Tag Archives: Daiso

Phân tích đa thức thành nhân tử – Hằng đẳng thức

Cách thực hiện: Vận dụng các hằng đẳng thức  để đưa đa thức về dạng tích các đa thức hay dạng lũy thừa của một đa thức

A2±2AB+B2=(A±B)2

A2B2=(A+B)(AB)

A3±3A2B+3AB2±B3=(A±B)3

A3±B3=(A±B)(A2AB+B2)

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x29
b) 4x225
c) x6y6

(3x+1)2(2x+3)2

Giải

a) x29=x232=(x3)(x+3)
b) 4x225=(2x)252=(2x5)(2x+5)
c) x6y6=(x2)3(y2)3=(x2y2)(x4+x2y2+y4
d) (3x+1)2(2x+3)2=(3x+12x3)(3x+1+2x+3)=(x2)(5x+4)

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x29
b) 4x225
c) x6y6
d) 9x2+6xy+y2
e) 6x9x2

Giải

a) x24x+4=x22.2x+22=(x2)2
b) x2+6x+9=x2+2.3x+32=(x+3)2
c)  9x2+6xy+y2=(3x)2+2.3xy+y2=(3x+y)2
d) 6x9x2=(x26x+9)=(x22x.3+32)=(x3)2.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 27125x3.

b)  x3+127.
c) x39x2+27x27.
d) x3+3x2+3x+1

Giải

a) x24x+4=x22.2x+22=(x2)2
b) x2+6x+9=x2+2.3x+32=(x+3)2
c)  9x2+6xy+y2=(3x)2+2.3xy+y2=(3x+y)2
d) 6x9x2=(x26x+9)=(x22x.3+32)=(x3)2.

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3y6
b) x3+y3z3
c) (x1)2(y3)2
d) x44x2+4

Daie) x28x+16.

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3+8
b)  x327
c) x36x2+12x8
d)  (a2+4ab+4b2)x2
e)  x2y4.

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4a2b2
b) 121a2
c) 196a24b2
d) (ab)2c2

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 81(x+7)2(3x+8)2
b)  x2+14x+49
c) 25x220xy+4y2

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x104x8+4x6
b) m3+27
c) 8x627y3
d) x12y4.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3+6x2+12x+8
b) 2727m+9m2m3
c)  27a354ab+36ab28b2

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2+4y2+4xy.
b) (x+y)2(xy)2.
c) (3x+1)2(x+1)2.
d) x3+y3+z33xyz.
e) x314x.

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 125x264y2
b)  x3+127.
c)  (a+b)3(ab)3.
d)  (a+b)3+(ab)3.

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 8x3+12x2y+6xy2+y3.
b)  x3+9x227x+27.
c) 4x212xy+9y2.
d) x3+3x2+3x+1.

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x44x2y2+4y4.
b)  25x216y2.
c) 27125x3.

Bài 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2y2
b) 4x29y2
c) (x+1)2(y3)2
d) (2x+1)2(2y1)2.

Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3y3
b) x3+y3
c) 8x3+27y3
d) x3(y+1)3.

Bài 13. Tìm x, biết.

a) x30,25x=0.
b)  x210x=25.
c)  225x2=0.
d) x2x+14=0.

Bài 14. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 8x36x2+12x1
b)  27x3+27x2+9x+1
c) x36x2y+12xy28y3
d) 8x348x2y+96xy2+64y3

Bài 15. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (3x+1)3(3x5)3
b) (2x+1)3+(52x)3.

Bài 16. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x8y4
b) x3+y6.

