Đề ôn thi THPT QG – Đề số 3
Leave a reply
[WpProQuiz 6]
Đề ôn thi THPQ QG – Đề số 2
| [WpProQuiz 5] |
Đề ôn thi THPTQG – Đề số 1
[WpProQuiz 3]
Phương trình bậc nhất: $ax + b = 0$.
Giải và biện luận phương trình $ax + b = 0$.
- Nếu $a \neq 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{-b}{a}$.
- Nếu $a = 0, b \neq 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $a = 0, b = 0$ thì mọi $x \in \mathbb{R}$ đều là nghiệm.
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $(m-1)x + 2m – 3 = 0$.
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $(m^2-3m + 2)x – m^2 +1 = 0$.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $\dfrac{3mx – 1}{x-m} =2 $ có nghiệm duy nhất.
Bài tập
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) $(m^2-4m+2)x=m-2$
b) $m^2(x-1)=mx-1$
c) $m(x-m+3)=m(x-2)+6$
d) $m(mx-1)=4x+2$
Bài 2. Định $m$ để các phương trình sau vô nghiệm
a) $(4m^2-2)x=1+2m-x$
b) $(m+1)^2x-2=(4m+9)x-m$
c) $\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x}{x+m}$
d) $\dfrac{x+1}{x-m+1}=\dfrac{x}{x+m+2}$
Bài 3. Định $m$ để phương trình sau có nghiệm
a) $m^2(x-1)=4x-3m+2$
b) $\dfrac{2x+m}{x-1}-\dfrac{x+m-1}{x}=1$
c) $\dfrac{x+m}{x+3}=\dfrac{x}{x+1}$
Phép nhân đa thức với đa thức – Phần 1
Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thức kia.
Cho $A, B, C, D$ là các đơn thức. Khi đó:
$(A+B)\cdot (C+D) = A(C+D) + B(C+D)$
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) $(x-1)(x+2)$;
b) $(2-x)(3x+2)$;
c) $-4x(x-2)(x+2)$;
Ví dụ 2. Thực hiện các phép nhân.
a) $(2x^2-y)(y+3x)$
b)$(3xy^2+4x-3y)(x+6y)$
c)$(3x^2-2z-6y)(x+z)$
| [WpProQuiz 2] |
Nhân đơn thức với đa thức- Phần 1
Quy tắc.
Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta lấy đơn thức nhân với từng đơn thức của đa thức và cộng các kết quả lại.
Nếu $A$ là đơn thức $B, C$ là các đơn thức thì ta có:
Ví dụ 1. Thực hiện các phép nhân sau:
a) $2x(3x +\dfrac{3}{2})$.
b) $3y(3- 4y)$
Ví dụ 2.Thực hiện các phép toán sau:
a) $-2x^3y(2x^2-3y+5xy)$
b) $\dfrac{2}{3}x^2y(3xy-x^2+y).$
Bài tập tương tự.
Bài 1. Thực hiện phép tính: a
a) $-3x(4x + 2)$.
b) $-\dfrac{1}{3}y^2(6y – 9y^2)$.
c) $-2x^2y(4x^2 – 5xy^2 + z)$.
d) $3x^2y^2(5x – 4y^2 + 2xy)$.
Bài 2. Thực hiện phép tính
a) $-2x^2y(4x-5y^2+z)$
b) $-\dfrac{3}{4}xy (-8x^2y^2 + 3x^4y-12)$
c) $2z^2y(zx+3xyz – 5y^2)$
d) $\dfrac{1}{2}xy(\dfrac{4}{3}x^2 – \dfrac{9}{2}xy^2)$
Phép ngịch đảo – Sách của Yaglom
Phép nghịch đảo của của YAGLOM
Một món quà tặng của Lâm Minh, mà giờ sau gần 10 năm mình mới đăng.
Bài tập hình học 9: Ôn thi học kì 1
Dưới đây là một số bài tập ôn thi học kì 1 lớp 9, môn hình học với lời giải chi tiết được thực hiện bởi thầy Nguyễn Phi Hùng – Giáo viên Trường Phổ thông Năng khiếu. Nếu có gì sai sót comment dưới nhé.
Các bạn hãy share cho mọi người cùng tiếp cận được tài liệu này. Cảm ơn.
