Category Archives: Toán phổ thông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Chứng minh đẳng thức P2

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 3\sqrt{5}$, hình vuông $ADEF$ có $D$ thuộc $AB$, $E$ thuộc $BC$ và $F$ thuộc $AC$. Biết hình vuông có cạnh 2, tính độ dài các cạnh $AB, AC$ (giả sử $AB < AC$).
Lời giải. Đặt $BD = x, CF = y$, vì $AB < AC$ nên $x < y$.
Ta có $\triangle BDE \backsim \triangle EFC \Rightarrow BD \cdot CF = ED \cdot EF = 4$.
Mặt khác $AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow (x+2)^2+(y+2)^2 = 45 \Rightarrow (x+y)^2 + 4(x+y) -45 = 0 \Rightarrow x+y = 5$.
Suy ra $x(5-x) = 4$, giải ra được $x = 1, y = 4$.
Từ đó suy ra $AB = 3, AC = 6$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn trung tuyến $AM$. \begin{enumerate}
a) Chứng minh rằng $4AM^2 + BC^2=2(AB^2+AC^2)$.
b) Vẽ trung tuyến $BN$. Tìm điều kiện về độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ để $AM \bot AN$.
Lời giải.
a) Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$, giả sử $H$ nằm giữa $B$ và $M$. Ta có:

$AB^2 + AC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2$
$= 2AH^2 + (BM – HM)^2 + (CM + HM)^2 $
$= 2AH^2 + 2HM^2 + 2BM^2 = 2AM^2 + \dfrac{BC^2}{2}$

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác: $GM=\dfrac{1}{3}AM,GB=\dfrac{2}{3}BN$. Ta có $AM\perp BN$ khi và chỉ khi:\

$GM^2 + GB^2 = BM^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{9}AM^2 + \dfrac{4}{9}BN^2 = \dfrac{1}{4}BC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{9} \left( \dfrac{AB^2 + AC^2}{2} – \dfrac{BC^2}{4} \right) + \dfrac{4}{9}\left(\dfrac{AB^2 + BC^2}{2} – \dfrac{AC^2}{4}\right) = \dfrac{BC^2}{4}$
$\Leftrightarrow 5AB^2 = AC^2 + BC^2$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hai đường phân giác $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I$ thỏa mãn $BD\cdot CE = 2\cdot BI\cdot CI$. Tam giác $ABC$ là tam giác gì? vì sao?
Lời giải.

Đặt $ BC = a, CA = b, AB = c $. Ta có, $ AI $ là phân giác trong $ \triangle ABD $\
Suy ra:
$ \dfrac{BI}{c} = \dfrac{DI}{AD} = \dfrac{BD}{c + AD} \Rightarrow \dfrac{BI}{BD} = \dfrac{c}{c+ AD} $
Chứng minh tương tự
$ \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{b}{b + AE} $
Như vậy điều cần chứng minh tương đương với

$\dfrac{BI}{BD} \cdot \dfrac{CI}{CE} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{bc}{(c + AD)(b + AE)} = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow bc = AD\cdot b + AE\cdot c + AD\cdot AE \qquad (*)$

Mặt khác, trong tam giác $ ABC $ ta có
$ BD $ là phân giác $ \angle ABC$ ta có $\dfrac{AD}{c} = \dfrac{CD}{a} = \dfrac{b}{a + c} \Rightarrow AD = \dfrac{bc}{a + c}$
$ CD $ là phân giác $ \angle ACB$ ta có \dfrac{AE}{b} = \dfrac{BE}{a} = \dfrac{c}{a + b} \Rightarrow AE = \dfrac{bc}{a + b}$
Do đó (*) tương đương với

$bc = \dfrac{b^2c}{a + c} + \dfrac{bc^2}{a + b} + \dfrac{b^2c^2}{(a+b)(a+c)}$
$\Leftrightarrow a^2 = b^2 + c^2$

Vậy tam giác $ ABC$ vuông tại $ A $.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. $M$ là một điểm thay đổi bên trong tam giác. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các cạnh $BC, AC, AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = AF^2 + BD^2 + CE^2$.
Lời giải.
Ta có $AM^2 = AF^2 + MF^2 = AE^2 + ME^2$. Suy ra $AF^2 – AE^2 = ME^2 – MF^2$.
Tương tự $BD^2 – BF^2 = MF^2 – MD^2, CE^2 – CD^2 = MD^2 -MD^2$.
Khi đó $AF^2 -AE^2 + BD^2 – BF^2 + CE^2-CE^2 = 0 \Leftrightarrow AF^2 +DB^2 + CE^2 = AE^2+BF^2+CE^2$.
Mặt khác $AF^2 + BF^2 \geq \dfrac{(AF+BF)^2}{2} = \dfrac{a^2}{4}$.
Tương tự thì $BD^2 +CD^2 \geq \dfrac{a^2}{2}$ và $CE^2+AE^2 \geq \dfrac{a^2}{2}$.
Do đó $P =AF^2 + BD^2 + CE^2 \geq \dfrac{3a^2}{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $D, E, F$ lần là trung điểm của $BC, AC, AB$.
Vậy $P_{min} = \dfrac{3a^2}{4}$.

Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Các điểm $M, N$ lần lượt thay đổi trên cạnh $BC, CD$ sao cho $\angle MAN = 45^\circ$. Chứng minh chu vi tam giác $CMN$ không đổi và tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $CMN$.

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $K$ sao cho $\angle KAN = \angle MAN = 45^\circ$.
Do $\angle KAD+\angle DAN =45^\circ \quad \text{và} \quad \angle DAN+\angle MAB =45^\circ \quad \text{nên} \quad \angle KAD =\angle MAB$
$\Rightarrow \triangle KAD =\triangle MBA$(ch-cgv) $\Rightarrow AK=AM \quad \text{và} \quad KD=BM$
Khi đó $\triangle KAN=\triangle MAN$(c-g-c) $\Rightarrow MN=KN$
Ta có:
$P_{\triangle CMN}=MN+MC+NC=KN+MC+NC
=KD+DN+NC+MC=BM+MC+NC+ND=DC+CB=2a$.
Vậy chu vi của $\triangle CMN$ luôn không đổi và bằng $2a$
Đặt $MC=x,NC=y$
$P_{\triangle CMN}=MN+MC+NC=x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2a$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$2a=x+y+\sqrt{x^2+y^2}\ge 2\sqrt{xy}+ \sqrt{2xy}=\left(\sqrt{2}+2\right)\sqrt{xy} \Rightarrow xy\le \dfrac{4a^2}{(\sqrt{2}+2)^2}$
$S_{\triangle CMN}=\dfrac{1}{2}xy\le \dfrac{1}{2}.\dfrac{4a^2}{6+4\sqrt{2}}=\dfrac{a^2}{\sqrt{2}+3}$

Bài 6. Cho $\triangle A B C$ vuông ờ $A, A H \perp B C, H \in B C . H E \perp A C$,
$H F \perp A B$
\begin{enumerate}
a) Chứng minh rằng $H A^{3}=B F \cdot C E \cdot B C$.
b) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{B F^{2}}+\sqrt[3]{C E^{2}}=\sqrt[3]{B C^{2}}$.
c) Gọi $M, N$ là hình chiếu của $E, F$ lên $B C$.
Chứng minh rằng $\sqrt{M C}+\sqrt{N B}=\sqrt{B C}$.
d) Chứng minh rằng $\sqrt[3]{N B \cdot N F}+\sqrt[3]{M C \cdot M E}=\sqrt[3]{A B \cdot A C}$.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ thỏa $MA^2 = MB \cdot MC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $BC$ hoặc $M$ là chân đường cao từ $A$ đến $BC$.

Hệ thức lượng trong tam giác – Chứng minh đẳng thức

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức hình học

Ví dụ 1. Cho hình thoi $ABCD$ có $\angle A = 120^\circ$. Tia $Ax$ tạo với $AB$ một góc $\angle BAx = 15^\circ$ và cắt cạnh $BC$ tại $M$, cắt đường thẳng $CD$ tại $N$.
Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}$$
Lời giải.

