai số có só chữ số bằng nhau thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn sē lớn hơn.
4. Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng $0 ; 2 ; 4 ; 6$ hoặc 8 là số chăّn. Số chẵn có chữ số tận cùng bằng $0 ; 2$; 4 ; 6 hoặc 8 .
5. Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng $1 ; 3 ; 5 ; 7$ hoặc 9 là số lẻ. Số lẻ có chữ số tận cùng bằng $1 ; 3 ; 5 ; 7$ hoặc 9 .
6. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số tự nhiên hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
7. Hai số chẳn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
Hai số chẳn hơn (kém) nhau 2 đơn vị là hai số chẳn liên tiếp.
8. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là hai số lẻ liên tiếp.
DẠNG 1. VIẾT SỐ TỰ NHIÊN TỪ NHỮNG SỐ CHO TRƯỚC
Vi du $\mathbf{I}$. Cho bốn chữ số $0 ; 1 ; 2 ; 3$.
a) Viết được tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho ?
b) Tìm số lớn nhất, số bé nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho.
c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẳng bé nhất có bón chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho.
Giải. a) Cách I (Sơ đồ hình cây).
Chọn chữ số hàng nghìn là 1 , ta được :
(Hình)
Nhìn s̀ơ đồ trên, ta thấy : Từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 1 thoả mãn điều kiện của đề bài.
Tương tự, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 2 và 6 số có chữ số hàng nghìn là 3 .
Chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn. Vậy só các số thoả mã̀n điều kiện của đề bài là :
$6 \times 3=18(\text { số) }$
Cách $2 .$
Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau :
- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện của đề bài (vì chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn).
-
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là ba chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn đã chọn).
-
Có 2 cách chọn chữ só hàng chục (đó là hai chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm).
-
Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại, khác chữ số hàng nghìn, hàng träm và hàng chục).
Vậy số các số viết được thoả mãn điều kiện của đề bài là :
$3 \times 3 \times 2 \times 1=18(\text { số) }$
b) Số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong các chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số cần tìm là 3 .
Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong ba chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trām là 2 .
Chữ số hàng chục phải là số lớn nhất trong hai chữ số cò̀n lại. Vậy chữ số hàng chục là $1 .$
Vậy số lớn nhất cần tìm là 3210 .
Tương tự như trên, ta tìm được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là $1023 .$
c) Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong bốn chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số cần tìm là 3 .
Số cần tìm có chữ số hàng nghìn là 3 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải là $1 .$
Chữ số hàng trăm phải là số lớn nhất trong hai chữ số còn lại nên chữ số hàng trăm là $2 .$
Vậy số lẻ lớn nhất cần tìm là 3201 .
Tương tự, số chẵn bé nhất cần tìm là 1032 .
Vi du 2. Cho năm chữ số $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4$. Hỏi từ năm chữ số đã cho :
a) Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số ?
b) Có thể viết được bao nhiêu só chẳn có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm là 2 ?
Giải. a) Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điểu kiện của đề bài (vì chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn).
Mỗi chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị đều có 5 cách chọn. Vậy số các số có bốn chữ số viết được từ năm chữ số đã cho là :
$4 \times 5 \times 5 \times 5=500 \text { (số) }$
b) Só́ cần tìm có chữ số hàng trăm là 2. Vậy ta phải xác định các chữ só́ hàng nghìn, hàng chục và hàng đơn vị nữa.
Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề bài là :
$4 \times 5 \times 3=60 \text { (số) }$
Vi dụ 3. Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẵn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được :
a) Số lớn nhắt ;
b) Số bé nhất.
Viết các số đó.
Giải. a) Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên :
$1357911131517192123252729$
Ta phải xoá tiếp $15-4=11$ chữ số của số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá ta nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy ta xoá như sau : $9 \not \not \not \not \not \not \beta \not \not \not \not \not \not \not \not 92123252729$. Só còn lại là : 992123252729 .
b) Lập luận tương tự câu a ta được số cần tìm là 1111111122 .
