Tag Archives: Lop9

Tỉ số lượng giác – P3

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, BC= 5$.
Tính $\sin ABC, \cos ABC, \tan ABC, \cot ABC$.
Lời giải.
Ta có $AC = \sqrt{BC^2-AB^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$.
Khi đó $\sin ABC = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$
Và $\cos ABC = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$;
$\tan ABC = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$;
$\cot ABC = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4}$.

Bài 2. 
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = 10, BC = 12$.
a) Tính $\sin ABC$.
b) Vẽ đường cao $BK$. Tính $BK$ và $\sin BAC$.

Lời giải.
a) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, ta có $AM \bot BC$.
$MB = \dfrac{1}{2}BC = 6$, suy ra $AM = \sqrt{AB^2-BM^2} = 8$.
$\sin ABC = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$.
b)
Vẽ đường cao $BK$.
Ta có $\triangle CKB \backsim \triangle CMA$, suy ra $\dfrac{BK}{AM} = \dfrac{CB}{AC} \Rightarrow BK = \dfrac{AM\cdot BC}{AC} = \dfrac{48}{5}$.
Khi đó $\sin BAC = \dfrac{BK}{AB} =\dfrac{48}{50} = \dfrac{24}{25}$.

Bài 3. 
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 2, \sin ABC = \dfrac{1}{3}$. Tính $AB$.
Lời giải.
Ta có $\sin ABC = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{1}{3}$, suy ra $BC = 3AC = 6$.\
Từ đó $AB = \sqrt{BC^2-AC^2} =\sqrt{6^2-2^2} =4\sqrt{2}$.
\end{multicols}

Bài 4. 
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1, AC = \sqrt{3}, BC = 2$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.

Lời giải.

Ta có $AB^2 +AC^2 = 1 +3 = 4 = BC^2$, suy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vậy $\angle BAC = 90^\circ$.\
Ta có $\sin ABC = \dfrac{AC}{BC}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\angle ABC = 60^\circ$.\
Và $\angle ACB = 180^\circ – \angle BAC – \angle ABC = 30^\circ$.

Bài 5. 
Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC = 60^\circ, \angle ACB = 45^\circ$, đường cao $AH = \sqrt{3}$.

a)Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.
b) Dựng đường cao $BK$. Tính $BK$ và $\sin BAC$.

Lời giải. 
a)  $AB .\sin ABC = AH \Leftrightarrow AB \sin 60^\circ = \sqrt{3} \Leftrightarrow AB \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, suy ra $AB = 2$.
Tam giác $AHC$ vuông cân, suy ra $AC = \sqrt{2}AH = \sqrt{6}$.
$BH = \sqrt{AB^2-AH^2} = 1, CH = AH = \sqrt{3}$.
Suy ra $BC = 1 + \sqrt{3}$.
b) a có $BK = BC\cdot \sin BCK = (1+\sqrt{3})\sin 45^\circ = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $\sin BAC = \dfrac{BK}{AB} = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

Bài 6. Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB = 5$, biết $\cot ABD = \dfrac{3}{4}$.

a) Tính $\dfrac{{AC}}{{BD}}$;
b) Tính $AC, BD$.

Lời giải.

a) $\tan ABD=\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{4}{3} \Rightarrow AO=\dfrac{4}{3}BO$.
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $AOB$:$AO^2+BO^2=AB^2=5^2=25$.
Khi đó ta có hệ: $AO=\dfrac{4}{3}BO; AO^2+BO^2=25$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AO=\dfrac{4}{3}BO\\
\left( \dfrac{4}{3}BO\right)^2+BO^2=25\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AO=\dfrac{4}{3}BO\\
BO^2=9
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AO=4\\
BO=3
\end{array} \right.$
Vậy $\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{2AO}{2BO}=\dfrac{4}{3}$
b) $AC=2AO=2\cdot 4=8 \quad \text{và} \quad BD=2BO=2\cdot 3=6$.

Bài 7. Cho hình thang $ABCD$ cân có $AB$ là đáy nhỏ và $\angle ADC = 60^\circ$. Đặt $AD = a, AB = b$. Vẽ đường cao $AH$.

a) Tính $AH, DH$ theo $a$.
b) Tìm $a, b$ biết chu vi hình thang bằng 10 và diện tích bằng $3\sqrt 3 $.

Lời giải.

a) $\cos\angle ADH=\dfrac{DH}{AD} \Rightarrow DH=AD.\cos\angle ADH =a.\cos60^\circ=\dfrac{a}{2}$
$\sin \angle ADH=\dfrac{AH}{AD} \Rightarrow AH=AD.\sin \angle ADH=a.\sin 60^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
b) Kẻ dường cao $BE$
Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD=BC=a$. $ABEH$ là hình chữ nhật nên $AB=EH=b$
Tính tương tự câu a) ta có $BE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $EC=\dfrac{a}{2}$
Khi đó $DC=DH+HE+EC=a+b$
Dựa vào chu vi và diện tích hình thang ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
b+a+\left(a+b\right)+a=10\\
\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\left(b+a+b\right)=3\sqrt{3}
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
3a+2b=10\\
a\left( a+2b \right)=12
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2b=10-3a\\
a\left( a+10-3a \right)=12
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2b=10-3a\\
-2a^2+10a-12=0
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2b=10-3a\\
a=2 \quad \text{hay} \quad a=3
\end{array} \right.$
Vậy $(a;b)$ là $(2;2)$ và $(3; \dfrac{1}{2})$.

 

Hệ thức lượng trong tam giác – Tính toán độ dài

Dạng 1. Tính toán

Áp dụng đầu tiên của các hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là tính toán độ dài khi biết một số yếu tố cho trước, việc tính toán này xem ra là bài toán dễ tuy vậy đòi hỏi tính chính xác và áp dụng định lí một cách thành thục.

  • Phương pháp chủ yếu là áp dụng định lí thiết lập mối quan hệ giữa yếu tố đã cho và yếu tố chưa biết, từ đó tính được đối tượng cần tính.
  • Với các bài toán khó hơn phải thiết lập các phương trình hoặc hệ phương trình để giải.
  • Ta cũng hay vẽ thêm các đường vuông góc để tao ra tam giác vuông hay đường cao, từ đó mới có thể áp dụng được hệ thức lượng.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm, BC = 10cm$, đường cao $AH$ ($H$ thuộc $BC$).

a)Tính độ dài cạnh $AC,AH$.
b) Tính $BH, CH$.
Lời giải.
a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$ ta có:\
$AB^2 + AC^2 = BC^2$ $\Leftrightarrow 6^2 + AC^2 = 10^2$ \
$\Rightarrow AC = \sqrt{10^2-6^2} =8(cm)$.\
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $ABC$ ta có:\
$AH \cdot BC = AB \cdot AC \Rightarrow
AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6\cdot 8}{10} = \dfrac{24}{5} (cm)$.
b) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $ABC$ ta có: \
$BH \cdot BC = AB^2 \Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} =\dfrac{18}{5} (cm)$ \
và $CH = BC – BH = 10 – \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5} (cm)$. \

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Cho $BH = 4, CH = 9$. Tính
a) Tính $AH, AB, AC$.
b)Vẽ $HD \bot AB$ và $HE \bot AC$( với $D$ thuộc $AB$ và $E$ thuộc $AC$). Tính $AD$ và $AE$.
Lời giải

Ta có $BC = BH + CH = 4 + 9 = 13$.
a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ nên:
$AH^2 = BH \cdot CH = 36 \Rightarrow AH = 6$;
$AB^2 = BH \cdot BC = 4\cdot 13\Rightarrow AB = 2\sqrt{13}$;
$AC^2 = CH \cdot BC = 9 \cdot 13 \Rightarrow CH = 3\sqrt{13}$.
b)
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có đường cao $HD$ nên:\
$AD\cdot AB = AH^2 \Rightarrow AD = \dfrac{AH^2}{AB} = \dfrac{36}{2\sqrt{13}} = \dfrac{18\sqrt{13}}{13}$;
Tương tự ta có $AE\cdot AC = AH^2 \Rightarrow AE = \dfrac{AH^2}{AC} = \dfrac{36}{3\sqrt{13}} = \dfrac{12\sqrt{13}}{13}$.

Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2AD$ và $AC = 4\sqrt{5}$.

a)Tính độ dài cạnh của hình chữ nhật.
b) Vẽ $AH \bot BD$. Tính $AH, CH$.