Vẽ tia $Ay$ vuông góc với $AM$,$Ay$ cắt cạnh $CD$ tại $P$. Suy ra $\angle PAD= 15^\circ$.
Ta có $\triangle ADP=\triangle ABM$(g-c-g), suy ra $AP=AM$.
Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $PAN$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $PAN$:
$$\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}$$
Khi đó $\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}$. (1)
Mặt khác trong tam giác vuông $ADH$:\
$\dfrac{AH}{AD}=\sin D\Rightarrow AH=AD\cdot \sin D=AB\cdot \sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB.$ (2)
Từ (1) và (2) ta có được $\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}$.

Ví dụ 2. Qua điểm $D$ trên cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$ ta kẻ các đường vuông góc $DH$ và $DK$ lần lượt xuống các cạnh $AB$ và $AC$.\ Chứng minh hệ thức: $DB\cdot DC = HA\cdot HB + KA\cdot KC$.

Lời giải.

Ta có $AHDK$ là hình chữ nhật nên $AH = DK, AK = DH$.
Ta có $BC^2 = AB^2 + AC^2 \Leftrightarrow (DB + DC)^2 = (AH+BH)^2 + (AK + CK)^2 \Leftrightarrow DB^2 + DC^2 + 2DC \cdot DB = AH^2 + BH^2 + 2 AH \cdot BH + AK^2 + CK^2 + 2AK \cdot CK$. (1)
Mà $DB^2 = BH^2 + HD^2 = BH^2 + AK^2$ và $DC^2 = DK^2 + CK^2 = AH^2 + CK^2$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $DB \cdot DC = AH \cdot HB + AK \cdot KC$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$. Chứng minh rằng:

a) $AH^3 = BC\cdot BE\cdot CF$.
b) $\sqrt[3]{BE^2} + \sqrt[3]{CF^2} = \sqrt[3]{BC^2}$.
Lời giải.


a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $BHA$ và $AHC$:
$$BH^2=BE\cdot AB \quad \text{và} \quad HC^2=CF\cdot AC$$
Nhân hai vế đẳng thức với nhau ta được:
$BH^2\cdot HC^2=BE\cdot CF\cdot AB\cdot AC
\Rightarrow \left(HB\cdot HC\right)^2=BE\cdot CF\cdot AB\cdot AC \quad (1)$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:
$HB\cdot HC=AH^2 \quad \text{và} \quad AB\cdot AC=AH\cdot BC$.
Khi đó (1) trở thành:$AH^4=BE\cdot CF\cdot AH\cdot BC$ hay $AH^3=BE\cdot CF\cdot BC$(đpcm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABH$ ta có $BE\cdot AB=HB^2$ hay $BE=\dfrac{BH^2}{AB}$, do đó:
$$\dfrac{BE^2}{BC^2}=\dfrac{BH^4}{AB^2\cdot BC^2}=\dfrac{BH^4}{\left(BH\cdot BC\right)\cdot BC^2}=\left(\frac{BH}{BC}\right)^3$$
Lấy căn bậc ba hai vế ta được $\sqrt[3]{\dfrac{BE^2}{BC^2}}=\dfrac{BH}{BC}\quad (1)$
Chứng minh tương tự ta được $\sqrt[3]{\dfrac{CF^2}{BC^2}}=\dfrac{CH}{BC}\quad (2)$
Lấy (1)+(2) ta được đpcm.\

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn và $H$ là trực tâm. Chứng minh rằng

$$AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2 = AH^2 + BC^2$$

Lời giải.

Gọi $D$ là chân đường cao hạ từ $A$.
Ta có $AB^2 = BD^2 + AD^2$ và $CH^2 = CD^2 + DH^2$, suy ra $AB^2 +CH^2 = BD^2+AD^2+CD^2+DH^2$. (1)
tương tự thì $AC^2 = AD^2 + CD^2$, $BH^2 = BD^2+DH^2$, suy ra $AC^2+BH^2=AD^2+CD^2+BD^2+DH^2$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $AB^2 + CH^2 = AC^2+BH^2$.
Chứng minh tương tự cho đẳng thức còn lại.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$, đường trung tuyến $BM$, đường phân giác $CD$ đồng quy tại $O$.

a) Chứng minh rằng $BH = AC$.
b) Cho biết $BC = x$ . Tính độ dài $AB, AC$ theo $x$.
Lời giải. 


a) Gọi $E$ là điểm đối xứng của $O$ qua $M$. Khi đó tứ giác $AECO$ là hình bình hành nên $CE\parallel AO$.
Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác $BEC$ có $OH\parallel EC$:
$$\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{OH}{CE}$$
$CO$ là đường phân giác của $\triangle ACH$ nên:
$$\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{CH}{CA}$$
Từ hai đẳng thức trên và $CE=OA$(AECO là hình bình hành) ta có:
$$\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{CH}{AC} \Leftrightarrow BH\cdot AC=CH\cdot BC$$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta được $AC^2=CH\cdot CB$
Từ đó suy ra $BH=AC$(đpcm)
b) Ta có $AC^2=CH\cdot CB=\left(CB-BH\right)\cdot CB=\left(x-AC\right)x$. Suy ra:
$$AC^2+2AC\cdot \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{5x^2}{4} \Leftrightarrow \left(AC+\dfrac{x}{2}\right)^2=\left(\dfrac{x\sqrt{5}}{2}\right)^2$$
Vậy $ AC = \left(\dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}\right)x $, $ AB = \sqrt{x^2 – AC^2} = x\sqrt{\dfrac{\sqrt{5} – 1}{2}}$

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường trung tuyến $BM$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $BM$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AC$. Chứng minh rằng $AH = 3HD$.

Lời giải.

Cách 1. Đặt $AM=x$, tính được $MC = AM = x$, $AC = 2x = AB$.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông $BAM$:
$BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{\left(2x\right)^2+\left(x\right)^2}=x\sqrt{5}$
$\triangle BAM \backsim \triangle CDM $(g-g) $\Rightarrow \dfrac{AB}{DC}=\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{\sqrt{5}x}{x}=\sqrt{5}$
$\Rightarrow MD=\dfrac{AM}{\sqrt{5}}=\dfrac{x}{\sqrt{5}}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $MDC$:
$MD^2=MH\cdot MC \Rightarrow MH=\dfrac{MD^2}{MC}=\dfrac{\dfrac{x^2}{5}}{x}=\dfrac{x}{5}$.
Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $MHD$:
$HD=\sqrt{MD^2-MH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{x}{\sqrt{5}}\right)^2-\left(\dfrac{x}{5}\right)^2}=\dfrac{2}{5}x$.
Mà $AH=AM+MH=x+\dfrac{x}{5}=\dfrac{6}{5}x$
Vậy $AH=3HD$(đpcm)
Cách 2. Gọi $I$ là trung điểm $BC$, $AI$ cắt $BM$ tại $G$ thì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, suy ra $AI = 3GI = IB = IC$.
Ta có $\triangle MAB \backsim MDC$, suy $MA \cdot MC = MB \cdot MD$, suy ra $\triangle MAD \backsim \triangle MBC$, suy ra $\angle MAD = \angle MBC = \angle GBI$.
Khi đó $\triangle DAH \backsim \triangle GBI$, suy ra $\dfrac{AH}{DH} = \dfrac{IB}{GI} = 3$ hay $AH = 3DH$.

Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BM$ và $CN$ là các đường phân giác góc $B$ và $C$.

a)Cho $AB = 3, AC = 4$. Tính độ dài $BN, CM$ và $MN$.
b) Đặt $AB = c, AC = b$. Tính $CM, BN$ theo $b$ và $c$.
c) Chứng minh rằng $\dfrac{{AC}}{{MA}}\cdot \dfrac{{AB}}{{NA}} \ge 3 + 2\sqrt 2 $

Lời giải.

a) Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $ABC$:
$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$$
Do $CN$ là phân giác của $\angle ACB$ nên $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}$. Kết hợp với $NA+NB=3$ ta sẽ tính được $NA=\dfrac{4}{3}$ và $BN=\dfrac{5}{3}$
Tính tương tự ta được $AM=\dfrac{3}{2},MC=\dfrac{5}{2}$
Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $AMN$:
$$MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{145}}{6}$$
b) Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $ABC$:
$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{c^2+b^2}$$
Do $CN$ là phân giác của $\angle ACB$ nên $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}$. Kết hợp với $NA+NB=c$ ta sẽ tính được $BN=\dfrac{c\sqrt{b^2+c^2}}{b+\sqrt{b^2+c^2}}$
Tính tương tự ta được $MC=\dfrac{b\sqrt{b^2+c^2}}{c+\sqrt{b^2+c^2}}$
c) Do $BM$ là tia phân giác của $\angle ABC$ nên $\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{BC}{AB}$
Do $CN$ là tia phân giác của $\angle ACB$ nên $\dfrac{NB}{NA}=\dfrac{BC}{AC}$
$\dfrac{AC}{MA}.\dfrac{AB}{NA}=\left(1+\dfrac{MC}{MA}\right)\left(1+\dfrac{NB}{NA}\right)$
$=\left(1+\dfrac{BC}{AB}\right)\left(1+\dfrac{BC}{AC}\right)$
$=1+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{BC}{AB}+\dfrac{BC^2}{AB.AC} $
$\ge 1+2\sqrt{\dfrac{BC^2}{AB.AC}}+\dfrac{BC^2}{AB.AC}$

$=\left( \sqrt{\dfrac{BC^2}{AB.AC}}+1\right)^2$
Ta có $AB.AC\le \dfrac{AB^2+AC^2}{2}=\dfrac{BC^2}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{BC^2}{AB.AC}\ge 2$
Vậy $\dfrac{AC}{MA}.\dfrac{AB}{NA}\geq \left( \sqrt{\dfrac{BC^2}{AB.AC}}+1\right)^2 \ge \left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}$

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\angle A = \angle D = 90^\circ, AB = AD = a, CD = 2a$.

a) Chứng minh $BC = a\sqrt{2}$.
b) Vẽ $DH$ vuông góc với $AC$. Chứng minh $AH \cdot AC = a^2$.
c) $BH$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh $BK \cdot BH =2a^2$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ khác tam giác tù. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác. Chứng minh rằng nếu $$AG^2 = \dfrac{1}{9}(AB^2+AC^2) $$
thì tam giác $ABC$ vuông.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$. Chứng minh rằng nếu

$$ \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{BE^2} + \dfrac{1}{CF^2}$$

thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Bài 4. Cho tam giác $\triangle A B C, \angle A=90$, đường phân giác $AD$. Chưmg minh rằng
$$
\dfrac{\sqrt{2}}{A D}=\dfrac{1}{A B}+\dfrac{1}{A C}
$$

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh rằng $BC^2 +4AM^2 = 2(AB^2 +AC^2)$.

b) Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Chứng minh $AM$ vuông góc $BN$ khi và chỉ khi $AC^2+BC^2 = 5AB^2$.

So sánh hai phân số

1.So sánh hai phân số cùng mẫu.

Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, phân số nào có tử nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Ví dụ 1. So sánh $\frac{-3}{5}$ và $\frac{-7}{5}$.
Giải
Ta có $-7<-3$ và $5>0$ nên $\frac{-7}{5}<\frac{-3}{5}$.

Chú ý: Với hai phân số có cùng một mẫu nguyên âm, ta đưa chúng về hai phân số có cùng mẫu nguyên dương rồi so sánh.

2. So sánh hai phân số khác mẫu.

Để so sánh hai phân số khác mẫu, ta đưa hai phân số đó về hai phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh hai phân số mới nhận được.

Ví dụ 2: So sánh $\dfrac{-4}{-15}$ và $\dfrac{-2}{-9}$.
Giải
Ta có: $\dfrac{-4}{-15}=\dfrac{4}{15}=\dfrac{4.9}{15.9}=\dfrac{36}{135} ; \dfrac{-2}{-9}=\dfrac{2}{9}=\dfrac{2.15}{9.15}=\dfrac{30}{135}$.
Vì $\dfrac{36}{135}>\dfrac{30}{135}$ nên $\dfrac{-4}{-15}>\dfrac{-2}{-9}$.

3. Các ví dụ.

Ví dụ 3. So sánh:
a) $\dfrac{-21}{10}$ và 0 ;
b) 0 và $\dfrac{-5}{-2}$;
c) $\dfrac{-21}{10}$ và $\dfrac{-5}{-2}$.
Ví dụ 4. Bạn Nam rất thích ăn sô cô la. Mẹ Nam có một thanh sô cô la, mẹ cho Nam
chọn $\ddfrac{1}{2}$ hoặc $\dfrac{2}{3}$ thanh sô cô la đó. Theo em bạn Nam sẽ chọn phần nào?

4. Bài tập sách giáo khoa

Bài 1. (SGK Toán 6 tập 2 – Trang 15) So sánh hai phân số.
a) $\frac{-3}{8}$ và $\frac{-5}{24}$;
b) $\frac{-2}{-5}$ và $\frac{3}{-5}$;
c) $\frac{-3}{-10}$ và $\frac{-7}{-20}$;
d) $\frac{-5}{4}$ và $\frac{23}{-20}$.
Bài 2. (SGK Toán 6 tập 2 – Trang 15) Căn cứ vào chiều cao trung bình của học sinh, người ta đưa ra chuẩn chiều cao bàn, ghế học sinh như sau :
Chiều cao ghế bằng chiều cao cơ thể nhân với 0,27 . Chiều cao bàn bằng chiều cao cơ thể nhân với 0,46 . Em hãy tính xem, với một học sinh cao $1,5 \mathrm{~m}$ như trong hình thì chiều cao ghế và chiều cao bàn là bao nhiêu thì thích hợp. Ghi kết quả dưới dạng phân số.

Bài 3. (SGK Toán 6 tập 2 – Trang 15)

a) So sánh $\frac{-11}{5}$ và $\frac{-7}{4}$ với $-2$ bằng cách viết $-2$ ở dạng phân số có mẫu số thích hợp. Từ đó suy ra kết quả so sánh $\frac{-11}{5}$ với $\frac{-7}{4}$.
b) So sánh $\frac{2020}{-2021}$ với $\frac{-2022}{2021}$.

Bài 4. (SGK Toán 6 tập 2 – Trang 15)

Sắp xếp các số $2 ; \frac{5}{-6} ; \frac{3}{5} ;-1 ; \frac{-2}{5} ; 0$ theo thứ tự tăng dần.

Tính chất cơ bản của phân số

1. Tính chất 1.

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Ví dụ 1.

a) $\dfrac{-5}{6}=\frac{(-5) \cdot 6}{6.6}=\dfrac{-30}{36}$;

b) $\dfrac{-5}{6}=\frac{(-5) \cdot(-9)}{6 \cdot(-9)}=\dfrac{45}{-54}$.

  • Có thể biểu diễn số 12 ở dạng phân số có mẫu số là $-5$ như sau: $12=\dfrac{12}{1}=\dfrac{12 \cdot(-5)}{1 .(-5)}=\dfrac{-60}{-5}$.

Nhận xét: Có thể biểu diễn số nguyên ở dạng phân số với mẫu số (khác 0 ) tuỳ ý.

  • Áp dụng tính chất 1 , ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số bằng cách nhân tử và mẫu của mổi phân số với số nguyên thích hợp.

Giải:

Ta thực hiện $\dfrac{7}{-6}=\dfrac{7.10}{-6.10}=\dfrac{70}{-60} ; \quad \dfrac{-15}{10}=\dfrac{-15 \cdot(-6)}{10 \cdot(-6)}=\dfrac{90}{-60}$.