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BÀ̀NG PHÂN TÍCH CẤU TẠO SỐ
Loại 1. Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa các chữ số của một số tự nhiên.
Ví du 4. Khi viết thêm số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó gấp lên 26 lần. Tìm số có hai chữ số đó.
Giải,
Gọi số cần tìm là $\overline{a b}$. Viết thêm số 12 vào bên trái ta được số $\overline{12 a b}$.
Cách $I$. Theo đề bài ta có :
$\overline{12 a b}=\overline{a b} \times 26$
$1200+\overline{a b}=\overline{a b} \times 26$
$\overline{a b} \times 26-\overline{a b}=1200$ (*)
$\overline{a b} \times(26-1)=1200$
$\overline{a b} \times 25=1200$
$\overline{a b}=1200: 25$
$\overline{\mathrm{ab}}=48$
Thử lại : $1248: 48=26$.
Vậy số cần tìm là 48 .
Cách 2. Sau khi phân tích đến bước $(*)$ trong cách 1 , ta có sơ đồ sau :
(Hình)
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là :
$1200:(26-1)=48$
Ví dụ 5 . Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tāng thêm 4106 đơn vị. Tìm số có ba chữ số đó.
Giải. Cách 1. Gọi số cần tìm là abc. Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số $\overline{\mathrm{abc} 2}$. Theo đề bài ta có :
$\overline{a b c 2}=\overline{a b c}+4106$
$\overline{\mathrm{abc}} \times 10+2=\overline{\mathrm{abc}}+4106$
$\overline{\mathrm{abc}} \times 10-\overline{\mathrm{abc}}=4106-2$
$\overline{\mathrm{abc}} \times(10-1)=4104$
$\overline{a b c} \times 9=4104$
$\overline{\mathrm{abc}}=4104: 9$
$\overline{a b c}=456$
Thử lại : $4562-456=4106$.
Vậy số cần tìm là 456 .
Cách 2. Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó gấp lên 10 lần và 2 đơn vị. Ta có sơ đồ sau :
(HÌNH)
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là :
$(4106-2):(10-1)=456$
Cách 2. Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó gấp lên 10 lần và 2 đơn vị. Ta có sơ đồ sau :
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là :
(HÌNH)
$(4106-2):(10-1)=456$
Ví dụ 6. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó gấp lên 10 lần, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì nó gấp lên 3 lần.
Giải. Gọi số cần tìm là $\overline{a b}$. Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số $\overline{\mathrm{a} 0 \mathrm{~b}}$. Theo đề bài ta có :
$\overline{a b} \times 10=\overline{a 0 b}$
Vì $\overline{\mathrm{ab}} \times 10$ có tận cùng là 0 , do đó $\mathrm{b}=0$. Vậy số cần tìm có dạng $\overline{\mathrm{a} 0}$. Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số $\overline{\mathrm{a} 00}$ ta được số $\overline{\mathrm{a} 00}$. Theo đề bài ta lại có :
$\overline{1 \mathrm{a} 00}=3 \times \overline{\mathrm{a} 00}$
Tương tự như ví dụ 4 , ta tìm được $a=5$.
Vậy số cần tìm là 50 .
Loại 2. Xoá đi một số chữ số của một số tự nhiên.
Vi du 7. Khi xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số có bốn chữ số đó.
Giải. Gọi số cần tìm là $\overline{a b c d}$. Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số $\overline{\mathrm{ab}}$.
Cách 1. Theo đề bài ta có :
$\overline{a b c d}-\overline{a b} =4455$
$\overline{a b} \times 100+\overline{c d}-\overline{a b} =4455 $
$\overline{c d}+\overline{a b} \times 100-\overline{a b} =4455 $
$\overline{c d}+\overline{a b} \times(100-1) =4455 $
$\overline{\mathrm{cd}}+\overline{a b} \times 99 =4455$
$\overline{c d} =45 \times 99-\overline{a b} \times 99$
$\overline{c d} =(45-\overline{a b}) \times 99$
Ta nhận xét : Tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên bé hơn 100 nên 45 – $\overline{a b}$ phải bằng 0 hoặc 1 .