Lời giải

a) Ta có $BD = AC = 4\sqrt{5}$.
Đặt $AD = x$, suy ra $AB = 2x$.
Ta có $BD^2 = AB^2 + CD^2\
\Leftrightarrow 80 = 5x^2 \Rightarrow x = 4$.
Do đó $AB = 8, AD = 4$.
b) Tam giác $ABD$ vuông có đường cao $AH$ nên
$AH \cdot BD = AB \cdot AD
\Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AD}{BD} = \dfrac{8}{\sqrt{5}}$.
Vẽ $HK \bot CD$.
Ta có $\triangle DHK \backsim ADH$, suy ra $$\dfrac{HK}{DH} = \dfrac{DK}{AH} = \dfrac{DH}{AD} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$$
Suy ra $DK = \dfrac{8}{5}, KH = \dfrac{4}{5}$.
Khi đó $CK = CD – DK = 8-\dfrac{8}{5} = \dfrac{32}{5}$.
Và $CH = \sqrt{CK^2+HK^2}= \sqrt{\dfrac{32^2}{5^2}+\dfrac{4^2}{5^2}} = \dfrac{4\sqrt{65}}{5}$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AB = 10, BC = 16$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a)Tính độ dài $AM$.
b) Vẽ $MD$ vuông góc $AB$. Tính $AM$.
Lời giải

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên trung tuyến $AM$ cũng là đường cao, suy ra $AM \bot BC$. \
$AM^2 + MB^2 = AB^2 \Rightarrow AM = \sqrt{AB^2-MB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
\item Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ có $MD$ là đường cao:\ $AD\cdot AB = AM^2 \Rightarrow AD = \dfrac{AM^2}{AB} = \dfrac{36}{10} = \dfrac{18}{5}$.\

Ví dụ 5. Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy nhỏ $AB = 3$, đáy lớn $CD = 7$, cạnh bên $AD = 5$. Tính diện tích hình thang $ABCD$.}

Lời giải

Vẽ đường cao $AH, BK$ của hình thang $ABCD$.
Ta có $\triangle AHD = \triangle BKC$ (ch.gn), suy ra $HD = CK$.
Hơn nữa $ABKH$ là hình chữ nhật nên $HK = AB =3$.
Suy ra $DH = CK = 2$.
Tam giác $ADH$ vuông tại $H$, suy ra $AD^2 = DH^2 + AH^2$

$\Rightarrow AH = \sqrt{AD^2-DH^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$
Khi đó $S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AH \cdot (AB+CD) = 5\sqrt{21}$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác vuông $A B C$, đặt $A B=c, A C=b, B C=a$, đường cao $A H=h, B H=c^{\prime}$, $C H=b^{\prime}$. Tính độ dài các đoạn thẳng còn lại khi biết:
(a) $a=13, b=12$.
(b) $b^{\prime}=3, c^{\prime}=12$.
(c) $b=5, h=4$.
(d) $h=3, a=10$.
Bài 2. Cho hình thang vuông $A B C D$ có $\angle A=\angle D=90^{\circ}$. Cho $A D=h, A B=a, C D=b, B C=$ c. Tính các độ dài chưa biết khi cho:
(a) $a=3, b=7, h=3$.
(b) $a=5, c=13, b=10$.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B=9 cm, B C=15 cm, A H$ là đường cao $(H$ thuộc cạnh $B C$ ). Tính độ dài các đoạn thẳng $B H, C H, A C$ và $A H$.
Bài  4. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$.
Biết $B H=\frac{9}{5} ; C H=\frac{16}{5}$.
(a) Tính $A H, A B, A C$.
(b) Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc vuông góc của $H$ trên $A B, A C$.
Chứng minh $ A D \cdot A B=A E \cdot A C$.
(c) Đường thẳng $D E$ cắt đường thẳng $B C$ tại $F$. Chứng minh $F B \cdot F C=F D \cdot F E$.
Bài 5. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là $\frac{3}{4}$, độ dài cạnh góc vuông nhỏ bằng $6 \mathrm{~cm}$. Tính độ dài cạnh huyền, độ dài hình chiếu vuông góc của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Bài 6. Tam giác $A B C$ nhọn có đường cao $A H$, biết rằng $A B=26 cm, A C=25 cm$, đường cao $A H=24 ~cm$. Tính độ dài cạnh $B C$.
Bài 7. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C=\sqrt{13} cm$.
Tính $A B, A C$, cho biết $A B=\frac{2}{3} A C$.
Bài 8. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A H$ là đường cao. $B H=1 cm, C H=4 cm$. Tính $B C$, $A H, A B$ và $A C$.

Tài liệu tham khảo

Nguyễn Tăng Vũ, Bài tập hình học 9 cơ bản và nâng cao, Star Education

Ước chung lớn nhất

Ước chung

  • Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.
  • Tập các ước chung của $a$ và $b$ kí hiệu ƯC(a,b). Ta có x thuộc ƯC(a,b) khi và chỉ khi $a \vdots x$ và $b \vdots x$.

Ví dụ 1. Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, Ư(8) = {1, 2, 4, 8}

Thì ước chung của 12 và 8 là 1, 2, 4, kí hiệu ƯC(8,12) = {1, 2, 4}.

Cách tìm ước chung của $a$ và $b$.

  • Tìm tập các số là ước của $a$, tập các ước của $b$.
  • Tìm các phần tử của của hai tập trên ta được tập ước chung của $a$ và $b$.

Ví dụ 2. Tìm ước chung của 24 và 30.

Ta có Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 15, 30}

Khi đó ƯC(24,30) = {1, 2, 3, 6}.

Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ là ƯCLN(a,b)

Ví dụ 3. ƯC(24,30) = {1, 2, 3, 6}, ƯCLN(24,30) = 6.

Ví dụ 4. Các bạn học sinh lớp 6 A đang lên kế hoạch làm sạch môi trường ở địa phương. Cả lớp có 12 bạn nữ và 18 bạn nam. Các bạn muốn chia lớp thành các nhóm nhỏ gồm cả nam và nữ sao cho số bạn nam và số bạn nữ được chia đều vào các nhóm. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu nhóm học sinh? Khi đó, mỗi nhóm có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ?
Lời giải.

  • Số nhóm được chia phải là ước của cả 12 và 18 .
  • Số nhóm được chia phải là nhiều nhất có thể. Vì vậy, số nhóm được chia là ước chung lớn nhất của 12 và 18 .

Ta có $\mathrm{U}^{\circ} \mathrm{CLN}(12,18)=6$. Do đó cần chia lớp thành 6 nhóm.

Số học sinh trong mỗi nhóm là $(12+18): 6=5$ (học sinh).

Vậy mỗi nhóm có 5 học sinh, gồm 2 nữ và 3 nam.

Cách tìm ước chung lớn nhất của $a, b$ bằng phân tích thành thừa số nguyên tố.

Muốn tìm U’CLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau:

  • Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
  • Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
    Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ 5. Tìm ước chung lớn nhất của 24 và 30.

Lời giải.

Ta có $24 = 2^3 \cdot 3$ và $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Ta có ƯCLN (a, b) = 2 \cdot 3 = 6.

Định nghĩa. Hai số có ước chung lớn nhất bằng 1 được gọi là nguyên tố cùng nhau. 

Kí hiệu hai số $a, b$ nguyên tố cùng nhau là (a,b) = 1

Ứng dụng tối giản phân số. Khi rút gọn $\frac{90}{126}$, ta chia cả tử số và mẫu số cho
một ước chung của 90 và 126 để được phân số mới. Tiếp tục
quy trình đó đến khi không rút gọn cho đến khi
tử số và mẫu số của chúng không có ước chung nào khác 1
(tử số và mẫu số là hai số nguyên tố cùng nhau). Khi đó, ta
được một phân số tối giản.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm:
a) $\mathrm{UCLN}(1,16)$;
b) $\operatorname{UCLN}(8,20)$
c) UCLN $(84,156)$;
d) UCLN $(16,40,176)$.
Bài 2. a) Ta có $\mathrm{U}^{\prime} \mathrm{CLN}(18,30)=6$. Hãy viết tập hợp A các ước của 6 . Nêu nhận xét về tập hợp UC $(18,30)$ và tập hợp $\mathrm{A}$.
b) Cho hai số a và b. Để tìm tập hợp $\mathrm{UC}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$, ta có thể tìm tập hợp các ước của $\mathrm{U}^{\circ} \mathrm{CLN}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$. Hãy tìm UCLN rồi tìm tập hợp các ước chung của:
i. 24 và 30 ;
ii. 42 và 98 ;
iii. 180 và 234 .
Bài 3. Rút gọn các phân số sau: $\frac{28}{42} ; \frac{60}{135} ; \frac{288}{180}$.
Bài 4. Chị Lan có ba đoạn dây ruy băng màu khác nhau với độ dài lần lượt là $140 \mathrm{~cm}, 168 \mathrm{~cm}$ và $210 \mathrm{~cm}$. Chị muốn cắt cả ba đoạn dây đó thành những đoạn ngắn hơn có cùng chiều dài để làm nơ trang trí mà không bị thừa ruy băng. Tính độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra (độ dài mỗi đoạn dây ngắn là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét). Khi đó, chị Lan có được bao nhiêu đoạn dây ruy băng ngắn?

BÀI GIẢNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

uoc chung lon nhatDownload

Rút gọn căn thức – Các biểu thức số

Trong bài này ta tổng hợp các kĩ năng thực hiện các phép tính toán, khai căn, phân tích thành tích, trục căn thức ở mẫu để làm các bài toán phức tạp hơn.

Chú ý khi làm bài. Trong các bài này ta có thể rút gọn các phân thức riêng lẻ trước nếu được bằng cách phân tích thành tích, tiếp theo thì trục căn thức và rút gọn các biểu thức trong ngoặc, không nên qui đồng vì tính toán sẽ rất phức tạp.