Nhận xét: Mẫu số giống nhau ở hai phân số là $-60$ còn gọi là $m \tilde{a}$ áu số chung của hai phân số. Khi quy đồng mẫu số hai phân số, có thể có nhiều cách chọn mẫu số chung. Chúý: Có thể quy đồng mẫu số của nhiều phân số bằng cách tìm mẫu số chung của nhiều phân số.

Ví dụ 3. Quy đồng mẫu số của ba phân số $\dfrac{3}{4} ; \dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{-7}{3}$.

Ta thực hiện $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3.15}{4.15}=\dfrac{45}{60} ; \dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 12}{5.12}=\dfrac{24}{60} ; \dfrac{-7}{3}=\dfrac{-7 \cdot 20}{3.20}=\dfrac{-140}{60}$.
Mẫu số chung của ba phân số trên là 60 .

 

2. Tính chất 2

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Ví dụ 4.
a) $\dfrac{-35}{60}=\dfrac{(-35): 5}{60: 5}=\dfrac{-7}{12}$;
b) $\dfrac{12}{-27}=\dfrac{12:(-3)}{-27:(-3)}=\dfrac{-4}{9}$.

Áp dụng tính chất 2 , ta có thể rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho cùng ước
chung khác 1 và $-1$.

Ví dụ 5. Rút gọn phân số $\dfrac{12}{-52}$.

Giải.

Ta có: $\dfrac{12}{-52}=\dfrac{12: 4}{(-52): 4}=\dfrac{3}{-13}$.

3. Bài tập sách giáo khoa

Bài 1. Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 để tìm một phân số bằng mỗi phân số sau:
a) $\dfrac{21}{13}$;
b) $\dfrac{12}{-25}$;
c) $\dfrac{18}{-48}$;
d) $\dfrac{-42}{-24}$.

Bài 2. Rút gọn các phân số sau: $\dfrac{12}{-24} ; \dfrac{-39}{75} ; \dfrac{132}{-264}$.

Bài 3. Viết mỗi phân số dưới đây thành phân số bằng nó có mẫu số dương:
$$
\dfrac{1}{-2} ; \dfrac{-3}{-5} ; \dfrac{2}{-7}
$$
Bài 4. Dùng phân số có mẫu số dương nhỏ nhất để biểu thị xem số phút sau đây chiếm bao nhiêu phần của mộ\operatorname{tg} i ờ ? ~
a) 15 phút;
b) 20 phút;
c) 45 phút;
d) 50 phút.

Bài 5. Dùng phân số để viết mỗi khối lượng sau theo tạ, theo tấn.
a) $20 \mathrm{~kg}$;
b) $55 \mathrm{~kg}$
c) $87 \mathrm{~kg}$
d) $91 \mathrm{~kg}$.

Bài 6. Dùng phân số có mẫu số dương nhỏ nhất biểu thị phần tô màu trong mỗi hình sau.

Phân số

1.Phân số là gì?

Ta gọi $\dfrac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$, trong đó $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}, \mathrm{b} \neq 0$ là phân số, a là tử số (tử) và b là mẫu số (mẫu) của phân số. Phân số $\dfrac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ đọc là a phần b.

Ví du 1: Phân số $\dfrac{7}{-8}$ có tử số là 7 , mẫu số là $-8$ và được đọc là “bảy phần âm tám”.

Chú ý: Ta có thể dùng phân số để ghi (viết, biểu diễn) kết quả phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác $0 .$
Vi du 2: Phân số $\frac{2}{-5}$ là ghi kết quả phép chia 2 cho $-5$.

2.Hai phân số bằng nhau.

Hai phân số $\dfrac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ và $\dfrac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ được gọi là bằng nhau, viết là $\dfrac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\dfrac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$, nếu $\mathrm{a} \cdot \mathrm{d}=\mathrm{b} \cdot \mathrm{c}$.
Ví dụ 3

a) $\dfrac{-12}{-15}=\dfrac{8}{10}$ vì $(-12) \cdot 10=(-15) .8$ (cùng bằng $-120$ ).

b) $\dfrac{9}{8}$ không bằng $\dfrac{5}{4}$, vì $9.4$ không bằng $8.5$. Viết: $\frac{9}{8} \neq \frac{5}{4}$.

Chú ý: Điều kiện $\mathrm{a} \cdot \mathrm{d}=\mathrm{b}$. $\mathrm{c}$ gọi là điều kiện bằng nhau của hai phân số $\dfrac{\mathrm{a}}{\mathrm{h}}$ và $\dfrac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$.

3. Biểu diễn số nguyên.

Mỗi số nguyên $\mathrm{n}$ có thể coi là phân số $\dfrac{\mathrm{n}}{1}$ (viết $\dfrac{\mathrm{n}}{1}=\mathrm{n}$ ). Khi đó số nguyên $\mathrm{n}$ được biểu diễn ở dang phân số $\dfrac{\mathrm{n}}{1}$.
Ví dụ 4: $\dfrac{-7}{1}=-7 ; 125=\dfrac{125}{1} .$

Bài tập sách giáo khoa

Bài 1. Vẽ lại hình vẽ bên và tô màu để phân số biểu thị phần tô màu bằng $\dfrac{5}{12}$.

Bài 2. Đọc các phân số sau.
a) $\dfrac{13}{-3}$;
b) $\dfrac{-25}{6}$;
c) $\dfrac{0}{5}$;
d) $\dfrac{-52}{5}$.

Bài 3. Một bể nước có 2 máy bơm để cấp và thoát nước. Nếu bể chưa có nước, máy bơm thứ nhất sẽ bơm đầy bể trong 3 giờ. Nếu bể đầy nước, máy bơm thứ hai sẽ hút hết nước trong bể sau 5 giờ. Dùng phân số có tử số là số âm hay số dương thích hợp để biểu thị lượng nước mỗi máy bơm bơm được sau 1 giờ so với lượng nước mà bể chứa được.

Bài 4. Tìm cặp phân số bằng nhau trong các cặp phân số sau:
a) $\dfrac{-12}{16}$ và $\dfrac{6}{-8}$;
b) $\dfrac{-17}{76}$ và $\dfrac{33}{88}$.

Bài 5. Viết các số nguyên sau ở dạng phân số.
a) 2 ;
b) $-5$;
c) $0 .$

Số hữu tỉ – Vô tỉ

Số hữu tỉ – Số vô tỉ

(Bài viết dành cho các em trung học cơ sở)

Trong bài viết nhỏ này tôi xin giới thiệu một số bài toán liên quan đến các tập hợp số hữu tỉ và vô tỉ, một số trong đó đã xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào 10 hay các kì thi học sinh giỏi.
Đầu tiên ta xem lại một số khái niệm và tính chất quan trọng.

Định nghĩa. Tập hợp các số có dạng $\dfrac{p}{q}$ trong đó $p, q$ là các số nguyên, $q \neq 0$ được gọi là số hữu tỉ. Kí hiệu là $\mathbb{Q}$. Tập số nguyên là tập con của tập các số hữu tỉ.
Tập hợp các số không phải là số vô tỉ được gọi là số vô tỉ, kí hiệu là $I$.

Tính chất 1. Ta có một số tính chất sau của số vô tỉ và hữu tỉ.

  • Tổng hiệu tích thương của hai số hữu tỉ là hữu tỉ.
  • Tổng, tích, thương của một số hữu tỉ và vô tỉ là một số vô tỉ

Việc chứng minh một số là số hữu tỉ hay vô tỉ chủ yếu dựa vào các định nghĩa trên, trong đó việc chứng minh một số là số vô tỉ hầu hết là sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
Ta bắt đầu với bài toán cơ bản sau:
Ví dụ 1.
a) Chứng minh $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ.
b) Chứng minh $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là một số vô tỉ.

Lời giải.