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp đặt ẩn phụ

  1. Đặt ẩn phụ dạng đa thức

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x437x2+9.
b) (xy)2+4x4y12.
c)  (x2+3x)2+7x2+21x+10

Giải

a) 4x437x2+9

Đặt t=x2,t0

Ta có:

4t237t+9

=4t2t36t+9

=t(4t1)9(4t1)

=(4t1)(t9)

Vậy

4x437x2+9

=(4x21)(x29)

=(2x1)(2x+1)(x3)(x+3).

b) (xy)2+4x4y12=(xy)2+4(xy)12

Đặt t=xy

Ta có:

(xy)2+4(xy)12

=t2+4t12

=t22t+6t12

=t(t2)+6(t2)

=(t2)(t+6)

Vậy

(xy)2+4x4y12

=(xy)2+4(xy)12

=(xy2)(xy+6).

c)  (x2+3x)2+7x2+21x+10=(x2+3x)2+7(x2+3x)+10

Đặt t=x2+3x

Ta có:

t2+7t+10

=t2+2t+5t+10

=t(t+2)+5(t+2)

=(t+2)(t+5)

Vậy

(x2+3x)2+7x2+21x+10

=(x2+3x)2+7(x2+3x)+10

=(x2+3x+2)(x2+3x+5).

2. Đặt ẩn phụ dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e với (a+d=b+c).

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)24.
b)  (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16.
c)(x2+6x+8)(x2+8x+15)24.

Giải

a) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)24

=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)24

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)24

Đặt t=x2+5x+5

Suy ra

(x2+5x+4)(x2+5x+6)24

=(t1)(t+1)24

=t2124

=t225=(t5)(t+5)

Vậy (x2+5x+4)(x2+5x+6)24

=(x2+5x+55)(x2+5x+5+5)

=(x2+5x)(x2+5x+10)

=x(x+5)(x2+5x+10)

b)  (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16

=(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16

=(x2+10x+16)(x2+10x+24)+16

Đặt t=x2+10x+20

Suy ra

(x2+10x+16)(x2+10x+24)+16

=(t4)(t+4)+16

=t216+16=t2

Vậy

(x2+10x+16)(x2+10x+24)+16

=(x2+10x+20)2
c)(x2+6x+8)(x2+8x+15)24

=(x+2)(x+4)(x+3)(x+5)24

=(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)24

=(x2+7x+10)(x2+7x+12)24

Đặt t=x2+7x+11

Suy ra

(x2+7x+10)(x2+7x+12)24

=(t1)(t+1)24

=t2124

=t225

=(t5)(t+5)

Vậy

(x2+7x+10)(x2+7x+12)24

=(x2+7x+115)(x2+7x+11+5)

=(x2+7x+6)(x2+7x+16)

 

3. Đặt biến phụ dạng đẳng cấp.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)  (x2+1)2+3x(x2+1)+2x2.
b)  (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
c)  4(x2+x+1)2+5x(x2+x+1)+x2.

Giải

a)  (x2+1)2+3x(x2+1)+2x2

Đặt t=x2+1, ta được:

t2+3xt+2x2

=(t2+xt)+(2xt+2x2)

=t(t+x)+2x(t+x)

=(t+x)(t+2x)

Vậy

(x2+1)2+3x(x2+1)+2x2

=(x2+1+x)(x2+1+2x).

b)  (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

Đặt t=x2+4x+8, ta được:

t2+3xt+2x2

=(t2+xt)+(2xt+2x2)

=t(t+x)+2x(t+x)

=(x+t)(t+2x)

Vậy

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2

=(x+x2+4x+8)(x2+4x+8+2x)

=(x2+5x+8)(x2+6x+8).
c)  4(x2+x+1)2+5x(x2+x+1)+x2.

Đặt t=x2+x+1, ta được:

4t2+5xt+x2

=(4t2+4xt)+(xt+x2)

=4t(t+x)+x(t+x)

=(x+t)(4t+x)

Vậy

4(x2+x+1)2+5x(x2+x+1)+x2

=(x2+x+1+x)[4(x2+x+1)+x]

=(x+1)2(4x2+5x+4).

 

4. Đặt biến phụ dạng hồi quy ax4+bx3+cx2+dx+e=0.(ae=(bd)2). Hay e=(db)2.