Ví dụ 1. Rút gọn

a) $\dfrac{6-6\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{3\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+1}$.
b) $\dfrac{2-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$.
c) $\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}$.
d) $\dfrac{3\sqrt{2}-6}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{6\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}-3}$.

Giải

a)  $\dfrac{6-6\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{3\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+1}$.\\
Ta có:\\
$\begin{aligned}
&\dfrac{6-6\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{3\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+1}\\
&=\dfrac{6\left(1-\sqrt{3}\right)}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{3\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}+1}\\
&=6+3\\
&=9
\end{aligned}$
b) $\dfrac{2-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}$.\\
Ta có:\\
$\begin{aligned}
&\dfrac{2-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{-\left(\sqrt{2}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}{-\left(1-\sqrt{3}\right)}\\
&=-\sqrt{2}-\sqrt{2}\\
&=-2\sqrt{2}
\end{aligned}$
c) $\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}$.\\
Ta có:\\
$\begin{aligned}
&\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-2\right)}{2\left(\sqrt{5}-2\right)}\\
&=\sqrt{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\
&=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}$
d) $\dfrac{3\sqrt{2}-6}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{6\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}-3}$.\\
Ta có:\\
$\begin{aligned}
&\dfrac{3\sqrt{2}-6}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{6\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}-3}\\
&=\dfrac{3\sqrt{2}\left(1-\sqrt{2}\right)}{-\left(1-\sqrt{2}\right)}+\dfrac{2\sqrt{2}\left(3-\sqrt{2}\right)}{-\left(3-\sqrt{2}\right)}\\
&=-3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
&=-5\sqrt{2}
\end{aligned}$

Ví dụ 2. Rút gọn

a) $\dfrac{6}{\sqrt{5}-1}+\dfrac{7}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$.
b) $\dfrac{\sqrt{12}-6}{\sqrt{8}-\sqrt{24}}-\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\dfrac{4}{1-\sqrt{7}}$.
c) $\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.
d) $\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.

Giải

a)$\dfrac{6}{\sqrt{5}-1}+\dfrac{7}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$.
Ta có:
$\begin{aligned}
&\dfrac{6}{\sqrt{5}-1}+\dfrac{7}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\
&=\dfrac{6}{5-1}\left(\sqrt{5}+1\right)+\dfrac{7}{1-3}\left(1+\sqrt{3}\right)-\dfrac{2}{3-5}\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\\
&=\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{5}+1\right)-\dfrac{7}{2}\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}+\sqrt{5}\\
&=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\\
&=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-2\\
&=\dfrac{5}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)-2
\end{aligned}$
b) $\dfrac{\sqrt{12}-6}{\sqrt{8}-\sqrt{24}}-\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\dfrac{4}{1-\sqrt{7}}$.
Ta có:
$\begin{aligned}
&\dfrac{\sqrt{12}-6}{\sqrt{8}-\sqrt{24}}-\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\dfrac{4}{1-\sqrt{7}}\\
&=\dfrac{\sqrt{6}\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}-\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}}+\dfrac{4}{1-7}\left(1+\sqrt{7}\right)\\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\left(\sqrt{3}+1\right)-\dfrac{2}{3}\left(1+\sqrt{7}\right)\\
&=-\dfrac{2}{3}\sqrt{7}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{3}-\dfrac{5}{3}
\end{aligned}$
c) $\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.\\
Ta có:\\
$\begin{aligned}
&\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\
&=\dfrac{1}{2-3}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-\dfrac{1}{3-5}\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)+\dfrac{1}{7-5}\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\\
&=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\\
&=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\sqrt{5}+\dfrac{1}{2}\sqrt{7}+\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\\
&=\dfrac{1}{2}\sqrt{7}+\sqrt{5}-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}
\end{aligned}$
d) $\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.\\
Ta có:
$\begin{aligned}
&\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\\
&=\left[\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)}{-\left(\sqrt{2}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{-\left(\sqrt{3}-1\right)}\right].\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\\
&=\left(-\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\\
&=-(7-5)\\
&=-2
\end{aligned}$

Ví dụ 3. Rút gọn

a) $\left(\dfrac{12}{\sqrt{5}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{20}{3+\sqrt{5}}\right)(10+3\sqrt{5})$.
b) $\left(\dfrac{24}{\sqrt{7}+1}+\dfrac{4}{3+\sqrt{7}}-\dfrac{3}{\sqrt{7}+2}\right)(4-\sqrt{7})$.
c) $\left(\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{4}{\sqrt{3}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right):\sqrt{14+6\sqrt{5}}$.
d) $\left(\dfrac{7}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{56}{\sqrt{2}-4}+\dfrac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right):\sqrt{12-6\sqrt{3}}$.

Giải

a) $\left(\dfrac{12}{\sqrt{5}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{20}{3+\sqrt{5}}\right)(10+3\sqrt{5})$.
Ta có:
$\begin{aligned}
&\left(\dfrac{12}{\sqrt{5}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{5}+2}+\dfrac{20}{3+\sqrt{5}}\right)(10+3\sqrt{5})\\
&=\left[\dfrac{12}{5-1}\left(\sqrt{5}-1\right)-\dfrac{4}{5-4}\left(\sqrt{5}-2\right)+\dfrac{20}{9-5}\left(3-\sqrt{5}\right)\right]\left(10+3\sqrt{5}\right)\\
&=\left[3\left(\sqrt{5}-1\right)-4\left(\sqrt{5}-2\right)+5\left(3-\sqrt{5}\right)\right]\left(10+3\sqrt{5}\right)\\
&=\left[3\sqrt{5}-3-4\sqrt{5}+8+15-5\sqrt{5}\right]\left(10+3\sqrt{5}\right)\\
&=\left(-6\sqrt{5}+20\right)\left(10+3\sqrt{5}\right)\\
&=2\left(10-3\sqrt{5}\right)\left(10+3\sqrt{5}\right)\\
&=2(100-45)\\
&=110
\end{aligned}$
b) $\left(\dfrac{24}{\sqrt{7}+1}+\dfrac{4}{3+\sqrt{7}}-\dfrac{3}{\sqrt{7}+2}\right)(4-\sqrt{7})$.
Ta có:
$\begin{aligned}
&\left(\dfrac{24}{\sqrt{7}+1}+\dfrac{4}{3+\sqrt{7}}-\dfrac{3}{\sqrt{7}+2}\right)(4-\sqrt{7})\\
&=\left[\dfrac{24}{7-1}\left(\sqrt{7}-1\right)+\dfrac{4}{9-7}\left(3-\sqrt{7}\right)-\dfrac{3}{7-4}\left(\sqrt{7}-2\right)\right]\left(4-\sqrt{7}\right)\\
&=\left[4\left(\sqrt{7}-1\right)+2\left(3-\sqrt{7}\right)-\left(\sqrt{7}-2\right)\right]\left(4-\sqrt{7}\right)\\
&=\left(4\sqrt{7}-4+6-2\sqrt{7}-\sqrt{7}+2\right)\left(4-\sqrt{7}\right)\\
&=\left(\sqrt{7}+4\right)\left(4-\sqrt{7}\right)\\
&=16-7
&=9
\end{aligned}$
c) $\left(\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{4}{\sqrt{3}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right):\sqrt{14+6\sqrt{5}}$.
Ta có:
$\begin{aligned}
&\left(\dfrac{8}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{4}{\sqrt{3}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right):\sqrt{14+6\sqrt{5}}\\
&=\left[\dfrac{8}{3-1}\left(\sqrt{3}+1\right)-\dfrac{4}{3-1}\left(\sqrt{3}-1\right)+\dfrac{4}{5-3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\right]:\left(3+\sqrt{5}\right)\\
&=\left[4\left(\sqrt{3}+1\right)-2\left(\sqrt{3}-1\right)+2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\right]:\left(3+\sqrt{5}\right)\\
&=\left(4\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}+2+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}\right):\left(3+\sqrt{5}\right)\\
&=\left(6+2\sqrt{5}\right):\left(3+\sqrt{5}\right)\\
&=2
\end{aligned}$
d) $\left(\dfrac{7}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{56}{\sqrt{2}-4}+\dfrac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right):\sqrt{12-6\sqrt{3}}$.\\
Ta có:
$\begin{aligned}
&\left(\dfrac{7}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{56}{\sqrt{2}-4}+\dfrac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right):\sqrt{12-6\sqrt{3}}\\
&=\left[\dfrac{7}{2-1}\left(\sqrt{2}+1\right)+\dfrac{56}{2-16}\left(\sqrt{2}+4\right)+\dfrac{3}{3-2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right]:\left(3-\sqrt{3}\right)\\
&=\left[7\left(\sqrt{2}+1\right)-4\left(\sqrt{2}+4\right)+3\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right]:\left(3-\sqrt{3}\right)\\
&=\left(7\sqrt{2}+7-4\sqrt{2}-16+3\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right):\left(3-\sqrt{3}\right)\\
&=\left(-9+3\sqrt{3}\right):\left(3-\sqrt{3}\right)\\
&=-3
\end{aligned}$

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Rút gọn

a) $\dfrac{\sqrt{160}-\sqrt{80}}{\sqrt{8}-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{40}-\sqrt{15}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$.
b) $\left(\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}-2\right)\left(\dfrac{5+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}-2\right)$.
c) $\left(\dfrac{\sqrt{216}}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}\right)\dfrac{1}{\sqrt{6}}$.
d) $\left(\dfrac{\sqrt{343}}{21}-\dfrac{28+4\sqrt{7}}{\sqrt{63}+3}\right)\dfrac{\sqrt{7}}{7}$.

