Bài 1. (2,5 điểm) 

1) Cho phương trình ${x^2} – 2\left( {{m^2} + m + 1} \right)x + {m^4} + {m^2} + 1 = 0$ ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ đề phương trình có nghiệm $x_1, x_2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x_1}{x_2}}}} \right)$
b) Tìm $m$ để $\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{4{x_1}{x_2}}}$ là một số tự nhiên.

2) Giải hệ phương trình $\left{ \begin{matrix} x(x+y+z)+yz = – 4 \hfill \cr y(x+y+z)+xz=1 \hfill \cr z(x+y+z) + xy = – 1 \end{matrix} \right.$

Bài 2. (1 điểm) Cho các số $a, b, c > 0$ thỏa $abc > 1$ và $a + b + c < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng trong 3 số $a, b, c$ có đúng một số nhỏ hơn 1.

Bài 3. (2 điểm) Một số nguyên dương được gọi là số lập phương nếu tích các ước dương của nó bằng lập phương của số đó.
a) Chứng minh rằng 12 và 32 là các số lập phương

b) Tìm số tự nhiên $n$ để $2^n$ là số lập phương.
c) Tìm tất cả các số lập phương.
Bài 4. (3 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R$. Gọi $C$ là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$,$BC$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $B$. $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $O$, $CE$ cắt $(O)$ tại $F$ và $BF$ cắt $AC$ tại $G$.
a) Tính $AC$ khi diện tích tứ giác $ADBE$ lớn nhất.
b) $DF$ cắt $AC$ tại $M$. Chứng minh $MA^2 = MG.MC$.
c) Chứng minh rằng các đường thẳng $AD, BF$ và $CO$ đồng quy.
Bài 5. (1, 5 điểm)Cho bảng vuông $3 \times 3$. Người ta điền vào các ô vuông các số không âm sao cho nếu tổng các số ở một dòng là $r$, tổng các số ở một cột là $c$ thì $|r-c|$ là bằng giá trị ô vuông giao giữa dòng và cột đó.
a) Chứng minh rằng với số ở mỗi ô vuông bằng tổng hoặc hiệu các số ở hai ô vuông khác.
b) Có tồn tại hay không một cách điền số mà các số đều là số dương?

Hết.

Đáp án -> Here