Ta sử dụng phương pháp chứng minh là phản chứng.

a) Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, tức là tồn tại $\dfrac{p}{q}$ trong đó $p, q \in \mathbb{Z},(p,q) = 1, q \neq 0$ và $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$.
Khi đó ta có $p^2 = 2q^2$, suy ra $p^2$ chia hết cho $2$ mà $2$ nguyên tố nên $p$ chia hết cho $2$, $p = 2k$.
Suy ra $q^2 = 2k^2$, lí luận tương tự thì $q$ chia hết cho $2$, do đó $(p, q) \neq 1$ (mâu thuẫn).
Vậy điều giả sử sai, $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.
b) Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a$ hữu tỉ, suy ra $\sqrt{6} = \dfrac{a^2-5}{2}$ hữu tỉ. Chứng minh tương tự trên ta cũng suy ra điều vô lí.

Từ bài toán trên ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:

Ví dụ 2. Cho $n$ là số tự nhiên nếu $\sqrt{n}$ không là số tự nhiên thì $\sqrt{n}$ là số vô tỉ.

Lời giải.

Giả sử $\sqrt{n}$ không phải vô tỉ và không phải số nguyên, suy ra $\sqrt{n} = \dfrac{p}{q}$ trong đó $(p,q) =1, q > 1$.
Tương tự ta có $p^2 = nq^2$. Do $q > 1$ nên có ước nguyên tố, giả sử $r$ là một ước nguyên tố của $q$, suy ra $p^2$ chia hết cho $r$, suy ra $p$ chia hết cho $r$, khi đó $(p,q) \neq 1$ (vô lí).
Vậy căn của một số nguyên là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ.
\

Đặt $\sqrt{2} = x$, ta có $x^2 = 2 \Leftrightarrow x^2 – 2 = 0$, đến đây ta thấy $\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình $x^2-2 = 0$. Ta có thể chứng minh phương trình $x^2 -2=0$ không có nghiệm hữu tỉ, từ đó suy ra $\sqrt{2}$ không là số hữu tỉ. Tất nhiên việc chứng minh này không khác mấy chứng minh trên. Tuy nhiên với các nhìn khác, ta có bài toán sau:

Ví dụ 3. Cho phương trình với các hệ số nguyên $a_0, a_1, \cdots, a_n$: $$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x + a_0 = 0$$
Khi đó nếu $\dfrac{p}{q}$ với $(p,q)=1$ là một nghiệm hữu tỉ của phương trình thì $p|a_0, q|a_n$.Đặt biệt nếu $a_n=1$ thì nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm là số nguyên.

Lời giải

Thế $\dfrac{p}{q}$ vào phương trình và qui đồng, ta có $$a_np^n+a_{n-1}qp^{n-1}+\cdots+a_1q^{n-1}p + a_0q^n = 0$$
Khi đó $a_np^n$ chia hết cho $q$, suy ra $a_n$ chia hết cho $q$, tương tự thì $a_0$ chia hết cho $p$.

Cũng tương tự, ta có bài toán sau:
Ví dụ 4. Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $a, b, c$ là các số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm hữu tỉ.
Lời giải.

Giả sử $\dfrac{p}{q}, (p,q)=1$ là một nghiệm hữu tỉ của phương trình trên. Khi đó ta có $p|c, q|a$, suy ra $p, q$ đều lẻ. Mặt khác ta có $ap^2 + bpq+ cq^2 = 0$. Vế trái là một số lẻ nên vô lí. Vậy phương trình không có nghiệm hữu tỉ.

Sử dụng bài toàn 3 ta có thể chứng minh $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ là số vô tỉ theo một các khác. Bằng cách chứng minh $a = \sqrt{2}+\sqrt{6}$ là nghiệm của phương trình bậc 4: $x^4 – 10x^2 – 1 = 0$, và dễ thấy phương trình trên không có nghiệm hữu tỉ nên $\sqrt{2}+\sqrt{6}$ là số vô tỉ.

Sau đây ta đi tới một số bài toán khác cũng liên quan đến số hữu tỉ và vô tỉ.
Ví dụ 5. Cho các số thực $x, y, z$ khác 0 thỏa $xy, yz, xz$ là các số hữu tỉ.
a) Chứng minh $x^2 + y^2 + z^2 $ là số hữu tỉ.
b) Giả sử $x^3+y^3+z^3$ cũng là số hữu tỉ. Chứng minh $x, y, z$ là các số hữu tỉ.
Lời giải.

a) Ta có $xy, yz \in \mathbb{Q}$, suy ra $\dfrac{x}{z} \in \mathbb{Q}$.
Mà $xz \in \mathbb{Q}$ suy ra $x^2 \in \mathbb{Q}$.
Tương tự ta cũng có $y^2, z^2 \in \mathbb{Q}$.
b) Ta có $x(x^3+y^3+z^3) = (x^2)^2 + (xy)y^2 + (xz)z^2 \in \mathbb{Q}$. Suy ra $x \in \mathbb{Q}$.
Tương tự ta cũng có $y, z \in \mathbb{Q}$.

Chú ý. Với cách giải trên ta chấp nhận không thể xảy ra $x^3+y^3+z^3 = 0$ vì phương trình này không có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ.

Ví dụ 6. Tìm tất cả các số tự nhiên $a, b$ sao cho $$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}
$$ là số hữu tỉ.
Lời giải.
Đặt $x = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}$ là số nguyên.
Suy ra $\sqrt{a} – x\sqrt{b} = x\sqrt{3}-\sqrt{2}$
Bình phương hai vế ta có $a +x^2b -2x\sqrt{ab} = 3x^2+2-2x\sqrt{6} \Rightarrow a+x^2b-3x^2-2 = 2x(\sqrt{ab}-\sqrt{6})$.
Suy ra $\sqrt{ab}-\sqrt{6} = y \in \mathbb{Q}$.
Khi đó $ab = 6+y^2 – 2y\sqrt{6}$.
Vì $\sqrt{6}$ là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y = 0$ và $ab=6$.
Ta xét các trường hợp sau:

  • $a = 1, b = 6 \Rightarrow x = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$ vô tỉ.
  • $a = 2, b = 3 \Rightarrow x= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
  • $a = 3, b = 2 \Rightarrow x = 1$.
  • $a = 6, b = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2}$ vô tỉ.

Vậy $a = 3, b = 2$ là số cần tìm.

Ví dụ 7. Tìm tất cả các bộ số hữu tỉ dương $(x, y, z)$ sao cho $x+\dfrac{1}{y}, y + \dfrac{1}{z}, z+\dfrac{1}{x}$ là các số nguyên.

Lời giải.
Đặt $a = x+\dfrac{1}{y} (1), b = y + \dfrac{1}{z} (2), c = z+\dfrac{1}{x} (3)$.
Từ (1) ta có $y = \dfrac{1}{a-x}, z = \dfrac{1}{b-y} = \dfrac{a-x}{ab-1-bx}$. Thế vào (3) ta có:
$\dfrac{a-x}{ab-1-bx}+\dfrac{1}{x} = c \Leftrightarrow (bc-1)x + (a-b+c-abc)x + ab – 1 = 0$ (4).
Nếu $bc = 1$ thì $b = 1, c = 1$ suy ra $a = 1$. Khi đó $3 = x + \dfrac{1}{x} + y +\dfrac{1}{y} + z + \dfrac{1}{z} \geq 6$ (vô lý)
Nếu $bc \neq 1$, khi đó ta xem (4) như phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỷ $x$, khi đó $\Delta = (a-b+c-abc)^2 – 4(bc-1)(ab-1) = (abc-a-b-c)^2 – 4$ là số chính phương.
Đặt $t = abc-a-b-c$ ta có $t^2-4 = k^2$, giải ra được $ t = 2$ hoặc $t = -2$.