Cách giải:  Đặt biến phụ t=x2+db và biến đổi đa thức trên về dạng chứa hạng tử t2+bxy+zx2 rồi sử dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a)  x4+6x3+11x2+6x+1
b) x4+5x312x2+5x+1.
c) 6x4+5x338x2+5x+6.

Giải

a)  x4+6x3+11x2+6x+1

=x2(x2+6x+11+6x+1x2)

=x2[(x2+1x2)+6(x+1x)+11]

Đặt t=x+1xt2=(x+1x)2x2+1x2=t22

x2[(x2+1x2)+6(x+1x)+11]

=x2(t22+6t+11)

=x2(t2+6t+9)

=x2(t+3)2

=x2(x+1x+3)2.
b) x4+5x312x2+5x+1.

=x2(x2+5x12+5x+1x2)

=x2[(x2+1x2)+5(x+1x)12]

Đặt t=x+1xt2=(x+1x)2x2+1x2=t22

=x2[(x2+1x2)+5(x+1x)12]

=x2(t22+5t12)

=x2(t2+5t14)

=x2(t22t+7t14)

=x2[t(t2)+7(t2)]

=x2(t2)(t+7)

=x2(x+1x2)(x+1x+7).

c) 6x4+5x338x2+5x+6.

=x2(6x2+5x38+5x+6x2)

=x2[6(x2+1x2)+5(x+1x)38]

Đặt t=x+1xt2=(x+1x)2x2+1x2=t22

=x2[6(x2+1x2)+5(x+1x)38]

=x2[6(t22)+5t38]

=x2(6t212+5t38)

=x2(6t2+5t50)

=x2(6t215t+20t50)

=x2(2t5)(3t+10)

=x2[2(x+1x)5][3(x+1x)+10].

 

5. Đặt biến phụ dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+ex2 với (ad=bc).

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x+1)(x4)(x+2)(x8)+4x2.
b)  (x1)(x+2)(x+3)(x6)+32x2.
c) (x+2)(x4)(x+6)(x12)+36x2.

Giải

a) (x+1)(x4)(x+2)(x8)+4x2.

=(x+1)(x8)(x4)(x+2)+4x2

=(x27x8)(x22x8)+4x2

Đặt t=x28

(x27x8)(x22x8)+4x2

=(t7x)(t2x)+4x2

=t29xt+14x2+4x2

=t29xt+18x2

=t23xt6xt+18x2

=t(t3x)6x(t3x)

=(t3x)(t6x)

=(x283x)(x286x).
b)  (x1)(x+2)(x+3)(x6)+32x2.

=(x1)(x6)(x+2)(x+3)+32x2

=(x27x+6)(x2+5x+6)+32x2

Đặt t=x2+6

(x27x+6)(x2+5x+6)+32x2

=(t7x)(t+5x)+32x2

=t22xt35x2+32x2

=t22xt3x2

=t2+xt3xt3x2

=t(t+x)3x(t+x)

=(t+x)(t3x)

=(x2+6+x)(x2+63x).

c) (x+2)(x4)(x+6)(x12)+36x2.

=(x+2)(x12)(x4)(x+6)+36x2

=(x210x24)(x2+2x24)+36x2

Đặt t=x224

=(x210x24)(x2+2x24)+36x2

=(t10x)(t+2x)+36x2

=t28xt20x2+36x2

=t28xt+16x2

=(t4x)2

=(tx2244x)2.