Bài 2. Rút gọn

a) $\dfrac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\dfrac{6}{2-\sqrt{10}}$.
b) $\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\dfrac{2}{2-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.
c) $\dfrac{-4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{4-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}$.
d) $\dfrac{5}{3-\sqrt{7}}-\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{-1}{\sqrt{2}-1}$.

Bài 3. Rút gọn

a) $\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2+4\sqrt{15}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$.
b) $(\sqrt{5}+2)\dfrac{(\sqrt{5}+2)^2-8\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}$.
c) $\dfrac{(\sqrt{2}+1)^2-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\cdot(\sqrt{2}+1)$.
d) $\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+4\sqrt{6}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})$.

Căn bậc hai – Tính chất cơ bản phần 2

Bài 1. Khai triển các biểu thức sau

a) $(\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{x}+1)^2$.
b) $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)-(\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x}-5)$.
c) $(2\sqrt{x}-3)^2+3(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)$.
d) $(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})+(\sqrt{x}-2)^2$.

Giải

a) $(\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{x}+1)^2$

$= {{(\sqrt{x}-1)}^2}+{{(\sqrt{x}+1)}^2}$

$=x-2\sqrt{x}+1+x+2\sqrt{x}+1=2x+2$.
b) $(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)-(\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x}-5)$
$=(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)-(\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x}-5)$

$=x-\sqrt{x}-6-2x+3\sqrt{x}+5$

$=-x+2\sqrt{x}-1=-{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}$.
c) $(2\sqrt{x}-3)^2+3(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)$
$={{(2\sqrt{x}-3)}^2}+3(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)$

$=4x-12\sqrt{x}+9+3\left(x+\sqrt{x}-2\right)$

$=7x-9\sqrt{x}+3$.
d) $(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})+(\sqrt{x}-2)^2$

$=(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})+{{(\sqrt{x}-2)}^2}$

$=9-x+x-4\sqrt{x}+4$

$=13-4\sqrt{x}$.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A=(\sqrt{x}+2)(5-\sqrt{x})-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)-(3x+4\sqrt{x}+5)$. $(x \geq 0)$
b) $B=(2\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+1)-(2-\sqrt{a b})(\sqrt{a}-1)$. ($a, b \geq 0$)

Giải

a) $A=(\sqrt{x}+2)(5-\sqrt{x})-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)-(3x+4\sqrt{x}+5)$
$A=(\sqrt{x}+2)(5-\sqrt{x})-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)-(3x+4\sqrt{x}+5)$
$A=x+3\sqrt{x}+10-\left(x+4\sqrt{x}+3\right)-3x-4\sqrt{x}-5$
$A=x+3\sqrt{x}+10-x-4\sqrt{x}-3-3x-4\sqrt{x}-5$
$A=-3x-5\sqrt{x}+2$

b) $B=(2\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+1)-(2-\sqrt{a b})(\sqrt{a}-1)$
$B=(2\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+1)-(2-\sqrt{ab})(\sqrt{a}-1)$
$B=2a+2\sqrt{a}+\sqrt{ab}+\sqrt{b}-\left(2\sqrt{a}-2-a \sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)$

$B=2a+2\sqrt{a}+\sqrt{ab}+\sqrt{b}-2\sqrt{a}+2+a \sqrt{b}-\sqrt{ab}$
$B=2a+\sqrt{b}+2+a \sqrt{b}$

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $A=x-\sqrt{x}-2$.
b) $B=x-y+3\sqrt{x}-3\sqrt{y}$.
c) $C=\sqrt{a b}+2\sqrt{a}-\sqrt{b}-2$.
d) $D=x\sqrt{x}+x-2\sqrt{x}$.

Giải

a)  $A=x-\sqrt{x}-2={{\left(\sqrt{x}\right)}^2}-1 \left(\sqrt{x}+1\right)$

$=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)$

$=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)$.
b) $B=x-y+3\sqrt{x}-3\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+3\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)$

$=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+3\right)$.

c)$C=\sqrt{ab}+2\sqrt{a}-\sqrt{b}-2=\sqrt{a}.\sqrt{b}+2\sqrt{a}-\sqrt{b}-2$

$=\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-1\right)+2\left(\sqrt{a}-1\right)$

$=\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{b}+2\right)$.
d)
$D=x\sqrt{x}+x-2\sqrt{x}$
$=x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x-\sqrt{x}$
$=\sqrt{x}(x-1)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)$
$=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)$
$=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)$

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.
b) $\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{x-2\sqrt{x}}$.
c) $\dfrac{x\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}-x-4$.
d) $\dfrac{x-4\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}$.

Giải

a)Ta có $\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}}{\left(\sqrt{x}-1\right)}=\sqrt{x}-1$.
b) Ta có $\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{x-2\sqrt{x}}=\dfrac{{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}$.
c) Ta có $\dfrac{x\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}-x-4=\dfrac{x\sqrt{x}+8-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-4\sqrt{x}-8}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.
d) Ta có $\dfrac{x-4\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-5$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Khai triển

a) $(\sqrt{a}+2)^2 – (\sqrt(a)-1)^2$.

b) $\sqrt{b}(\sqrt{b}+1)^2 – 2b(\sqrt{b}+3)$.

c) $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}+4)- 2(2\sqrt{x}+1)(2-\sqrt{y})$.

d) $(\sqrt{x}-1)^3 – 3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1) – 2x(\sqrt{x}-1)$.

Bài 2. Cho $x = \sqrt{3} – \sqrt{2}$.
a) Tính giá trị của biểu thức $A = x^2 -4x+1$.
b) Tính giá trị của biểu thức $B = x^4 -x^2+1$.
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\dfrac{{a\sqrt a – 1}}{{\sqrt a – 1}} – \sqrt a $
b) $\dfrac{{x\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 2}} – 2\sqrt x $
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $\dfrac{{a – 1}}{{\sqrt a + 1}} + \dfrac{{4 – a}}{{\sqrt a + 2}}$.
b) $\dfrac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-5\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-1}$.

 

Phương trình nghiệm nguyên – Phương pháp sử dụng tính chất chia hết

1. Sử dụng tính chẵn, lẻ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2 -2y^2 =5$ $(1)$.

Giải

Vì $x$, $y$ nguyên nên từ phương trình $(1)$ suy ra $x$ là số lẻ.

Thay $x=2k+1\ (k\in \mathbb{Z})$ vào $(1)$ ta được

$4k^2 +4k +1 -2y^2 =5 \Leftrightarrow 2(k^2 + k -1) = y^2 \Rightarrow y$ là số chẵn.

Đặt $y=2t\ (t\in \mathbb{Z})$ ta có $2(k^2 +k -1) = 4t^2 \Leftrightarrow k(k+1) = 2t^2 +1$ $(*)$

Vì $k(k+1)$ là số chẵn mà $2t^2 +1$ là số lẻ nên phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(2x+5y+1)(2^{|x|} + x^2 +x +y) =105$ $(2)$.

(Trích đề thi HSG lớp 9 TP. Hà Tĩnh năm 2006 – 2007)

Giải

Ở bài này ta thấy vế trái là tích của hai số nguyên mà vế phải là số lẻ nên nó phải là tích của hai số nguyên lẻ nên ta có thể sử dụng tính chất chẵn lẻ như sau:

Vì $105$ là số lẻ nên $2x + 5y +1$, $2^{|x|} + x^2 +x +y$ là các số lẻ. Suy ra $y$ là số chẵn , mà $x^2 +x = x(x+1)$ là số chẵn nên $2^{|x|}$ là số lẻ suy ra $x=0$

Thay $x=0$ vào $(2)$ ta được $(5y+1)(y+1) = 105 \Leftrightarrow 5y^2 + 6y -104 =0\Leftrightarrow y=4$ (vì $y$ là số chẵn). Do đó $y=4$. Vậy phương trình có nghiệm nguyên là $(0;4)$.

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên $|19x + 15y| + 1975 = |19y + 5x| + 2016^x$ $(3)$.

Giải

Biến đổi phương trình $(3)$ ta được:

$1975 – 2016^x = (|19y + 5x| + 19y + 5x) – (|19x + 5y| + 19x + 5y) + 14(x-y)$.

Vì $|a| +a$ là số chẵn với mọi giá trị nguyên của $a$ nên vế phải là số chẵn do đó $1975 – 2016^x$ phải là số chẵn suy ra $2016^x$ là số lẻ suy ra $x=0$.

Thay $x=0$ vào phương trình $(3)$ ta được $|5y| + 1975 = |19y| +1 \Leftrightarrow 14|y| = 1974 \Leftrightarrow y=141$ hoặc $y=-141$.

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(0;141)$ và $(0;-141)$.