$0=abc-a-b-c +2 = a(bc-1) – b-c+2 \geq bc-b-c+1 = (b-1)(c-1)$. Suy ra $b = c=1$ (vô lý).
$0=abc-a-b-c-2 \geq (b-1)(c-1) – 4\Rightarrow (b-1)(c-1) \leq 4$.
Nếu $(b-1)(c-1) = 4$ thì $b = 2, c=5$; $b = 3, c=3$; $b=5, c=2$. Trong các trường hợp này thì $a=1$.
Nếu $ a= 1, b = 2, c = 5$ giải được $(x, y, z) = (\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{2},2)$.
Nếu $a = 1, b = 3, c = 3$ thì $(x, y, z) = (\dfrac{1}{2},2,1)$.
Nếu $a = 1, b = 5, c = 2$ thì $(x, y, z) = (\dfrac{2}{3}, 3,2)$.
Nếu $(b-1)(c-1) = 3 \Rightarrow bc= b+c +2 = abc-a = a(bc-1) \Rightarrow bc-1|bc \Rightarrow bc = 1, a = 1$. (loại)
Khi $(b-1)(c-1) =2 \Rightarrow a = b = c = 2$, giải ra được $(x, y, z) = (1, 1, 1)$.

Trên đây là một số bài toán liên quan đến số hữu tỉ, vô tỉ, hi vọng các em có thêm kinh nghiệm để làm bài trong các tình huống này. Sau đây là một số bài tập rèn luyện.

Bài 1.  Tìm một đa thức hệ số nguyên nhận $\alpha = 2 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ làm nghiệm. Chứng minh $\alpha$ là số vô tỷ.
Bài 2.  Cho các số $a, b$ sao cho $a – \sqrt{ab}$ và $b-\sqrt{ab}$ đều là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng $a, b$ cũng là các số hữu tỉ.
Bài 3. Ta nói các căp số $(\mathrm{a}, \mathrm{b}) a \neq b$, là có tính chất $\mathrm{P}$ nếu $a^{2}+b \in Q$ và $b^{2}+a \in \mathbb{Q}$.
Chứng minh rằng:
a) Các số $a=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}, b=\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$ là các số yô tỷ có tính chất $\mathrm{P}$.
b) Nếu $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ có tính chất $\mathrm{P}$ và $a+b \in \mathbb{Q} \backslash{1}$ thì $a, b$ à các số hũu tỷ.
c) Nếu $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ có tính chất $\mathrm{P}$ và $\dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ thì $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ là các số hũu tỷ.
Bài 4.  Với mỗi số hữu tỷ $q$ đặt $V_q = {x \in \mathbb{Q}|x^3-2015x =q}$.

a)Tìm $q$ sao cho $V_q$ có là tập rỗng và $V_q$ có đúng một phần tử.
b) Gọi $S(V_q)$ là số phần tử của $V_q$, tìm tất cả các giá trị của $S(V_q)$.
Bài 5.
a) Cho số thực $x$ thỏa $x^2+x$ và $x^3+2x$ là số hữu tỷ. Chứng minh $x$ cũng là số hữu tỷ.
b) Chứng minh rằng tồn tại số vô tỷ $x$ sao cho $x^2+x$ và $x^3-2x$ là hữu tỷ.

Hết

Hệ thức lượng trong tam giác – Tính toán độ dài

Dạng 1. Tính toán

Áp dụng đầu tiên của các hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là tính toán độ dài khi biết một số yếu tố cho trước, việc tính toán này xem ra là bài toán dễ tuy vậy đòi hỏi tính chính xác và áp dụng định lí một cách thành thục.

  • Phương pháp chủ yếu là áp dụng định lí thiết lập mối quan hệ giữa yếu tố đã cho và yếu tố chưa biết, từ đó tính được đối tượng cần tính.
  • Với các bài toán khó hơn phải thiết lập các phương trình hoặc hệ phương trình để giải.
  • Ta cũng hay vẽ thêm các đường vuông góc để tao ra tam giác vuông hay đường cao, từ đó mới có thể áp dụng được hệ thức lượng.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm, BC = 10cm$, đường cao $AH$ ($H$ thuộc $BC$).

a)Tính độ dài cạnh $AC,AH$.
b) Tính $BH, CH$.
Lời giải.
a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$ ta có:\
$AB^2 + AC^2 = BC^2$ $\Leftrightarrow 6^2 + AC^2 = 10^2$ \
$\Rightarrow AC = \sqrt{10^2-6^2} =8(cm)$.\
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $ABC$ ta có:\
$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow
AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6\cdot 8}{10} = \dfrac{24}{5} (cm)$.
b) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $ABC$ ta có: \
$BH \cdot BC = AB^2 \Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} =\dfrac{18}{5} (cm)$ \
và $CH = BC – BH = 10 – \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5} (cm)$. \

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Cho $BH = 4, CH = 9$. Tính
a) Tính $AH, AB, AC$.
b)Vẽ $HD \bot AB$ và $HE \bot AC$( với $D$ thuộc $AB$ và $E$ thuộc $AC$). Tính $AD$ và $AE$.
Lời giải

Ta có $BC = BH + CH = 4 + 9 = 13$.
a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:
$AH^2 = BH \cdot CH = 36 \Rightarrow AH = 6$;
$AB^2 = BH \cdot BC = 4\cdot 13\Rightarrow AB = 2\sqrt{13}$;
$AC^2 = CH \cdot BC = 9 \cdot 13 \Rightarrow CH = 3\sqrt{13}$.
b)
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có đường cao $HD$ nên:\
$AD\cdot AB = AH^2 \Rightarrow AD = \dfrac{AH^2}{AB} = \dfrac{36}{2\sqrt{13}} = \dfrac{18\sqrt{13}}{13}$;
Tương tự ta có $AE\cdot AC = AH^2 \Rightarrow AE = \dfrac{AH^2}{AC} = \dfrac{36}{3\sqrt{13}} = \dfrac{12\sqrt{13}}{13}$.

Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2AD$ và $AC = 4\sqrt{5}$.

a)Tính độ dài cạnh của hình chữ nhật.
b) Vẽ $AH \bot BD$. Tính $AH, CH$.

Lời giải

a) Ta có $BD = AC = 4\sqrt{5}$.
Đặt $AD = x$, suy ra $AB = 2x$.
Ta có $BD^2 = AB^2 + CD^2\
\Leftrightarrow 80 = 5x^2 \Rightarrow x = 4$.
Do đó $AB = 8, AD = 4$.
b) Tam giác $ABD$ vuông có đường cao $AH$ nên
$AH \cdot BD = AB \cdot AD
\Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AD}{BD} = \dfrac{8}{\sqrt{5}}$.
Vẽ $HK \bot CD$.
Ta có $\triangle DHK \backsim ADH$, suy ra $$\dfrac{HK}{DH} = \dfrac{DK}{AH} = \dfrac{DH}{AD} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$$
Suy ra $DK = \dfrac{8}{5}, KH = \dfrac{4}{5}$.
Khi đó $CK = CD – DK = 8-\dfrac{8}{5} = \dfrac{32}{5}$.
Và $CH = \sqrt{CK^2+HK^2}= \sqrt{\dfrac{32^2}{5^2}+\dfrac{4^2}{5^2}} = \dfrac{4\sqrt{65}}{5}$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = 10, BC = 16$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a)Tính độ dài $AM$.
b) Vẽ $MD$ vuông góc $AB$. Tính $AM$.
Lời giải

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ cũng là đường cao, suy ra $AM \bot BC$. \
$AM^2 + MB^2 = AB^2 \Rightarrow AM = \sqrt{AB^2-MB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
\item Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ có $MD$ là đường cao:\ $AD\cdot AB = AM^2 \Rightarrow AD = \dfrac{AM^2}{AB} = \dfrac{36}{10} = \dfrac{18}{5}$.\

Ví dụ 5. Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy nhỏ $AB = 3$, đáy lớn $CD = 7$, cạnh bên $AD = 5$. Tính diện tích hình thang $ABCD$.}