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích  các đa thức sau thành nhân tử:

a)  (x2+5x)2+10x2+50x+24.
b) x2+6xy+9y23(x+3y)+1.
c)  (x2+x+1)(x2+x+2)12.
d) (x2+2x)24(x2+2x)+3.
e)(x2+x+1)24(x2+x+1)5.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)  (x2+x2)(x2+9x+18)28
b) (x1)(x3)(x5)(x7)20
c) (x2+5x+6)(x215x+56)144
d)x(x+1)(x+2)(x+3)+1
e) (x211x+28)(x27x+10)72c

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) (x3)(x5)(x6)(x10)24x2
b) (x1)(x+2)(x+3)(x6)+32x2
c) (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)4x2
d) (x2+1)2+3x(x2+1)+2x2
e) (x2x+2)43x2(x2x+2)2+2x4
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3x2+x+3
b) x33x25x+1
c) x3+4x22x5
d)  2x33x2x+4
e)  3x32x2+5
f) x34x2+2x+5

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) (x1)(x3)(x5)(x7)20
b) (x2+5x+6)(x215x+56)144
c) x(x+1)(x+2)(x+3)+1
d) (x211x+28)(x27x+10)72
e) (x2+x2)(x2+9x+18)28

 

 

Phân tích đa thức thành nhân tử – Phương pháp thêm bớt (tách) hạng tử

  1. Phương pháp tách hạng tử

Cách thực hiện: Với tam thức bậc hai: ax2+bx+c.

  • Xét tích: ac.
  • Phân tích ac thành tích của hai số nguyên.
  • Xét xem tích nào có tổng của chúng bằng b, thì ta tách b thành 2 số đó, cụ thể như sau:
    b1+b2=bac=b1b2.

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)  x27x+12.
b)  x25x14.
c) 4x23x1.

Giải

a)  x27x+12=x23x4x+12

=(x23x)(4x12)=x(x3)4(x3)

=(x3)(x4).
b)  x25x14=x27x+2x14

=(x27x)+(2x14)=x(x7)+2(x7)

=(x+2)(x7)
c) 4x23x1=4x24x+x1

=(4x24x)+(x1)=4x(x1)+(x1)

=(x1)(4x+1).

Với dạng ax2+bxy+cy2 ta cũng làm tương tự.

Ví dụ. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 3x2+10xy+3y2

b) 2x29xy+9y2.

Giải

a) 3x2+10xy+3y2=3x2+xy+9xy+3y2

=x(3x+y)+3y(3x+y)

=(3x+y)(x+3y).

b) 2x29xy+9y2=2x23xy6xy+9y2

=x(2x3y)3y(2x3y)

=(2x3y)(x3y).

2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Một số trường hợp ta thêm bớt để được hằng đẳng thức (a+b)2 hoặc a3b3.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x4+4
b)  64x4+1.
c)  81x4+4.

Giải

a) Phân tích: Ta thấy x4+4=(x2)2+22, để có hằng đẳng thức ta thêm bớt hạng tử 2.2x2=4x2, khi đó ta có biến đổi sau:

x4+4=x4+4x2+44x2

=(x4+4x2+4)4x2=(x2+2)2(2x)2

=(x2+2+2x)(x2+22x)

Tương tự ta có thể làm cho các bài sau.
b)  64x4+1=64x4+16x2+116x2

=(8x2+1)2(4x)2

=(8x2+14x)(8x2+1+4x)
c)  81x4+4=81x4+36x2+436x2

=(81x4+36x2+4)36x2

=(9x2+26x)(9x2+2+6x)

 

Ví dụ 2. Phân tích đa thức x5+x+1 thành nhân tử

Giải

x5+x+1=x5+x4x4+x3x3+x2x2+x+1

=(x5+x4+x3)(x4+x3+x2)+(x2+x+1)

=x3(x2+x+1)x2(x2+x+1)+(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x3x2+1).

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) x2+4x+3
b) x2+6x+5
c) 2x2+5x+2
Bài 2.  Phân tích đa thức sau thành phân tử

a) x23x+2.
b) x2+5x+6.
c)   x4+4.