Số cần tìm là 4500 hoặc 4499 .
Cách 2. Theo đề bài ta có : $\overline{\mathrm{abcd}}-\overline{\mathrm{ab}}=4455$ Ta viết lại phép tính như sau :
$4455$
$+ ab$
$abcd$
Nhân xét :
Ví du 8. Khi xoá đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 7 lần. Tìm số có ba chữ số đó.
Giải. Gọi số cần tìm là $\overline{\mathrm{abc}}$. Xoá đi chữ số hàng trăm ta được số $\overline{\mathrm{bc}}$.
Cách 1. Theo đề bài ta có:
$\overline{\mathrm{abc}} =7 \times \overline{\mathrm{bc}}$
$\overline{\mathrm{a} 00}+\overline{\mathrm{bc}} =7 \times \overline{\mathrm{bc}}$
$\overline{\mathrm{a} 00} =7 \times \overline{\mathrm{bc}}-\overline{\mathrm{bc}}$
$\overline{\mathrm{a} 00} =(7-1) \times \overline{\mathrm{bc}}$
$\overline{\mathrm{a} 00} =6 \times \overline{\mathrm{bc}}$
Vì 6 chia hết cho 3 nên $\overline{a 00}$ chia hết cho 3 . Do đó a chia hết cho 3 .
Mặt khác, vì $\overline{\mathrm{bc}}<100$ nên $6 \times \overline{\mathrm{bc}}<600$. Từ đó suy ra $\mathrm{a}<6$.
Vậy $\mathrm{a}=3$ (a khác 0 ). Thay vào ta tính được $\overline{b c}=50$.
Vậy số cần tìm là 350 .
Cách 2. Ta có : $\overline{\mathrm{abc}}=\overline{\mathrm{bc}} \times 7$.
Vì $7 \times c$ có tận cùng là $c$ nên $c$ bằng 0 hoặc 5 .
- Nếu $\mathrm{c}=0$, thay vào ta có :
$\overline{\mathrm{ab} 0}=\overline{\mathrm{b} 0} \times 7$
$\overline{\mathrm{ab}}=\mathrm{b} \times 7$
Từ đó suy ra b bằng 0 hoặc 5 , nhưng b không thể bằng 0 . Vậy b $=5$ và $\overline{a b}=35$.
- Nếu $\mathrm{c}=5$, thay vào ta có :
$\overline{\mathrm{ab5}}=\overline{\mathrm{b} 5} \times 7$
Vì $7 \times 5=35$ nên $7 \times b+3=\overline{a b}$
Nếu b chã̃n thì vế trái là số lẻ, mà vế phải là số chẫn. Nếu b lẻ thì vế trái là số chã̃n, mà vế phải là số lẻ. Vạy trường hợp $\mathrm{c}=5$ không xảy ra.
Loại 3. Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
Ví dụ 9. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Giải.
Cách 1 . Gọi số cần tìm là $\overline{a b}$. Theo đề bài ta có :
$\overline{a b} =5 \times(a+b)$
$10 \times a+b =5 \times a+5 \times b$
$10 \times a-5 \times a =5 \times b-b$
$(10-5) \times a =(5-1) \times b$
$5 \times a =4 \times b$
Từ đây ta suy ra b chia hết cho 5 . Vậy b bằng 0 hoặc 5 .
Vậy số cần tìm là 45 .
Cách 2. Gọi số cần tìm là $\overline{a b}$. Theo đề bài ta có :
$\overline{a b}=5 \times(a+b)$
Vì $5 \times(a+b)$ có tận cùng bằng 0 hoạcc 5 nên b bằng 0 hoặc 5 . – Nếu $b=0$, thay vào ta có:
$\overline{\mathrm{a} 0}=5 \times a$ hay $10 \times a=5 \times a$, vậy a $=0$ (loại)
- Nếu $b=5$, thay vào ta có :
$\overline{a 5}=5 \times(a+5) \text { hay } 10 \times a+5=5 \times a+25$
Tính ra ta được $a=4$.