Lời giải

Vẽ đường cao $AH, BK$ của hình thang $ABCD$.
Ta có $\triangle AHD = \triangle BKC$ (ch.gn), suy ra $HD = CK$.
Hơn nữa $ABKH$ là hình chữ nhật nên $HK = AB =3$.
Suy ra $DH = CK = 2$.
Tam giác $ADH$ vuông tại $H$, suy ra $AD^2 = DH^2 + AH^2$

$\Rightarrow AH = \sqrt{AD^2-DH^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$
Khi đó $S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AH \cdot (AB+CD) = 5\sqrt{21}$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác vuông $A B C$, đặt $A B=c, A C=b, B C=a$, đường cao $A H=h, B H=c^{\prime}$, $C H=b^{\prime}$. Tính độ dài các đoạn thẳng còn lại khi biết:
(a) $a=13, b=12$.
(b) $b^{\prime}=3, c^{\prime}=12$.
(c) $b=5, h=4$.
(d) $h=3, a=10$.
Bài 2. Cho hình thang vuông $A B C D$ có $\angle A=\angle D=90^{\circ}$. Cho $A D=h, A B=a, C D=b, B C=$ c. Tính các độ dài chưa biết khi cho:
(a) $a=3, b=7, h=3$.
(b) $a=5, c=13, b=10$.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B=9 cm, B C=15 cm, A H$ là đường cao $(H$ thuộc cạnh $B C$ ). Tính độ dài các đoạn thẳng $B H, C H, A C$ và $A H$.
Bài  4. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$.
Biết $B H=\frac{9}{5} ; C H=\frac{16}{5}$.
(a) Tính $A H, A B, A C$.
(b) Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $H$ trên $A B, A C$.
Chứng minh $ A D \cdot A B=A E \cdot A C$.
(c) Đường thẳng $D E$ cắt đường thẳng $B C$ tại $F$. Chứng minh $F B \cdot F C=F D \cdot F E$.
Bài 5. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là $\frac{3}{4}$, độ dài cạnh góc vuông nhỏ bằng $6 \mathrm{~cm}$. Tính độ dài cạnh huyền, độ dài hình chiếu vuông góc của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Bài 6. Tam giác $A B C$ nhọn có đường cao $A H$, biết rằng $A B=26 cm, A C=25 cm$, đường cao $A H=24 ~cm$. Tính độ dài cạnh $B C$.
Bài 7. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C=\sqrt{13} cm$.
Tính $A B, A C$, cho biết $A B=\frac{2}{3} A C$.
Bài 8. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A H$ là đường cao. $B H=1 cm, C H=4 cm$. Tính $B C$, $A H, A B$ và $A C$.

Tài liệu tham khảo

Nguyễn Tăng Vũ, Bài tập hình học 9 cơ bản và nâng cao, Star Education

Số nguyên: Phép nhân và phép chia

Phép nhân hai số nguyên khác dấu.

  • Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.
  • Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ $(-)$ trước kết quả nhận được.
    Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và $\mathrm{b}$, ta có:
    $$
    \begin{aligned}
    &(+a) \cdot(-b)=-a \cdot b \
    &(-a) \cdot(+b)=-a \cdot b
    \end{aligned}
    $$

Ví dụ 1.

$2 \cdot(-3)=-(2 \cdot 3)=-6 ; $
$(-5) \cdot(4)=-(5 \cdot 4)=-20 ; $
$(-3) \cdot(+50)=-(3 \cdot 50)=-150 ; $
$(+3) \cdot(-50)=-(3.50)=-150$

Phép nhân hai số nguyên cùng dấu

  • Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.
  • Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý:

  • Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: $(-a) \cdot(-b)=(+a) \cdot(+b)=a \cdot b$.
  • Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

Ví dụ 2:

$3.50=150$; $(-3) \cdot(-50)=3 \cdot 50=150 ;$
$(-3) \cdot(-6)=3 \cdot 6=18$

Tính chất phép nhân

Tính chất giao hoán

$$a\cdot b = b \cdot a$$

Chú ý:
$1=1 . \mathrm{a}=\mathrm{a} ;$
$0=0 . \mathrm{a}=0 .$

Cho hai số nguyên $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ :
Nếu $\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}=0$ thì $\mathrm{x}=0$ hoặc $\mathrm{y}=0$.
Ví dụ 3. Nếu $(\mathrm{a}+1) \cdot(\mathrm{a}-6)=0$ thì
$\mathrm{a}+1=0$ hoặc $\mathrm{a}-6=0 .$
Suy ra $\mathrm{a}=-1$ hoặc $\mathrm{a}=6$.

Tính chất kết hợp 

$$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$

Ví dụ 4.

$(4 \cdot(-3)) \cdot(-2)=4 \cdot ((-3) \cdot(-2))=4 \cdot(3 \cdot 2)=24$

Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên:
$$
\text { a } \cdot b \cdot c=a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c
$$

Tính chất phân phối phép nhân đối với phép cộng, phép trừ

$$ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$$

$$ a \cdot (b-c) = a \cdot b – a \cdot c$$

Ví dụ 5. 

$(-5) \cdot 18+(-5) \cdot 83+(-5) \cdot(-1)=(-5) \cdot(18+83-1)=(-5) \cdot(100)=-500$

Quan hệ giữa phép chia và phép chia hết trong tập các số nguyên.

Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}$ và $\mathrm{b} \neq 0$. Nếu có số nguyên q sao cho $\mathrm{a}=\mathrm{bq}$ thì
– Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a $\vdots$ b.
– Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho $\mathrm{b}$, kí hiệu
là $\mathrm{a}: \mathrm{b}=\mathrm{q}$.

Ví dụ 6. Ta có $-12=3 \cdot(-4)$ nên ta nói:
– $-12$ chia hết cho $-4$.
– $-12:(-4)=3$.
– 3 là thương của phép chia $-12$ cho $-4$.

Bội và ước của một số nguyên.

Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}$. Nếu a $\vdots \mathrm{b}$ thì ta nói a là bội của $\mathrm{b}$ và $\mathrm{b}$ là ước của $\mathrm{a}$.
Vi du 7: Ta có $(-12) \vdots(-4)$ nên ta nói $-12$ là bội của $-4$ và $-4$ là ước của $-12$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tính:
a) $(-3) .7$
b) $(-8) \cdot(-6)$
c) $(+12) \cdot(-20)$
d) $24 .(+50)$.
Bài 2. Tìm tích $213.3$. Từ đó suy ra nhanh kết quả của các tích sau:
a) $(-213) \cdot 3$;
b) $(-3) \cdot 213 ;$
c) $(-3) \cdot(-213)$
Bài 3. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:
a) $(+4) \cdot(-8)$ với 0 ;
b) $(-3) .4$ với 4;
c) $(-5) \cdot(-8)$ với $(+5) \cdot(+8)$
Bài 4. Thực hiện phép tính:
a) $(-3) \cdot(-2) \cdot(-5) \cdot 4$
b) $3 \cdot 2 \cdot(-8) \cdot(-5)$
Bài 5. Một kho lạnh đang ở nhiệt độ $8^{\circ} \mathrm{C}$, một công nhân cần đặt chế độ làm cho nhiệt độ của kho trung bình cứ mỗi phú\operatorname{tg} i ả m ~ đ i ~ $2{ }^{\circ} \mathrm{C}$. Hỏi sau 5 phút nữa nhiệt độ trong kho là bao nhiêu?
Bài 6. Bạn Hồng đang ngồi trên máy bay, bạn ấy thấy màn hình thông báo nhiệt độ bên ngoài máy bay là $-28^{\circ} \mathrm{C}$. Máy bay đang hạ cánh, nhiệt độ bên ngoài trung bình mỗi phút tăng lên $4{ }^{\circ} \mathrm{C}$. Hỏi sau 10 phút nữa nhiệt độ bên ngoài máy bay là bao nhiêu độ $\mathrm{C} ?$
Bài 7. Tìm số nguyên $\mathrm{x}$, biết:
a) $(-24) \cdot \mathrm{x}=-120$;
b) $6 . \mathrm{x}=24$
Bài 8. Tìm hai số nguyên khác nhau a và b thoả mãn a $\vdots$ b và $b \vdots$ a.
Bài 9. Tìm tất cả các ước của các số nguyên sau: $6 ;-1 ; 13 ;-25$.
Bài 10. Tìm ba bội của: $5 ;-5$.
Bài 11. Nhiệt độ đầu tuần tại một trạm nghiên cứu ở Nam Cực là $-25^{\circ} \mathrm{C}$. Sau 7 ngày nhiệt độ tại đây là $-39^{\circ} \mathrm{C}$. Hỏi trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đồi bao nhiêu độ C?
Bài 12. Sau một quý kinh doanh, bác Ba lãi được 60 triệu đồng, còn chú Tư lại lỗ 12 triệu đồng. Em hãy tính xem bình quân trong một tháng mỗi người lãi hay lỗ bao nhiêu tiền.

