Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho $a, b, c $ là các số thỏa mãn $ a^4 + b^4 + (a-b)^4 = c^4 + d^4 + (c-d)^4$. Chứng minh rằng [ a^2 + b^2 + (a-b)^2 = c^2 + d^2 + (c-d)^2 ]
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x – \dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{y}{x+1}- \dfrac{1+y}{y} \hfill \cr \sqrt{8y+9} = (x+1)\sqrt{y} + 2 \end{matrix} \right.$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình $2(m^2+1)x^2 – 8mx + 3m = 0$. ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa [2(x_1+x_2) – \sqrt{\dfrac{3}{x_1x_2}} = 2]
Bài 3. (1,5 điểm) Cho các số $x, y, z$ dương thỏa ${x^2} + {y^2} + {z^2} = xyz$. Chứng minh rằng:
a) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \le 1\,\,$
b) $xy + yz + xz + 9 \ge 4\left( {x + y + z} \right)\,\,$

Bài 4. (1,5 điểm) Một số nguyên tố $p$ được gọi là số nguyên tố đẹp nếu tồn tại các số nguyên $a, b$ thỏa $a^2b+1$ chia hết cho $p$ thì $a^2+b$ cũng chia hết cho $p$.
a) Chứng minh rằng $5$ là số nguyên tố đẹp.
b) 7 có phải là số nguyên tố đẹp không? Tại sao?

Bài 5. (3 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và dây cung BC cố định. $A$ là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Các đường phân giác trong góc $B, C$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $IA$ cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại $M, N$.
a) Tìm vị trí của $A$ để $BM.CN$ đạt giá trị lớn nhất.
b) Đường thẳng qua M song song IC cắt BC tại L; đường thẳng qua N song song IB cắt BC tại K. Chứng minh $MKLN$ nội tiếp. Xác định tâm ngoại tiếp của tứ giác.
c) Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ trên $BC$. Chứng minh $\angle DPM = \angle IPN$ và $A, D, P$ thẳng hàng.
Bài 6. (1 điểm) Cho đa giác đều 26 đỉnh. Trên mỗi đỉnh ta viết các số từ tự nhiên từ 1 đến 12. Chứng minh rằng có 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật ABCD sao cho $a+ b= c+ d$ với $a, b, c, d$ là các số ghi trên các đỉnh $A, B, C, D$.

Đáp án dành cho các bạn đăng kí trên website -> here