Thử lại : $45:(4+5)=5$.
Vậy số cần tìm là 45 .
Loại 4. Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
Ví dụ 10. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1 .
Giải. Gọi số cần tìm là $\overline{a b}$ và hiệu các chữ số của nó là c. Theo đề bài ta có :
$\overline{\mathrm{ab}}=\mathrm{c} \times 28+1$
Vì $\overline{a b}<100$ nên $\mathrm{c} \times 28<99$.
Vậy $\mathrm{c}$ bằng $1 ; 2$ hoặc 3 .
- Nếu $\mathrm{c}=1$ thì $\overline{\mathrm{ab}}=29$.
Thử lại : $9-2=7 ; 29: 7=4$ (dư 1) (loại).
- Nếu $\mathrm{c}=2$ thì $\overline{\mathrm{ab}}=57$.
Thử lại : $7-5=2 ; 57: 2=28$ (dư 1 ).
$-$ Nếu $\mathrm{c}=3$ thì $\overline{\mathrm{ab}}=85$.
Thử lại : $8-5=3 ; 85: 3=28$ (dư 1 ).
Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85 .
Loại 5. Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó
Ví dụ 11. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Giải.
Cách I. Gọi số cần tìm là $\overline{\mathrm{abc}}$.
Theo đề bài ta có :
$\overline{\mathrm{abc}}=5 \times \mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}$
Vì $5 \times a \times b \times c$ chia hết cho 5 nên $\overline{a b c}$ chia hết cho 5 . Vậy $\mathrm{c}$ bằng 0 hoặc 5 . Nhưng $\mathrm{c}$ không thể bằng 0 , vậy $\mathrm{c}=5$. Số cần tìm có dạng $\overline{\mathrm{ab5}}$. Thay vào ta có :
$\overline{a b 5} =5 \times a \times b \times 5$
$a \times 100+b \times 10+5=25 \times a \times b$
$a \times 20+b \times 2+1=5 \times a \times b$
Vì $5 \times a \times b$ chia hết cho 5 nên $a \times 20+b \times 2+1$ chia hết cho 5 . Do đó $\mathrm{b} \times 2+1$ chia hết cho 5 . Suy ra $\mathrm{b} \times 2$ có tận cùng là 4 hoặc 9 . Vì $\mathrm{b} \times 2$ là số chẵn nên nó có tận cùng bằng 4 . Suy ra b bằng 2 hoặc 7 .
Thử lại : $175=5 \times 1 \times 7 \times 5$.
Vậy số cần tìm là 175 .
Cách $2 .$
Tương tự cách 1 , ta có :
$\overline{\mathrm{ab} 5}=25 \times \mathrm{a} \times \mathrm{b}$
Vì $25 \times \mathrm{a} \times \mathrm{b}$ chia hết cho 25 nên $\overline{\mathrm{ab5}}$ chia hết cho 25 . Suy ra b bằng 2 hoặc 7 . Vì $25 \times \mathrm{a} \times \mathrm{b}$ là số lẻ nên $\mathrm{b}=7$. Tiếp theo, tương tự cách 1 ta tìm được $\mathrm{a}=1$. Vậy số cần tìm là 175 .
DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BÀI PHƯƠNG PHÁP THỬ CHỌN
Ví dụ 12. Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số lẻ có hai chữ số bằng 3 . Nếu thêm vào số đó 3 đơn vị ta được số có hai chữ số giống nhau. Tìm số đó.
Giải.
Cách 1. Gọi số cần tìm là $\overline{\mathrm{ab}}$.
Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu giữa các chữ số của nó bằng 3 là : $41 ; 25$; $63 ; 47 ; 85$ và $69 .$
Ta có bảng sau :
Vậy số cần tìm là 41 ; 63 hoặc 85 .