Bài 3. Phân tích thành nhân tử

a) 2x2+7x2+5y2

b) x24xy5y2.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a)  x5+x4+x3+x2+x+1
b)  x3+x2x+2
c) x5x2+x31
d)   x5+x4+1

Quy tắc cộng, quy tắc nhân

I. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng

  • Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n+m cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1,A2,,Ak.n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2,…, và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1+n2++nk cách.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 8 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh lá. Bạn Khoa muốn chọn một viên bi để chơi, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Để chọn 1 viên bi ta có thể chọn:

  • Bi trắng: có 8 cách chọn.

  • Bi đỏ: có 5 cách chọn.

  • Bi xanh lá: có 6 cách chọn.

Nên tổng cộng có: 8+5+6=19 cách chọn.

2. Quy tắc nhân

  • Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m.n cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc nào đó gồm k công đoạn A1,A2,,Ak.n1 cách thực hiện công đoạn A1, n2 cách thực hiện công đoạn A2,…, và nk cách thực hiện công đoạn Ak. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1.n2nk cách.

Ví dụ 2. Trong một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca nam nữ?

Để chọn 1 đôi nam nữ, ta phải chọn ra 1 bạn nữ, rồi chọn 1 bạn nam.

  • Để chọn 1 bạn nữ có 6 cách chọn.

  • Chọn 1 bạn nam có 8 cách chọn.

Nên có 6.8=48 cách chọn.

II. Bài tập

1.Từ tập Missing or unrecognized delimiter for \left lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:

a) Bắt đầu bằng số 3.

b) Không bắt đầu bằng số 2.

c) Chia hết cho 5.

d) Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.

  1. Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số:

a) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

b) Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

c) Có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.

  1. Có hai dãy ghế, mỗi dạy có 5 ghế hướng vào nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam, 5 bạn nữ ngồi vào đó thoả:

a) Sắp xếp bất kì.

b) Đối diện một bạn nam và một bạn nữ.

  1. Có bao nhiêu bộ số (a,b,c) thoả a,b,c1,2,,50a<b,a<c.

  2. Từ tập A=0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số không lớn hơn 3000 và có các chữ số khác nhau.

 

 

 

Hoán vị

I. Lí thuyết

  • Cho tập hợp An(n1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).
  • Số các hoán vị của một tập gồm n phần tử là: Pn=n!=n(n1)(n2)2.1
  • Qui ước: 0!=1.

Ví dụ 1. Từ tập hợp X={1,2,3,4,5}, ta có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một?

Đáp số

Gọi số cần tìm là abcde, ta thấy số cần tìm là một hoán vị của các phần tử của X, vậy số cách chọn là: P5=5!=120.

Ví dụ 2. Có 7 quyển sách Toán, 6 quyển sách Lí và 4 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ sách dài, sao cho:

a) Các quyển sách được xếp tùy ý.

b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau.

Đáp số

a) Mỗi cách xếp tùy ý là một hoán vị của 17 phần tử. Vậy số cách chọn là 17!.

b) Ta chia thao tác xếp thỏa mãn yêu cầu thành 4 công đoạn:

Bước 1: Hoán vị 7 quyển sách Toán với nhau.

Bước 2: Hoán vị 6 quyển sách Lí với nhau.

Bước 3: Hoán vị 4  quyển sách Hóa với nhau.

Bước 4: Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau.

Vậy số cách xếp là: 7!.6!.4!.3!

II. Bài tập

1.Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách nếu:

a) Nam, nữ xếp tùy ý.

b) Nam 1 dãy, nữ 1 dãy.

2. Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 4 dãy ghế, mỗi dãy 5 học sinh. Có bao nhiêu cách xếp cách học sinh cùng lớp ngồi nối đuôi nhau. Bao nhiêu cách xếp học sinh ngồi cạch nhau thì khác lớp

3. Xét tập hợp các số tự nhiên

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và các chữ số đều lớn hơn 5.

b) Tính tổng tất cả các số đó.

Đáp số
  1. a) 10!, b) 2.5!.5!
  2. 2(10!)2
  3. a) 24, b) 199980.