Đề tham khảo HK1 quận 1, Sài Gòn, năm học 2018-2019 [pdf]
Link xem bài – > LOI-GIAI-CAC-BAI-HINH-DE-NGHI-HK1
Một vài tính chất của một bài toán hình học lớp 9: Tứ giác điều hòa (tứ giác đẹp)
Trong một bài kiểm tra lớp 9 mới đây, mình cho các em làm bài toán này. Với các em học sinh lớp 9, mình không thích cho quá nhiều bài toán của THPT áp xuống, việc dạy học của mình trong bao năm qua vẫn kiên trì với triết lý đó. Nhưng ngày càng thấy nhiều bài toán hồn cấp 3 mà cách giải cấp 2 được đưa xuống, tinh thần cũng lung lay, vì dạy chuyên cả hai cấp nên mình biết khá rõ bài toán nào của cấp nào, không phải mình không dạy được hoặc không ra được bài toán như thế, nhưng mình không thích những cách giải khi nhìn với con mắt hàng điểm điều hòa, cực đối cực…ra liền mà các em cấp hai lại mất thời gian để suy nghĩ chân phương.
Nhưng đó cũng là cách chế biến đề phổ biến cho những bài toán hình cấp 2 hiện nay, âu cũng là một xu hướng mới, tuy vậy trong lúc dạy thực sự mình ít ra bài tập dạng đó, đây là trường hợp hiếm mà mình ra bài tập kiểu này.
Bài toán. Cho đường tròn tâm $O$, dây cung $AB$ khác đường kính. Tiếp tuyến tại $A, B$ cắt nhau tại điểm $P$. Một đường thẳng qua $P$ cắt $(O)$ tại $C, D$ sao cho $PC > PD$, $OP$ cắt $AB$ tại $H$.
- Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Chứng minh 5 điểm $O, A, B, P, M$ cùng thuộc một đường tròn.
- Chứng minh $PC \cdot PD = PA^2 = PH \cdot PO$. Suy ra tứ giác $OHDC$ nội tiếp.
- $CH$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $C$. Chứng minh $ORPC$ nội tiếp.
- Chứng minh $HA, HP$ lần phân giác trong và phân giác ngoài của $\angle CHD$.
- Chứng minh $AD \cdot BC = BD \cdot AC$.
- Chứng minh $\angle HCB = \angle DCA$ và $AD \cdot BC = \dfrac{1}{2}AB \cdot CD$.
- Tiếp tuyến tại $C, D$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $Q, A, B$ thẳng hàng.
- Đường thẳng qua $A$ song song với $PB$ cắt $BD, BC$ tại $K$ và $L$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $K, L$.
- Gọi $I$ là điểm đối xứng của $O$ qua $H$. Chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $APB$.
- Dựng các tiếp tuyến $AT, AV$ đến đường tròn đường kinh $PI$. Chứng minh $T, V, B$ thẳng hàng.
Giải
- $ \angle PAP = \angle PMO = \angle PBP = 90^\circ $, suy ra $ A,M,B,P,O $ cùng thuộc đường tròn đường kính $PO$.
- Ta có $ \triangle PBD \backsim \triangle PCB$ (g.g) suy ra $PD.PC = PB^2$. Mà $PB^2 = PH.PO$ (hệ thức lượng tam giác vuông $PBO$), nên $ PD.PC = PH.PO $, suy ra $ \triangle PDH \backsim \triangle POC $ (c.g.c), do đó $ \angle PHD = \angle PCO $, suy ra tứ giác $DHOC$ nội tiếp.
- Ta có $ \angle DCR = \frac{1}{2}\angle DOR $ (cùng chắn cung $DR$), và $ \angle DCR = \angle DHO $ (tứ giác $DHOC$ nội tiếp), suy ra $ \angle DOH = \angle ROH $, suy ra $ \angle PCR = \angle ROP $, nên tứ giác $PROC$ nội tiếp.
- $ \angle OHC = \angle ODC = \angle OCD = \angle PHD $, suy ra $HA$, $HD$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài $ \angle CHD $.