Cách $2 .$
Những số có hai chữ số giống nhau là : $11 ; 22 ; 33 ; 44 ; 55 ; 66 ; 77 ; 88 ; 99$. Bớt mỗi số đó đi 3 đơn vị, ta được các số : $8 ; 19 ; 30 ; 41 ; 52 ; 63 ; 74 ; 85 ; 96$.
Vì theo đề bài, số cần tìm là số lẻ và hiệu giữa hai chữ số của số đó bằng 3 nên ta tìm được ba số : $41 ; 63$ và 85 .
Ví dụ 13. Chữ số hàng chục của một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia cho chữ số hàng trăm ta được thương bằng 8 . Tìm số đó.
Giải. Gọi số cần tìm là $\overline{\mathrm{abc}}$. Theo đề bài, só $\overline{\mathrm{abc}}$ chỉ có thể là : $\overline{\mathrm{a} 21} ; \overline{\mathrm{a} 42}$; $\overline{\mathrm{a} 63} ; \overline{\mathrm{a} 84}$.
Ta có bảng sau :
Vậy số cần tìm là 142 .
Vi du 14. Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 18 , tích các chữ số của nó bằng 64 và nếu viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại thì số đó không thay đổi.
Giải. Theo đề bài thì số cần tìm có dạng $\overline{\mathrm{abba}}$.
Tổng của hai chữ số a và b là :
18: 2=9
Số 9 có thể phân tích thành tổng của những cặp số sau : 0 và $9 ; 1$ và 8 ; 2 và $7 ; 3$ và $6 ; 4$ và 5 .
Số cần tìm có thể là : $9009 ; 1881 ; 8118 ; 7227 ; 2772 ; 6336 ; 3663$; 4554 ; 5445 .
Ta có bảng sau :
Vậy số cần tìm là 1881hoặc 8118 .
DẠNG 4. CÁC BÀI TOÁN VẾ XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA SỐ
Những kiến thức cần lưu ý
- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó.
-
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tich các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó.
-
Tổng $1+2+3+\ldots+9$ có chữ số tận cùng bằng 5 .
-
Tích $1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9$ có chữ số tận cùng bằng 5 .
-
Tích $\mathrm{a} \times \mathrm{a}$ không thể có chữ số tận cùng bằng $2 ; 3 ; 7$ hoặc 8 .
Ví dụ 15 . Không thực hiện các phép tính, hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của mỗi kết quả sau :
a) $(2001+2002+2003+\ldots+2009)-(21+32+43+\ldots+98+19)$;
b) $(12+23+34+\ldots+89+91) \times 91 \times 73 \times 55 \times 37 \times 19$;
c) $123 \times 235 \times 347 \times 459 \times 561-71 \times 73 \times 75 \times 77 \times 79$.
Giải.
a) Chữ số hàng đơn vị của tổng $2001+2002+2003+\ldots+2009$ và tổng $21+32+43+\ldots+98+19$ đều bằng chữ số hàng đơn vị của tổng $1+2+\ldots+9$ và bằng 5 . Cho nên hiệu trên có chữ số hàng đơn vị bằng 0 .
b) Suy luận tương tự câu a, ta có tổng $12+23+34+\ldots+89+91$ và tích $91 \times 73 \times 55 \times 37 \times 19$ đều có chữ số hàng đơn vị bằng 5 . Suy ra chữ số hàng đơn vị của kết quả dãy tính bằng 5 .
c) Tương tự, ta có chữ số hàng đơn vị của hiệu bằng 0 .
Ví du 16. Có thể thay a, b trong phép tính sau bởi những chữ số thích hợp để được một phép tính đúng hay không ? Tại sao ?
a) $\overline{12 \mathrm{a}} \times \overline{12 \mathrm{a}}=\overline{\mathrm{a} 53 \mathrm{~b} 8}$;
b) $\overline{3 b} \times \overline{3 b}=\overline{17 a 7}$;
c) $\overline{9 a} \times \overline{9 a}=8643$.