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x + x^2 + x^3 = 4y^2 +4$ $(4)$.

Giải

Ta có: $(4) \Leftrightarrow 1+x+x^2 +x^3= 4y^2 +4y +1\Leftrightarrow (x+1)(x^2+1) = (2y+1)^2$ $(*)$

Dễ thấy $(2y +1)^2$ lẻ suy ra $x+1$ và $x^2 +1$ là hai số lẻ. Giả sử $(x+1, x^2 +1) = d$ suy ra $d$ lẻ.

Mặt khác $x+1 \ \vdots \ d \Rightarrow 1-x^2 \  \vdots \ d$, kết hợp với $x^2 +1 \  \vdots \ d$ ta có $1-x^2 + 1+x^2\   \vdots \ d \Rightarrow 2\  \vdots \  d\Rightarrow d=1$ (vì $d$ lẻ)

Vì $(x+1)(x^2 +1)$ là số chính phương (theo $(*)$) và $(x+1,x^2+1)=1$ nên $x+1$ và $x^2 +1$ đều là số chính phương.

Dễ thấy $x^2$ và $x^2 +1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp mà đều là số chính phương nên $x=0$.

Khi đó theo $(4)$ thì $y=0$ hoặc $y=-1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $(0;0)$ hoặc $(0;-1)$

Ví dụ 5: Chứng tỏ phương trình: $x^4 + y^4 + z^4 + t^4 + k^4 =2015$ không có nghiệm nguyên.

Giải

Nếu $x$ là số chẵn thì $x^4 \  \vdots \ 16$.

Nếu $x$ là số lẻ thì $x^2 : 8$ dư $1$ nên $x^4 = (8k+1)^2 : 16$ dư $1$.

Như vậy mỗi số $x^4$, $y^4$, $z^4$, $t^4$, $k^4$ chia cho $16$ dư $1$ hoặc $0$ nên $x^4+y^4+z^4+t^4+k^4$ chia cho $16$ có số dư không lớn hơn $5$ còn vế phải $2015$ chia cho $16$ dư $15$.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

2. Sử dụng tính chất chia hết

Ví dụ 6: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x$; $y$; $z$ thỏa mãn

$$x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z+2017\ (6)$$

Giải

$(6) \Leftrightarrow\left(x^{3}-x\right)+\left(y^{3}-y\right)+\left(z^{3}-z\right)=2017$ . Vì $x^{3}-x=(x-1) x(x+1)$  là tích của $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $6$, tương tự $y^3 -y$, $z^3 -z$ cũng chia hết cho $6$ nên vế trái chia hết cho $6$ mà $2017$ không chia hết cho $6$ nên phương trình $(6)$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại các số nguyên $x$; $y$; $z$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z+2017$

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2y -5x^2 -xy -x +y -1=0$ $(7)$

(Trích đề thi HSG lớp $9$ huyện Can Lộc, Hà Tĩnh)

Giải

Đây là phương trình $2$ ẩn mà bậc đối với $y$ là bậc nhất nên ta dễ dàng biểu thị $y$ theo $x$ và ta có cách giải như sau:

$(7) \Leftrightarrow y=\dfrac{5 x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\left( \text{do } x^{2}-x+1>0\right) \Rightarrow y=5+\dfrac{6 x-4}{x^{2}-x+1}$

Ta có $y \in \mathbb{Z}   \Leftrightarrow(6 x-4)\ \vdots \ \left(x^{2}-x+1\right) $

$\Leftrightarrow 2(3 x-2) \vdots\left(x^{2}-x+1\right) $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} 2 \ \vdots \ \left(x^{2}-x+1\right) \\ 3 x-2 \ \vdots \ \left(x^{2}-x+1\right) \end{array}\right.$

(vì $x^{2}-x+1=x(x-1)+1$ là số lẻ).

  • TH1: $2:\left(x^{2}-x+1\right)$
    $\Leftrightarrow x^{2}-x+1=\pm 1$ (vì $.x^{2}-x+1$ lẻ)

$\Leftrightarrow x=0 ; x=1$ (thỏa mãn $x$ nguyên).

$+$ Với $x=0 \Rightarrow y=1$
$+$ Với $x=1 \Rightarrow y=7$

  • TH2: $(3 x-2):\left(x^{2}-x+1\right)\ (*)$
    $\Rightarrow x(3 x-2)\ \vdots \ \left(x^{2}-x+1\right)$
    $\Rightarrow\left(3 x^{2}-2 x\right)\ \vdots \ \left(x^{2}-x+1\right)$
    $\Rightarrow\left(3 x^{2}-3 x+3+x-3\right)\ \vdots \ \left(x^{2}-x+1\right)$
    $\Rightarrow(x-3) \vdots\left(x^{2}-x+1\right)$
    $\Rightarrow(3 x-9) \vdots\left(x^{2}-x+1\right) \ (**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ ta được $7 \vdots\left(x^{2}-x+1\right)\Rightarrow x^2 -x+1$ bằng một trong các giá trị $-7$; $7$; $1$; $-1$.

Từ đây ta được các nghiệm: $(3;7)$, $(0;1)$, $(1;7)$.

Thử lại ta thấy phương trình $(7)$ có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(3;7)$, $(0;1)$, $(1;7)$.

Ví dụ 8: Tồn tại hay không một số nguyên $n$ thỏa mãn $n^3 + 2015n=2014^{2016} +1$?

Giải

Giả sử tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn phương trình $n^3 + 2015n=2014^{2016} +1$, suy ra:

$$n^3 -n +2016n = 2014^{2016}+1$$

$\Leftrightarrow (n-1)n(n+1)+2016n=2014^{2016}+1$

Do $(n-1)n(n+1)$ là tích của ba số nguyên liên tiếp  nên chia hết cho $3$ và $2016\, \vdots \, 3$ nên $n^3-n+2016n \, \vdots \, 3$ hay $n^3 + 2015\, \vdots \, 3$.

Mặt khác $2014$ chia $3$ dư $1$ nên $2014^{2016}$ chia $3$ dư $1\Rightarrow 2014^{2016}$ chia $3$ dư $1\Rightarrow 2014^{2016}+1$ chia $3$ dư $2$

Từ đó ta thấy điều mâu thuẫn. Vậy không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn phương trình.

Ví dụ 9: Tồn tại hay không hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3 + b^3 =2013$?

Giải

Giả sử tồn tại hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3 + b^3 =2013$.

Ta có: $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)$
Vì $a^{3}+b^{3}=2013\, \vdots\, 3 \Rightarrow a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)\, \vdots\, 3$
$\Leftrightarrow(a+b)^{3}\, \vdots\, 3 \Rightarrow a+b \, \vdots\, 3 \Rightarrow(a+b)^{3}\, \vdots\, 9$
$\Rightarrow 2013=a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a b(a+b)\, \vdots \, 9$ (vô lý).
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3 + b^3 =2013$,

Ví dụ 10: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2(x-y)=5(y-1)$ $(10)$

Giải

Ta có $(10) \Leftrightarrow x^{2}(x-y)=5(y-x)+5(x-1) \Leftrightarrow\left(x^{2}+5\right)(x-y)=5(x-1) .$
Suy ra $5(x-1)\,  \vdots\, \left(x^{2}+5\right) \Rightarrow 5\left(x^{2}+5\right)-5 x(x-1)-5(x-1)\,  \vdots\, \left(x^{2}+5\right)$ hay $30\,  \vdots\,\left(x^{2}+5\right)$
$\Rightarrow\left(x^{2}+5\right) \in\{5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30\}$ và $x$ là số nguyên
$\Rightarrow x \in\{0 ; \pm 1 ; \pm 5\}$.

Thử lại ta được nghiệm nguyên của phương trình là $(0 ; 1); (1 ; 1); (-5 ;-4)$.

Ví dụ 11: Chứng minh phương trình: $x^2 -2^y =2015$ $(11)$ không có nghiệm nguyên.

Giải

$(11) \Leftrightarrow x^{2}=2015+2^y$.
Ta sẽ chứng minh $A=2015+2^{y}$ không phải là số chinh phương với mọi số nguyên $y$.

Thật vậy thay $y$ bằng $0 ; 1; 2$ thì $A$ lần lượt nhận các giá trị là $2016 ; 2017; 2019$ đều không phải là số chính phương. Với $y \geq 3$ thi $2^{y}$ chia hết cho $8$ , còn $2015$ chia $8$ dư $7$ nên $A$ chia $8$ dư $7$ mà số chính phương lẻ chia $8$ chỉ có thể dư $1$ do đó $A$ không phải là số chính phương.

Vậy phương trình  $(11)$ không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 12: Tìm các số nguyên dương $a$, $b$ sao cho

$\dfrac{4}{a}+\sqrt[3]{4-b}=\sqrt[3]{4+4 \sqrt{b+b}}+\sqrt[3]{4-4 \sqrt{b}+b}$ $(12)$

Giải

Đặt $\sqrt[3]{2+\sqrt{b}}=x ; \sqrt[3]{2-\sqrt{b}}=y$.