 

 

 

Trục căn thức ở mẫu

Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:

  • 1A=AA.
  • 1AB=A+BAB.
  • 1A+B=ABAB.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a) 12253.

b) 352.

c) 3+31+2+2+222.

Giải

a) 12253=12235.3=465

b) 352=3(5+2)(52)(5+2)=3(5+2)52=5+2

c) 3+31+2+2+222=(3+3)(21)(2+1)(21)+(2+2)(2+2)(22)(2+2)

=323+6321+6+4242

=323+63+3+22=523+6

Bài tập:

Bài 1:  Trục căn thức ở mẫu:

a) 73; 325; 5312; 2320.

b)3+353; 7771; 25+3; 5+252.

c) y+ayay; bbb1; b5+b; p2p1.

Bài 2: Tính:

a) 125+12+5.

b) 326+223432.

c) 2+323232+3.

d) 231+332+1233.

Bài 3: Rút gọn:

a) 3+23323+155+2.

b) 522510352.

c) 151252123.

d) 22+1122+1+1.

 

Căn bậc hai

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2=a.

Ví dụ 1: 

a) Căn bậc hai của 933.

b) Căn bậc hai của 422.

c) Căn bậc hai của 00.

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm a là số x không âm thỏa x2=a.

Kí hiệu x=a.

Ví dụ 2:

a) 4=2.

b) 36=6.

Tính chất 1: Với a0 thì:

  • x=a thì x0x2=a. Hay a0(a)2=a.
  • Nếu x0x2=a thì x=a.

Tính chất 2: Cho a, b là các số không âm. Khi đó a<ba<b

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) 12.

b) 25.

c) 17290.

Giải

a) Ta có: 1<21<2.

b) Ta có: 4<52<5.

c) Ta có: 289<29017<290.

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên x thỏa:

a) x<2.

b) 2<x<4.

Giải

a) Ta có:  Điều kiện x0, từ giả thiết x<2x<4.

Do x là số tự nhiên nên x{0,1,2,3}.

b) Ta có: 2<x4<xx<4x<16

Vậy 4<x<16 Do x tự nhiên nên x là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là 49. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông (x>0).
Vậy diện tích hình vuông là Sv=x2.
Diện tích hình chữ nhật là Shcn=49=36.
Sv=Shcnx2=36x=36=6 hoặc x=36=6. Do x>0 nên x=6.
Ta có chu vi hình vuông là Pv=4x=46=24.
Ta có chu vi hình chữ nhật là Phcn=2(9+4)=213=26.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu A là một biểu thức đại số, ta gọi Acăn thức bậc hai của A, A còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức A có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi A0.

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định.

a) 2x1.

b) 43x.

c)x2.

Giải

a) 2x10x12

b) 43x0x43

c) x20 luôn đúng với mọi x

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi x.

a) x2+4.

b) x24x+4.

c) 2x24x+3.

Giải

a) Ta có: x2+40 với mọi x .

Vậy biểu thức xác định với mọi x.

b) Ta có: x24x+4=(x2)20 với mọi x.

Vậy biểu thức xác định với mọi x.

c) Ta có: 2x24x+3=2(x22x+1)+1=2(x1)2+10 với mọi x.

Vậy biểu thức xác định với mọi x.

Bài tập: 

Bài 1: Tính :

a) 81.

b) 225.

c) 0,49.

d) 122+52.

e) 0,25(0,4)2.

Bài 2:  So sánh các căn sau:

a) 2025.

b) 2332.

c) 73210.

d) 33243+52.

e) 2+253.

Bài 3:  Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định:

a) 3x2.

b) 4x220x+25.

c) 595x.

d) x24.

Bài 4: Tìm x không âm, biết:

a) x=3.

b) x+2=7.

c) x+11=4.

d) x1=13.

 

 

 

 

Phân tích thành nhân tử- Phương pháp nhóm hạng tử

Cách thực hiện: Nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để có thể đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức.