Giải.
Không thể thay a, b trong mỗi phép tính trên bởi những chữ số thích hợp để được phép tính đúng, vì :
a) Chữ số tận cùng của tích $\overline{12 \mathrm{a}} \times \overline{12 \mathrm{a}}$ bằng chữ số tận cùng của tích $\mathrm{a} \times \mathrm{a}$, mà $\mathrm{a} \times \mathrm{a}$ không thể có tận cùng bằng 8 , nên tích $\overline{12 \mathrm{a}} \times \overline{12 \mathrm{a}}$ không thể có tận cùng bằng 8 ;
b) Tương tự, tích $\overline{3 \mathrm{~b}} \times \overline{3 \mathrm{~b}}$ không thể có tận cùng bằng 7 ;
c) Tích $\overline{9 \mathrm{a}} \times \overline{9 \mathrm{a}}$ không thể có tận cùng bằng 3 .
Vi $d u$ 17. Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
a) $13 \times 14 \times 15 \times \ldots \times 22$;
b) $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 50$.
Giải.
a) Trong tích $13 \times 14 \times 15 \times \ldots \times 22$ có thừa số 20 tròn chục. Thừa số này cho 1 chữ số 0 ở tích. Thừa số 15 khi nhân với một số chẳn cho 1 chữ số 0 ở tích. Vậy tích đã cho có tận cùng bằng 2 chữ số 0 .
b) Tích $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 50$ có thể phân ra thành 5 nhóm :
Vậy số chữ số 0 ở tận cùng của tích đã cho là :
$2 \times 3+3 \times 2=12($ chữ số 0$)$
BÀI TÂP TỰ LUYỆN
1. Cho năm chữ số $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4$.
a) Có thể viết được tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho ? Trong các số viết được, có bao nhiêu số chẳn ?
b) Tìm số chẳn lớn nhất, số lẻ bé nhất có bốn chữ số khác nhau viết được từ năm chữ số đã cho.
2. Có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, biết rằng :
a) Các chữ số của chúng đều là những số lẻ ?
b) Các chữ số của chúng đều là những số chẵn ?
3. Tìm :
a) Số tự nhiên bé nhất có năm chữ số được viết từ ba chữ số khác nhau ;
b) Số tự nhiên lớn nhất có năm chữ số được viết từ ba chữ số khác nhau.
4. Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 ta được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận được mà vẩn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được :
a) Số lớn nhất ;
b) Số bé nhất.
Viết các số đó.
5. Viết liên tiếp 10 số chẳn khác 0 đầu tiên ta được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 10 chữ số của số vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được :
a) Số lớn nhất ;
b) Số lẻ bé nhất.
Viết các số đó.
6. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta được một số gấp 31 lần số cần tìm.
7. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lân số cần tìm.
8. Tìm một số tự nhiên có hai chử số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 230 đơn vị.
9. Khi viết thêm số 12 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 53769 đơn vị. Tìm số có ba chữ số đó.
10. Khi viết thêm số 65 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó tăng thêm 97778 đơn vị. Tìm số đó.
11. Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó gấp lên 7 lần. Tìm số có ba chữ số đó.
12. Khi xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 3663 đơn vị. Tìm số có bốn chữ số đó.
13. Khi xoá đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm số có ba chữ số đó.
14. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được một số gấp 5 lần số nhận được khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số cần tìm.
15. Khi xoá đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 9 lần. Tìm số có ba chữ số đó.
16. Khi xoá đi chữ số hàng nghìn của một số tự nhiên có bốn chữ số thì số đó giảm đi 9 lần. Tìm số có bốn chữ số đó.
17. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng :
a) Số đó gấp 6 lần tổng các chữ số của nó ;
b) Số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó ;
c) Số đó gấp 8 lần tổng các chữ số của nó ;
d) Số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của nó.
18. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương bằng 5 và dư 12 .