Vì $b>0$ nên $x>0$. Ta có $xy = \sqrt[3]{2+\sqrt{b}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{b}}=\sqrt[3]{4-b}$; $x^3 + y^3 =4$

Do đó phương trình $(12)$ trở thành:
$\dfrac{x^{3}+y^{3}}{a}+x y=x^{2}+y^{2} \Leftrightarrow \dfrac{x^{2}+y^{3}}{a}=x^{2}+y^{2}-x y$
$\Leftrightarrow \dfrac{(x+y)\left(x^{2}+y^{2}-x y\right)}{a}=x^{2}+y^{2}-x y$
mà $x^{2}+y^{2}-x y=\dfrac{3}{4} x^{2}+\left(\dfrac{x}{2}-y\right)^{2}>0$

suy ra $x+y=a \Rightarrow \sqrt[3]{2+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{b}}=a$ $(*)$
$\Rightarrow 4+3 \sqrt[3]{4-b} \cdot a=a^{3}$ $(**)$
$\Leftrightarrow 4-b=\left(\dfrac{a^{3}-4}{3 a}\right)^{3}$
Vì $b$ là số nguyên nên $a^{3}-4\, \vdots \, 3 a \Rightarrow a^{3}-4 \, \vdots \, a$ $\Rightarrow 4 \vdots a \Rightarrow a \in\{1 ; 2 ; 4\}$
Với $a=1 \Rightarrow b=5$.

Với $a=2$ hoặc $a=4$ thì $b$ không phải là số nguyên dưong.

Thử lại: Với $a=1$; $b=5$ ta có $(**)$ đúng tức là
$x^{3}+y^{3}+3 x y a=a^{3} \Leftrightarrow a^{3}-x^{3}-y^{3}-3 x y a=0$
$\Leftrightarrow(a-x-y)\left[(a+x)^{2}+(a+y)^{2}+(x-y)^{2}\right]=0 .$
Do $x>0 ; a>0$ nên $x+a>0 \Rightarrow(a+x)^{2}+(a+y)^{2}+(x-y)^{2}>0 \Rightarrow a-x-y=0$ hay $a=x+y$,
tức là $(*)$ đúng.

Vậy $(a, b)=(1 ; 5)$ là cặp số nguyên dương duy nhất thỏa mãn phương trình $(12)$.

Ví dụ 13: Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $361\left(n^{3}+5 n+1\right)=85\left(n^{4}+6 n^{2}+n+5\right)$  $(13)$

Giải

Ta có $(13) \Leftrightarrow \dfrac{n^{3}+5 n+1}{n^{4}+6 n^{2}+n+5}=\dfrac{85}{361}$.
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{n^{3}+5 n+1}{n^{4}+6 n^{2}+n+5}$ la phân số tối giản với mọi giá trị $n \in \mathbb{N}$.
Thật vậy, đặt $d=\left(n^{3}+5 n+1 ; n^{4}+6 n^{2}+n+5\right)$.
Suy ra $n^{4}+6 n^{2}+n+5-n\left(n^{3}+5 n+1\right)\,  \vdots \, d$ hay $n^{2}+5\, \vdots\,  d$.

Từ đó $\left(n^{3}+5 n+1\right)-n\left(n^{2}+5\right)$ \,  \vdots \, d hay $1\,\vdots \, d \Rightarrow d=1$.

Vậy phân số $\dfrac{n^{3}+5 n+1}{n^{4}+6 n^{2}+n+5}$ là phân số tối giản.

Mặt khác phân số $\dfrac{85}{361}$ cũng là phân số tối giản mà dạng tối giản của một phân số là duy nhất nên ta có

$\left\{\begin{array}{l}n^{3}+5 n+1=85 \\ n^{4}+6 n^{2}+n+5=361\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left(n^{4}+6 n^{2}+n+5\right)-n\left(n^{3}+5 n+1\right)=361-85 n$
$\Leftrightarrow n^{2}+85 n-356=0 \Leftrightarrow(n-4)(n+89)=0$
Vi $n \in \mathbb{N}$ nên $n=4$.

Vậy số tự nhiên cần tìm là $n=4$.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các số nguyên dương $m$, $n$ thỏa mãn $3^{m}=n^{2}+2 n-8$ $(14)$

Giải

Ta có $(14) \Leftrightarrow 3^{m}=(n+4)(n-2)$.

Đặt $n+4=3^{x} ; n-2=3^y$ với $x, y$ là số tự nhiên và $x+y=m$, khi đó $3^{x}-3^{y}=6$ hay $3^{y}\left(3^{x-y}-1\right)=6$.

Vì $3^y$ chỉ có ước là lũy thừa của $3$; $3^{x-y}-1$ không chia hết cho $3$ và $6=3.2$ nên $3^{y}=3$ và $3^{x-y}-1=2$ hay $y=1$ và $x=2$.

Từ đó $m=x+y=3$ và $n=3^{y}+2=5$.

Ví dụ 15: Tìm các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa $ x^{2}-y !=2015$

Giải

Nếu $y>5$ thì $y !\, \vdots \, 9 \Rightarrow y !+2015$ chia $9$ dư $8$ mà $x^{2}$ chia $9$ chi có thể nhận các số dư là $0 ; 1 ; 4 ; 7$ nên trong trường hợp này không tồn tại nghiệm.

Xét $y$ lần lượt bằng $0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5$ đều không có giá trị $x$ thỏa mãn.
Vậy phương trình $(15)$ vô nghiệm.

Ví dụ 16: Tìm tất cả các số tự nhiên $m;n$ để $P=3^{3m^2+6n-61}+4$ là số nguyên tố.
(Trích đề thi HSG TP. Hà Tĩnh, năm hoc $2015-2016$)

Giải

Nhận xét:  Để tìm các số tự nhiên $m, n$ sao cho $P$ là số nguyên tố thì ta có thể chứng minh $P$ chia hết cho
một số nguyên tố $n$ nào đó và khi đó $P=n$

Đặt $3m^2+6n-61=3k+2\ (k\in \mathbb{N})$.

Ta có $P=3^{3 k-2}+4=9.27^{k}+4$

Vì $27\equiv 1 (\bmod 13)$ nên $27^{k}\equiv 1 (\bmod 13)\Rightarrow 9.27^{k} \equiv 9 (\bmod 13) \Rightarrow 9.27^{k}+4 \equiv 13(\bmod 13)$
hay $P\, \vdots\, 13$, mà $P$ là số nguyên tố nên $P=13$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $k=0 .$

Suy ra $3 m^{2}+6 n-61=2 \Leftrightarrow m^{2}+2 n=21$
Vì $m ; n$ là các số tự nhiên nên chỉ có 2 cặp số $(m ; n)$ thỏa mãn là $(1 ; 10)$ và $(3 ; 6)$.

Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{11}+y^{11}=11 z$ $(17)$

Giải

$(17)$ có nghiệm nguyên khi $x^{11}+y^{11}\, \vdots \, 11$.

Vì $11$ là số nguyên tố, theo định lý nhỏ Fermat ta có: $x^{11}- x\, \vdots\, 11$ và $y^{11}-y\, \vdots\, 11 .$

Ta viết $(17)$ dưới dạng: $\left(x^{11}-x\right)+\left(y^{11}-y\right)+(x+y)=11 z$ suy ra $x+y\,  \vdots\,  11$.

Đặt $x+y=11 k ; x=t$ $(k, t \in \mathbb{Z}) .$ Ta có công thức nghiệm: $x=t$, $y=11 k-t$ và $\left[t^{11}+(11 k-t)^{11}\right] \, \vdots\, 11$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Giải các phương trình sau trong tập nguyên dương:
a) $ 2x^2+3xy-2y^2=7 $.
b) $ x^3-xy=6x-5y-8 $
c) $ x^3-y^3=91 $.

Bài 2. Tìm các số nguyên $x$, $y$ sao cho:

a) $3^x-y^3=1$;
b) $1+x+x^2+x^3=2^y$;
c) $1+x+x^2+x^3=2003^y$.

Bài 3. Tìm các số nguyên tố $x$, $y$, $z$ thỏa mãn: $x^y+1=z$

Bài 4. Tìm các số nguyên dương $x, y,z$ thỏa $y$ nguyên tố và $y, 3$ không là ước của $z$ thỏa $x^3-y^3=z^2$.

Bài 5. Chứng tỏ rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên

a) $2x^2 +y^2 =1999$.

b) $7x^2 -5y^2 =3$.

c) $x^4 + y^4 + (x+y)^4=4004$.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

a) $17x^2 +26y^2 = 846$.

b) $3x^2 -3xy =7x -y -21$.

c) $x^3 + 3367 =2^y$.

d) $2^x -3^y =7$.

e) $x! + y! =10z+9$.

f) $|x-y|+|y-z|+|z-x|=2017$.

g) $x^3 +y^3 +z^4 =2003$.

Bài 7. Tồn tại hay không $4$ số nguyên liên tiếp $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $a^3 + b^2 +c+d=491$.

Bài 8. Cho đa thức $f(x)$ có các hệ số nguyên. Biết rằng $f(1)\cdot f(2)=45$. Chứng tỏ đa thức $f(x)$ không có nghiệm nguyên.