Các ví dụ:

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2xy+xy
b) xz+yz5(x+y)
c) 3x23xy5x+5y
d) x2+4xy2+4

Giải

a) x2xy+xy=x(xy)+(xy)=(xy)(x+1)
b) xz+yz5(x+y)=z(x+y)5(x+y)=(x+y)(z5)
c) 3x23xy5x+5y=(3x23xy)(5x5y)

=3x(xy)5(xy)=(xy)(3x5)
d) x2+4xy2+4=(x2+4x+4)y2

=(x+2)2y2=(x+2y)(x+2+y)

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2xy2y
b) x22xy+y2z2
c) 5x5y+axay
d) a3a2xay+xy

 

Giải

a) x2xy2y=(x2y2)(x+y)

=(x+y)(xy)(x+y)=(x+y)(xy1)
b) x22xy+y2z2=(x22xy+y2)z2

=(xy)2z2=(xyz)(zy+z)
c) 5x5y+axay=(5x5y)+(axay)

=5(xy)+a(xy)=(xy)(a+5)
d) a3a2xay+xy=(a3a2x)(ayxy)

=a2(ax)y(ax)=(ax)(a2y)

 

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a2+bc+ab+ac.
b) x2+2xy+y2+3x+3y.
c) 3x2+6xy+3y23z2
e) x22xy+y2z2+2ztt2

Giải

a) a2+bc+ab+ac=(a2+ab)+(ac+bc)

=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c).
b) x2+2xy+y2+3x+3y=(x2+2xy+y2)+(3x+3y)

=(x+y)2+3(x+y)=(x+y)(x+y+3).
c) 3x2+6xy+3y23z2=3(x2+2xy+y2z2)

=3(x+y+z)(z+yz)
e) x22xy+y2z2+2ztt2=(x22xy+y2)(z22zt+t2)

=(xy)2(zt)2=(xyz+t)(xy+zt).

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) x2+y2+2xyxzzy.
b) xy2+2x2y3x2+3y2+x3.
c) a3+b33a2b3ab2.

Bài 2. Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức

a) x22xy4z2+y2 tại x=6; y=4; z=45
b)  3(x3)(x+7)+(x+4)2+48 tại x=0,5.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) x(x2)+x2=0.
b) 5x(x3)x+3=0.

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) a+b+x(a+b)
b) ax+ay+bx+by
c) x2+xy2x2y
d) 5x2y+5xy2a2x+a2y
e) 10ay25by2+2a2xaby.

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) 4acx+4bcx+4ax+4bx
b) 3ax2+3bx2+ax+bx+5a+5b
c) ax+bx+cx+a+b+c
d) axbx2cx2a+2b+4c.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x22xy+y2z2
b) xyx+y1
c) x2+xy2y
d) ab+a+b+1.

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x2+4xy+4y29z2
b) a3+b3+ab2+a2b
c) x3+3x2+3x+1+y3
d) x2y22yzz2.

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2x3+4x2y+2xy2
b) a4+2a2b2+b44b2c2
c) a3+b3ab(a+b)
d) 3xy(a2+b2)+ab(x2+9y2).

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3+3x(x+1)+1y3
b)  x4+4x2+4x2y4
c) a3+3ab(a+b)+b3+c3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Phân tích đa thức thành nhân tử – Đặt thừa số chung

Cách thực hiện: Đưa nhân tử chung của các hạng tử của đa thức ra ngoài dấu ngoặc

AB+AC=A(B+C)

Ví dụ 1.  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x2x.
b) 5x2(x2y)15x(x2y).
c) 3(xy)5x(yx).
d) 3x6y.

Giải

a) x2x=x(x1)

b) 5x2(x2y)15x(x2y)=(x2y)(5x215x)=5x(x3)(x2y)

c) 3(xy)5x(yx)=3(xy)+5x(xy)=(xy)(35x)

d)3x6y.=3(x2y).