19. Tîm số có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó ta được thương là 26 và dư 1 .
20. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta được thương bằng 11 .
21. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
22. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chũ̃ số của nó.
23. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu chia số đó cho tích các chữ số của nó ta được thương là 5 dư 2 và chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị.
24. Tìm số có bốn chữ số, biết rằng số đó cộng với số có hai chữ số tạo bởi chữ số hàng nghìn, hàng trăm và số có hai chữ số tạo bởi chữ số hàng chục, hàng đơn vị của số đó ta được tổng là 7968 .
25. Cho số tự nhiên $x$. Cộng các chữ số của $x$ ta được số tự nhiên $y$, cộng các chữ số của $y$ ta được số tự nhiên $\mathrm{n}$. Tổng của ba số $x, y$ và n bằng 69. Tìm $x$.
26. Các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có bốn chữ số theo thứ tự là bốn số tự nhiên liên tiếp. Số này sẽ thay đổi thế nào nếu ta viết các chữ số của nó theo thứ tự ngược lại ?
27. Cũng hỏi như bài 26 trong trường hợp là bốn chữ số lẻ liên tiếp.
28. Tìm số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, biết rằng số đó bằng tổng các số có hai chữ số khác nhau lập được từ ba chữ số của số cần tìm.
29. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tích các chữ số của số đó là số tròn chục có hai chữ số, nếu bớt số đó đi 3 đơn vị ta được một số có hai chữ số giống nhau.
30. Các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có hai chữ số là hai số lẻ liên tiếp. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta được thương bằng 4 và dư 9 . Tìm số có hai chữ số đó.
31. Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số có ba chữ số theo thứ tự là ba số lẻ liên tiếp. Khi bớt số đó đi 24 đơn vị ta được số có ba chữ số giống nhau và chia hết cho 5 . Tìm số đó.
32. Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số chẵn có ba chữ số theo thứ tự là ba số tự nhiên liên tiếp. Tổng các chữ số của nó bằng 9 . Tìm số đó.
33. Tổng các chữ số của một số chẵn có bốn chữ số bằng 22 , tích các chữ số của nó là số tròn chục. Khi đổi chỗ chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị hoặc chữ số hàng nghìn và chữ số hàng chục thì số đó không thay đổi. Tìm số đó.
34. Không thực hiện các phép tính, hãy cho biết mỗi kết quả sau có tận cùng bằng chữ số nào ?
a) $(1999+2378+4545+7956)-(315+598+736+89)$;
b) $1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 99$;
c) $6 \times 16 \times 116 \times 1216 \times 11996$;
d) $31 \times 41 \times 51 \times 61 \times 71 \times 81 \times 91$;
e) $11 \times 13 \times 15 \times 17+23 \times 25 \times 27 \times 29+31 \times 33 \times 35 \times 37+$ $+45 \times 47 \times 49 \times 51$;
g) $56 \times 66 \times 76 \times 86-51 \times 61 \times 71 \times 81$.
- Tích $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 98 \times 99 \times 100$ có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
-
Tích sau đây có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
a) $85 \times 86 \times 87 \times \ldots \times 94$;
b) $11 \times 12 \times \ldots \times 20 \times 53 \times 54 \times \ldots \times 62$.
- Không thực hiện các phép tính, hãy xét xem các kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao.
a) $16358-6 \times 16 \times 46 \times 56=120$;
b) $\overline{\mathrm{abc}} \times \overline{\mathrm{abc}}-853467=0$;
c) $11 \times 21 \times 31 \times 41-19 \times 25 \times 37=110$.
- Có thể thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp để được một phép tính đúng hay không ? Tại sao ?
a) $7958: \overline{3 \mathrm{~b}}=\overline{\mathrm{a} 3 \mathrm{~b}}$;
b) $\overline{\mathrm{a} 2303}: \overline{\mathrm{b} 5 \mathrm{~cd}}=\overline{2 \mathrm{~d}}$.