Cộng trừ hai số nguyên

1.Cộng hai số nguyên cùng dấu

  • – Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.
    – Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.
    – Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó.

Chú ý. Nếu $a, b$ là các số nguyên dương.

  • $(+a) +(+b) = a+b$
  • $(-a) + (-b) = -(a+b)$.

Ví dụ 1. 

a)  $ (+2) +(+5) = 2+5 = 7$

b) $ (-4) + (-6) = -(4+6) = -10$.

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

  • Cộng hai số nguyên đối nhau: $a+(-a) = 0$.

  • Công hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta làm như sau:

  • Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.
  • Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.

Chú ý. Khi cộng hai số nguyên trái dấu:
– Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.
– Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng $0 .$
– Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.

Ví dụ 2.

a) $97+(-83)=97-83=14($ vì $97>83)$;
b) $45+(-45)=0$;
c) $22+(-64)=-(64-22)=-42($ vì $64>22$ ).

3. Tính chất của phép cộng các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

$$a + b = b+ a$$

b) Tính chất kết hợp

$$ a + (b+c) = (a+b) + c$$

Ví dụ 3. Tính một cách hợp lí:
a) $\mathrm{S}=12+(-91)+188+(-9)+400$
b) $\mathrm{~T}=(-2019)+100+(-81)+2000$

Lời giải

a) $\mathrm{S}=12+(-91)+188+(-9)+400$
$=12+188+400+(-91)+(-9)$ (tính chấ\operatorname{tg} i a o ~ h o á n ~ v à ~ k ế t ~ h ợ p ) ~
$=200+400+(-100)$
$=600-100$
$=500 .$
b) $\mathrm{T}=(-2019)+100+(-81)+2000$
(bỏ dấu ngoặc)
$=(-2019)+(-81)+100+2000 \quad$ (tính chấ\operatorname{tg} i a o ~ h o á n ~ v à ~ k ế t ~ h ợ p ) ~
$=-2100+2100=0$
(tổng hai số đối nhau)

4. Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên $\mathrm{b}$, ta cộng a với số đối của $\mathrm{b}$.
$$
a-b=a+(-b)
$$

 

Ví dụ 4.

\begin{aligned}
&5:(+5)-(+2)=5+(-2)=5-2=3 \
&1-2=1+(-2)=-(2-1)=-1 ; \
&1-(-2)=1+2=3 ; \
&(-10)-(-12)=(-10)+(12)=12-10=2 .
\end{aligned}

Chú ý
– Cho hai số nguyên a và b. Ta gọi $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ là hiệu của a và $\mathrm{b}$ (a được gọi là số bị trừ, $\mathrm{b}$ là số trừ).
– Phép trừ luôn thực hiện được trong tập hợp số nguyên. Như vậy, hiệu của hai số nguyên a và $\mathrm{b}$ là tổng của a và số đối của $\mathrm{b}$.

5. Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc, nếu đằng trước dấu ngoặc:
– có dấu “+”, thì vẫn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc
$$
+(a+b-c)=a+b-c
$$
– có dấu “-“, thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc
$$
-(a+b-c)=-a-b+c
$$

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) $23+45$;
b) $(-42)+(-54)$;
c) $2025+(-2025)$;
d) $15+(-14)$;
e) $35+(-135)$.
Bài 2. Em hãy dùng số nguyên âm để giải bài toán sau:
Một chiếc tàu ngầm đang ở độ sâu $20 \mathrm{~m}$, tàu tiếp tục lặn xuống thêm $15 \mathrm{~m}$ nữa. Hỏi khi đó, tàu ngầm ở độ sâu là bao nhiêu mét?

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) $6-8$
b) $3-(-9)$
c) $(-5)-10$;
d) $0-7$;
e) $4-0$;
g) $(-2)-(-10)$
Bài 4. Tính nhanh các tổng sau:
a) $\mathrm{S}=(45-3756)+3756$;
b) $\mathrm{S}=(-2021)-(199-2021)$.
Bài 5. Bỏ dấu ngoặc rồi tính:
a) $(4+32+6)+(10-36-6)$;
b) $(77+22-65)-(67+12-75)$;
c) $-(-21+43+7)-(11-53-17)$

Thứ tự của số nguyên

So sánh hai số nguyên

Khi biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì ta nói a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a và ghi là: $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ hoặc $\mathrm{b}>\mathrm{a}$.

Nhận xét:
– Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0 .
– Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0 .
– Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.
– Với hai số nguyên âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Ví dụ 1. So sánh các cặp số nguyên sau:

a) – 10 và -8

b) 3 và -14

c) 0 và – 2

Lời giải

Ví dụ 2. Cho ba số nguyên $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ và biết:
$$
\mathrm{a}>2 ; \quad \mathrm{b}<-7 ;-1<\mathrm{c}<1
$$
Hỏi trong các số nói trên, số nào là số nguyên dương, số nào là số nguyên âm và số nào bẳng 0 ?

Lời giải

Thứ tự trong tập hợp số nguyên

Ví dụ 3. Sắp xếp các số nguyên theo thứ tự tăng dần: 4, – 3, -5, 2, – 17.

Lời giải

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. So sánh các cặp số sau:
a) 6 và 5 ;
b) $-5$ và 0
c) $-6$ và 5 ;
d) $-8$ và $-6$;
e) 3 và $-10$;
$\mathrm{g}$ ) $-2$ và $-5$.

Lời giải

Bài 2. Tìm số đối của các số nguyên: $5 ;-4 ;-1 ; 0 ; 10 ;-2021$.
Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần và biểu diễn chúng trên trục số:
$2 ;-4 ; 6 ; 4 ; 8 ; 0 ;-2 ;-8 ;-6$

Lời giải

Bài 3. Hãy liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:
a) $\mathrm{A}={\mathrm{a} \in \mathbb{Z} \mid-4<\mathrm{a}<-1}$
b) $\mathrm{B}={\mathrm{b} \in \mathrm{Z} \mid-2<\mathrm{b}<3}$
c) $\mathrm{C}={\mathrm{c} \in \mathbb{Z} \mid-3<\mathrm{c}<0}$
d) $\mathrm{D}={\mathrm{d} \in \mathbb{Z} \mid-1<\mathrm{d}<6}$.

Lời giải

Bài 4. Sắp xếp theo thứ tự từ thấp đến cao nhiệt độ $\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ mùa đông tại các địa điểm sau đây của nước Mĩ: Hawaii (Ha-oai) $12{ }^{\circ} \mathrm{C}$; Montana (Môn-ta-na) $-2^{\circ} \mathrm{C}$; Alaska (A-la-xca) $-51{ }^{\circ} \mathrm{C}$; New York (Niu Oóc) $-15^{\circ} \mathrm{C}$; Florida (Phlo-ri-đa) $8{ }^{\circ} \mathrm{C}$.

Lời giải

Tài liệu tham khảo. 

Chân trời sáng tạo, Toán 6, NXB GD, Trần Nam Dũng (Chủ biên)