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 25x2+5x3+x2y.
b) 14x2y21xy2+28x2y2.
c) 25x(y1)25y(y1).
d) 10x(xy)8y(yx).

Giải

a) 25x2+5x3+x2y=x2(25+5x+y)
b) 14x2y21xy2+28x2y2=7xy(2x3y+4xy)
c) 25x(y1)25y(y1)=25(y1)(xy)
d) 10x(xy)8y(yx)=2(xy)(5x+4y)

Bài tập

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) 3a6b9c
b) 7a14ab21b
c) 8xy24x+16y.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) 9ab18a+9
b) 4ax2ay2
c) 2a2b4ab26ab

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2axy4a2xy2+6a3x2
b) 12x3y6xy+3x
c) 8x3y+16xy224
d) m(x+y)n(x+y)
e) ab(x5)a2(5x).

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2a2(xy)4a(yx)
b) 2a2b(x+y)4a3b(xy)
c)  xm+2x2
d) xm+2+xm.

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) x2xy+2x
b) xy23xy+xy2
c) a2b+2a2b23a2
d) x(x+y)2y2(x+y).

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) 2(x2y2)+x(x+y)
b) xy(x2)+x24
c) ab(a+b)+(a2b2).

Bài 7. Tính nhanh.

a)  8512,7+5312,7.
b)  521435239826.
c)  9713+1300,3.
d)  861535308,6.

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 12x2+18x.
b) 21x2y14xy2+7xy.
c) x2+2x.
d) 15ab225abc.
e) 45x3yz15xy2z+30x2yz.

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x44x32x2.
b) 6x2y+9xy23xy.
c) 2x2y24x3y2+12x3y3.
d) 3a2(x5)6ab(5x).

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 15(x2y)3x(2yx).
b) 12x2(x+y)+18x3(yx).
c) xy(z+1)+3x(z+1)4x2(z+1).
d) (x+1)2+3(x1)3(x+1)2.

Bài 11. Tìm x, biết:

a) x39x=0.
b) x24x=0.
c) 2x(x5)+5x=0.

Bài 12. Tìm x, biết:

a) x+5x2=0.
b) x+1=(x+1)2.
c) x3+x=0.

Phương trình bậc nhất: ax+b=0.

Giải và biện luận phương trình ax+b=0

  • Nếu a0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=ba.
  • Nếu a=0,b0 thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu a=0,b=0 thì mọi xR đều là nghiệm.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình (m1)x+2m3=0.

Giải
  • Khi m10m=1, phương trình có nghiệm x=32mm1.
  • Khi m=1, ta có phương trình 0x1=0 (Vô nghiệm).

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình (m23m+2)xm2+1=0.

Giải
  • Khi m23m+20m1,m2 thì phương trình có nghiệm x=m21m23m+2=m+1m2.
  • Khi m23m+2=0m=1 hoặc m=2.
    • Với m=1 thì 1m2=0 nên mọi xR đều là nghiệm.
    • Với m=2 thì 1m20 nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Tìm m để phương trình 3mx1xm=2 có nghiệm duy nhất.

Giải

Điều kiện xm. Phương trình tương đương với 3mx1=2(xm)(3m2)x=2m+1.

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3m20x=2m13m2mm±13.

Kết luận: m23,13,13.

Bài tập

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) (m24m+2)x=m2
b) m2(x1)=mx1
c) m(xm+3)=m(x2)+6
d) m(mx1)=4x+2

Bài 2. Định m để các phương trình sau vô nghiệm
a) (4m22)x=1+2mx
b) (m+1)2x2=(4m+9)xm
c) x2x3=xx+m
d) x+1xm+1=xx+m+2

Bài 3. Định m để phương trình sau có nghiệm
a) m2(x1)=4x3m+2
b) 2x+mx1x+m1x=1
c) x+mx+3=xx+1

[WpProQuiz 4]