Bài tập hình học ôn thi vào 10 – P1

Bài 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ là $d$, tiếp tuyến tại $B$ là $d’$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn, tiếp tuyến tại $C$ cắt $d$ và $d’$ lần lượt tại $D$ và $E$, $BC$ cắt $d$ tại $F$.
a) Chứng minh $D$ là trung điểm của $AF$.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. $CI$ cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh $CG^2 = GA.GB$.
c) Đường thẳng qua $A$ song song $EG$ cắt đường thẳng qua $B$ song song với $DG$ tại $H$. Chứng minh $D, H, E$ thẳng hàng.

Lời giải

a) Theo tích chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì: $DA = DC$,

tam giác $DAC$ cân tại $D$ nên $\angle DCA = \angle DAC$, mà $\angle DAC + \angle DCF = \angle DAC + \angle DFC= 90^0$.

Do đó $\angle DCF = \angle DFC$, suy ra $DC = DF$. \Vậy $DF = DA$, hay $D$ là trung điểm của AF.

b) Ta có $AD||BE$ nên $\dfrac{ID}{IB} = \dfrac{AD}{BE}$, mà $AD = CD, BE = CE$, suy ra $\dfrac{ID}{IB} = \dfrac{CD}{CE}$. Từ đó ta có $CI || BE$, suy ra $IC \bot AB$.

Tam giác ACB vuông tại C, có CG là đường cao nên: $CG^2 = GA.GB$.

c) Ta có $\dfrac{GA}{GB} = \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{AD}{BE}$, suy ra $\triangle ADG \backsim \triangle BEG$, do đó: $\angle AGD = \angle BGC$.
$GJ$ cắt $AD$ tại $J$. Ta có $\angle AGD =\angle BDE = \angle AGJ$.
Suy ra $GEJ$ cân tại $G$ và $A$ là trung điểm của $DJ$.
Gọi $H’$ là trung điểm của $DE$. Suy ra $AH’ || GE$.
Tương tự thì $H’B || GD$. Do đó $H’ \equiv H$.
Vậy $H, D, E$ thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác $ABC (AB <AC)$ có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Vẽ 2 đường cao $AD$ và $CE$ của tam giác $ABC$ . Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $M$ . Từ $M$ kẻ tiếp tuyến thứ hai đến $(O)$ ($N$ là tiếp điểm ). Vẽ $CK$ vuông góc với $AN$ tại $K$. Chứng minh $DK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$.

Lời giải 

Gọi $Q$ là trung điểm đoạn $BC$.
Ta có $\angle AKD = \angle ACB = \angle ANB$, suy ra $DK || BN$, suy ra $\angle ATK = \angle ABN$.

Ta có 5 điểm $A, M, N, O, Q$ cùng thuộc đường tròn. Suy ra $\angle AQM = \dfrac{1}{2}\angle AON = \angle ACN$.

Suy ra $\angle ABN = 180^\circ- \angle ACN = 180^\circ – \angle AQM =\angle AQC$.

Suy ra $\angle ATK = \angle AQC$. Suy ra $ATDQ$ nội tiếp. Suy ra $AT \bot TQ$. Suy ra $T$ là trung điểm BE.

Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC (AB < AC)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Gọi $Q$ là điểm đối xứng của $I$ qua $M$, tia $OM$ cắt $(O)$ tại $D$ và $QD$ cắt $(O)$ tại $T$ ($T$ thuộc cung $BD$ không chứa $A$).
a) Chứng minh rằng $DI = DB = DC$.
b) Đường thẳng qua $I$ song song $QD$ cắt $DO$ tại $K$. Chứng minh $DK.DO = DB^2$.
c) Chứng minh $\angle ACT = \angle DOI$.

Lời giải

b) Vẽ đường kính $DE$. Ta có $DB^2 = DM\cdot  DE $

$IKQD$ là hình bình hành, suy ra $DK = 2DM$.

Mặt khác $DO = \dfrac{1}{2}DE$

Nên $BD^2 = DK\cdot DO$

c)Vì $DB = DI$ nên ta có $DI^2 = DK\cdot DO$, suy ra $\triangle DIK \backsim \triangle DOI$.

Suy ra $\angle DOI = \angle DIK$ ,

mà $\angle DIK = \angle ADT = \angle ACT$.

Bài tập luyện tập

Bài 1. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ đến (O) các tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm. Trên tia đối của BA lấy điểm D, đường tròn ngoại tiếp ACD cắt (O) tai điểm thứ hai là E. DE cắt (O) tại F khác E. Gọi I là hình chiếu của B trên CD, H là giao điểm của OB và CD.
a) Chứng minh $CF||AC$.
b) Chứng minh tứ giác $IHEF$ nội tiếp.
c) Chứng minh $\angle IED = 2\angle ADC$.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. E, F là các điểm thay đổi trên các cạnh CD và BC sao cho $\angle EAF = 45^0$. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của AE, AF với BD.
a) Chứng minh rằng 5 điểm C,E, G, H, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh EF tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Chứng minh $GH^2 = DG^2 + BH^2$.
d) Chứng minh chu vi tam giác CEF không đổi. Tìm giá trị lớn nhất diện tích của tam giác CEF.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi D là hình chiếu của A trên BC và E là điểm đối xứng của A qua O. Gọi F là điểm chính giữa cung BC không chứa A.
a) Chứng minh rằng AF là phân giác góc $\angle DAE$.
b) Chứng minh $AD.AE = AB.AC$ và $S_{ABC} = \dfrac{AB.AC.BC}{4R}$.
c) Vẽ đường kính FG, đường tròn ngoại tiếp tam giác OAG cắt AB và AC tại M, N. Chứng minh BM = CN.

Bất đẳng thức Cauchy – Phương pháp tách ghép

Leave a reply

1. Phương pháp tách ghép

Ví dụ 1: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge a+b+c.$

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a} \ge 2b$

$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge 2c$

$\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge 2a.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$2\left( \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)  \ge 2 (a+b+c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge a+b+c.$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Ví dụ 2: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \ge a+b+c$$

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$\dfrac{a^3}{bc} +b+c \ge 3a $

$\dfrac{b^3}{ca}+c+a \ge 3b$

$\dfrac{c^3}{ab}+a+b \ge 3c.$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được

$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}+2(a+b+c) \ge 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \ge a+b+c.$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

Ví dụ 3: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

Giải

Áp dụng bất đẳng thức $xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4}$. Ta được:

$(a+b-c)(b+c-a) \le \dfrac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4}=b^2$

$(b+c-a)(c+a-b) \le \dfrac{(b+c-a+c+a-b)^2}{4}=c^2$

$(c+a-b)(a+b-c) \le \dfrac{(c+a-b)(a+b-c)^2}{4} = a^2.$

Do $a,b,c$ là các cạnh của một tam giác nên các vế của bất đẳng thức trên đều dương do đó nhân vế theo vế ta được

$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \le (abc)^2$

$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

2. Bài tập

Bài 1: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\dfrac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c} \ge abc$.

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

a) $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge a+b+c$

b) $\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c$

c) $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a} \ge ab+bc+ca.$

d) $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.$

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương ta có: $$abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).$$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) $(p-a)(p-b)(p-c) \le \dfrac{1}{8}abc$.

b) $\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$.

c) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b-c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a-b}} \ge 3$

Bài 5: Cho 3 số không âm $a,b,c$ chứng minh rằng: $$ a+b+c \ge \sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}. $$

Bài 6: Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh: $$ a^3+b^3+c^3 \ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}. $$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng: $$ (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) \ge abc(a+b)(b+c)(c+a). $$

Bài 8: Cho các số dương $x, y, z$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}).$$

Bài 9: Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh: $$\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{c^2+3} \le \dfrac{3}{2}.$$

Bài 10: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh: $$\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c} \ge 2.$$

Bài 11: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh: $$\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ac}{c+3a+2b} \le \dfrac{a+b+c}{6}.$$

Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=1$. Chứng minh: $$\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).$$

Bài 13: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $a+b+c=3$. Chứng minh: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge ab+bc+ca.$

Bất đẳng thức Cauchy – Phương pháp chọn điểm rơi

Leave a reply

1. Chọn điểm rơi

Ví dụ 1: Cho $a \ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+\dfrac{1}{a}$.

Giải

Ta có $P =\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{3a}{4} \ge 2 \sqrt{ \dfrac{a}{4}. \dfrac{1}{a}}+\dfrac{3.2}{4} =\dfrac{5}{2}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} \dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{a}&\\ a=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=2.$

Ví dụ 2: Cho $a \ge 2$. Tìm GTNN của $P=a+\dfrac{1}{a^2}$.

Giải

Ta có: $P=\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{8}+\dfrac{1}{a^2} +\dfrac{6a}{8} \ge 3 \sqrt[3]{\dfrac{a}{8}. \dfrac{a}{8}. \dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{6a}{8}$

$\hspace{6,5cm} \ge \dfrac{3}{4}+\dfrac{6.2}{8} \ge \dfrac{9}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} \dfrac{a}{8}=\dfrac{1}{a^2}&\\ a=2 \end{cases} \Leftrightarrow a=2.$

Ví dụ 3: Cho các số không âm $a,b,c$ thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3.$

Giải

Ta có: $a^3+a^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} a^2$

$b^3+b^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} b^2$

$c^3+c^3+\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \ge \sqrt{3} c^2$

Cộng vế theo theo vế ba băt đẳng thức trên ta được

$2(a^3+b^3+c^3)+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \ge \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \ge \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ chỉ $\begin{cases} a^2+b^2+c^2=1 &\\ a^3=b^3=c^3=\dfrac{1}{3\sqrt{3}} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Ví dụ 4: Cho $ a, b, c>0$, $a+b+c=1$. Chứng minh $ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \le \sqrt{6}. $

Giải

Đặt $P = \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} $.

Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{xy} \le \dfrac{x+y}{2}$ ta được:

$\sqrt{(a+b) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{a+b+\dfrac{2}{3}}{2}$

$\sqrt{(b+c) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{b+c+\dfrac{2}{3}}{2}$

$\sqrt{(c+a) \cdot \dfrac{2}{3}} \le \dfrac{c+a+\dfrac{2}{3}}{2}.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$\sqrt{\dfrac{2}{3}} \cdot P \le \dfrac{2(a+b+c)+2}{2}=2 \Leftrightarrow P \le \sqrt{6}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a+b+c=1&\\ a+b=b+c=c+a=\dfrac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}.$

Ví dụ 5: Cho $a, b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab.$

Giải

Ta có: $\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab = \dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\left( 4ab+\dfrac{1}{4ab}\right) + \dfrac{1}{4ab}$

$\hspace{5,4cm} \ge \dfrac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{4ab. \dfrac{1}{4ab}}+\dfrac{1}{(a+b)^2} \ge 7.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} a+b=1&\\a=b \end{cases} \Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}.$

Ví dụ 6: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a} \ge \dfrac{3}{2}.$$

Giải

Đặt $P = \dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a} $

Ta có: $\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{1+b}{4} \ge a$

$\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{1+c}{4} \ge b$

$\dfrac{c^2}{1+a}+\dfrac{1+a}{4} \ge c.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: $$P \ge (a+b+c)-\dfrac{1}{4}(a+b+c)-\dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}.3.\sqrt[3]{abc}-\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{2}.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

2. Bài tập

Bài 1: Cho $a \ge 6.$ Tìm GTNN của $ a^2+\dfrac{18}{a}$.

Bài 2: Cho $x \ge 1$. Tìm GTNN của $P=3x+\dfrac{1}{2x}.$

Bài 3: Cho $a,b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=ab+\dfrac{1}{ab}.$

Bài 4: Cho $a,b>0$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}.$

Bài 5: Cho $a,b>0$, $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$.

Bài 6: Cho $a,b>0$ thỏa $a+b \le 1$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$.

Bài 7: Cho $a,b>0$, $a+b=1$. Chứng minh:

a) $a^3+b^3 \ge \dfrac{1}{4}$.

b) $a^4+b^4 \ge \dfrac{1}{8}.$

Bài 8: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=1$. Tìm GTLN của $$ P=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}. $$

Bài 9: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=3$. Tìm GTLN của $$ P=\sqrt[3]{a(b+2c)}+\sqrt[3]{b(c+2a)}+\sqrt[3]{c(a+2b)}. $$

Bài 10: Cho $a, b, c >0$, $abc=1$. Chứng minh $$ \dfrac{a^3}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\dfrac{c^3}{(a+1)(b+1)} \ge \dfrac{3}{4}. $$

Bài 11: Cho $a, b, c >0$, $a+b+c=3$. Chứng minh $$ \dfrac{a^3}{b(2c+a)}+\dfrac{b^3}{c(2a+b)}+\dfrac{c^3}{a(2b+c)} \ge 1.$$

Bài 12: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh $$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$$

Bài 13: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{b^2c}{a^3(b+c)}+\dfrac{c^2a}{b^3(c+a)}+\dfrac{a^2b}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{2}(a+b+c).$$

Bài 14: Cho $x, y, z>0$, $xyz=1$. Chứng minh $x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z$.

Bài 15: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của $P=a^3+b^3+c^3$. Biết $a^2+b^2+c^2=3$.

Bài 16: Cho $a,b,c>0$ và $a+2b+3c \ge 20$. Tìm GTNN của $$S=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}.$$

Bài 17: Cho các số dương $a,b,c$ thoà $a+b+c=1$. Chứng minh $$a\sqrt[3]{1+b-c}+b \sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b} \le 1.$$

Bất đẳng thức Cauchy – Các kĩ thuật cơ bản

Leave a reply

1. Bất đẳng thức Cauchy

Tính chất 1: Cho các số $a, b$ thì ta có: $ab \leq \dfrac{1}{4} (a+b)^2 \leq \dfrac{1}{2}(a^2+b^2)$.

Tính chất 2: Cho $a, b$ là các số không âm thì $ a+b \geq 2\sqrt{ab}$.

2. Các kĩ thuật cơ bản

Ví dụ 1: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng $xy(x^2+y^2) \le 2 $.

Giải

Áp dụng bất đẳng thức $ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4}$ ta được:

$xy(x^2+y^2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2xy(x^2+y^2) \le \dfrac{1}{2} \dfrac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}=\dfrac{1}{8}(x+y)^4=2.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}.$

Ví dụ 2: Cho các số dương $a,b$. Chứng minh rằng $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a} \ge \sqrt{2(a^2+b^2)}.$

Giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$a^3+b^3\ge ab\sqrt{2(a+b)} \Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2-ab) \ge \sqrt{ab}.\sqrt{2ab(a^2+b^2)}$

Mặt khác ta có:

$0 <\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$

$0 \le \sqrt{2ab(a^2+b^2)} \le \dfrac{2ab+a^2+b^2}{2} \le a^2+b^2 \le 2(a^2+b^2-ab).$

Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$

Ví dụ 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$. Chứng minh $(x-1)(y-1)(z-1) \ge 8.$

Giải

Bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng $ \left( \dfrac{x-1}{x}\right) \left( \dfrac{y-1}{y}\right) \left( \dfrac{z-1}{z}\right)  \ge \dfrac{8}{xyz}$

$\Leftrightarrow \left( 1-\dfrac{1}{x}\right) \left( 1-\dfrac{1}{y}\right) \left( 1-\dfrac{1}{z}\right)  \ge \dfrac{8}{xyz}.$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge 2 \sqrt{\dfrac{1}{y}\cdot  \dfrac{1}{z}}=\dfrac{2}{\sqrt{yz}}.$

Tương tự ta cũng có $1-\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{2}{\sqrt{zx}}$ và $1-\dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{\sqrt{xy}}$.

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3.$

Ví dụ 4: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\dfrac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)} \le \dfrac{1}{81}.$

Giải

Ta có: $(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)= \left( 1+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}\right) \left( a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}\right) \left( b+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}\right) (c+8+8)$

$\hspace{7,5cm} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{4}}\cdot  3\sqrt[3] {\dfrac{ab^2}{4}}\cdot 3\sqrt[3]{\dfrac{bc^2}{4}}\cdot 3\sqrt[3]{64c} =81abc.$

Do đó $\dfrac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)} \le \dfrac{1}{81}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=4, c=8.$

3. Bài tập

Bài 1: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $ \dfrac{x^2}{x^2+2yz}+\dfrac{y^2}{y^2+2xz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy} \ge 1. $

Bài 2: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$.

b) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$.

c) $(a+b+2)\left( \dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}\right)  \ge 4$.

Bài 3: Cho $a>b>0$. Chứng minh

a) $a+\dfrac{1}{(a-b)b} \ge 3$.

b) $a+\dfrac{1}{(a-b)(b+1)} \ge 2$.

c) $a+\dfrac{4}{(a-b)(b+1)^2} \ge 3$.

Bài 4: Cho $a,b>1$. Chứng minh $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1} \le ab$.

Bài 5: Cho $c>0$ và $a,b \ge c$. Chứng minh rằng $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}$.

Bài 6: Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$. Chứng minh rằng $x^2y^2(x^2+y^2) \le 2.$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a^2+b^2 \le 2$. Chứng minh rằng $a\sqrt{3a(a+2b)}+b\sqrt{3b(b+2a)} \le 6.$

Bài 8: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $a(1+b)+b(1+c)+c(1+a) \ge 3 \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})$.

Bài 9: Cho $x,y >0$ và $x+y = 1.$ Chứng minh rằng $8(x^4+y^4)+\dfrac{1}{xy} \ge 5. $

Bài 10: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$ \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc} \le \frac{1}{abc}. $$

Bài 11: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $b+c \ge 16abc.$

Bài 12: Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả $ab+bc+ca \ge a+b+c$. Chứng minh $a+b+c \ge 3.$

Bài 13: Cho các số dương $a,b,c$ thoả $abc=1$. Chứng minh $$\dfrac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{c}+\dfrac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{a}+\dfrac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{b} \ge 3 \sqrt{3}.$$

Bài 14: Cho các số dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=abc$. Chứng minh $\dfrac{a}{b^3}+\dfrac{b}{c^3}+\dfrac{c}{a^3} \ge 1.$