- Từ các cặp tam giác đồng dạng $PAD$ và $PCA$, $PBD$ và $PCB$ ta có
\[ \frac{AD}{AC} = \frac{PD}{PA} \text{ và } \frac{BC}{BD} = \frac{PB}{PD}\] Nhân vế theo vế ta được $ AD.BC = AC.BD $. - Từ $ \angle DOH = \angle ROH $ (cmt), suy ra $ \angle DOA = \angle ROB $, nên cung $AD$ bằng cung $BR$, suy ra $ \angle ACD = \angle HCB $, nhờ vậy $ \triangle ACD \backsim \triangle HCB $ (g.g), suy ra $ AD.BC = CD.BH = \frac{1}{2}AB.CD $.
- Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác $QDHC$, $Q$ là điểm chính giữa cung $DC$, nên $HQ$ là phân giác $\angle DHC$, suy ra ba điểm $H$, $A$, $Q$ thẳng hàng (cùng nằm trên phân giác trong $ \angle DHC $), do đó ba điểm $Q$, $A$, $B$ cũng thẳng hàng.
- Từ các cặp tam giác đồng dạng $ \triangle BAD \backsim \triangle BKA $ (g.g), $ \triangle BAL \backsim \triangle BCA $ (g.g), ta có
\[ AK = \frac{AD.AB}{BD} \text{ và } KL = \frac{AC.AB}{BC} \] Như vậy, để chứng minh $AK = KL$, cần chứng minh $ AD/BD = AC/BC $, điều này được suy trực tiếp từ câu (5). - Tứ giác $AOBI$ là hình thoi, suy ra $BI$ song song với $AO$ do đó vuông góc với $AP$, suy ra $I$ là trực tâm tam giác $ABP$.
- Gọi $S$ là tâm đường tròn đường kính $PI$, gọi $B’$ là giao điểm của $BI$ với $AP$. Do $BI \bot AP$ nên $B’ \in (S)$.
Ta có $AH.AB = AB’.AP = AT^2$, suy ra $ \angle ABT = \angle ATH $.
Tương tự, từ $AH.AB = AV^2$ ta có $ \angle ABV = \angle AVH $.
Như vậy, để chứng minh $B,V,T$ thẳng hàng, chỉ cần chứng minh $ \angle ATH = \angle AVH $, điều này hiển nhiên do tứ giác $ATVH$ nội tiếp đường tròn đường kính $SA$.
Biến đổi góc – Phần 2
Ví dụ 5. (Đề thi HSG Quốc Gia Việt Nam năm 2014) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB < AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK = IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ $(D \neq B)$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.
a. Chứng minh rằng $EF = \dfrac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ $(P\neq B)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.
Giải
a.
- Chứng minh $\angle AKI = \angle ABI$ (cùng bù $\angle ACI$).
- Tam giác $ABI, AKI$ bằng nhau, suy ra $E$ là trung điểm của $BK$.
- Chứng minh $F$ là trung điểm $CK$.
b.
- Tam giác $AID$ có $DE, AF$ là đường cao cắt nhau tại $K$ nên $K$ là trực tâm, suy ra $IK \bot AD$, do đó $CM \bot IK$. Suy ra $M$ là trực tâm tam giác $IKC$.
- Khi đó $AC$ là tiếp tuyến của $(BKN)$.
- $\angle CKP = \angle KBP = \angle DIP$, suy ra $KFPI$ nội tiếp, do đó $\angle IPK = 90^\circ $, suy ra $IJ$ là đường kính.
- Từ đó chứng minh $JAKD$ là hình bình hành.
Ví dụ 6. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$, $AD$ cắt $(O)$ tại $K$. $KF$ cắt $(O)$ tại $L$.
a. Chứng minh $CL$ đi qua trung điểm của $EF$.
b. Đường thẳng qua $A$ song song với $DE$ cắt $CL$ tại $N$. Chứng minh $\angle OFN = 90^\circ$.
Giải
a.
- Gọi $P$ là giao điểm của $CL$ và $DE$, $HP$ cắt $AC$ tại $D$.
- Ta có $\angle CH \cdot CF = \angle CA \cdot CE = CP \cdot CL$ nên $LFHP$ nội tiếp.
- Suy ra $\angle CHP = \angle CLF = \angle CAD = \angle CFE$, do đó $HP \parallel FE$.
- Ta có $EH$ là phân giác $\angle DEF$, suy ra $\angle PHE = \angle HEF = \angle HEP$, suy ra $PE = PH$.
- Tam giác $HES$ vuông, suy ra $P$ là trung điểm $HS$. Từ đó ta có $M$ là trung điểm của $EF$.
b.
- Ta chứng minh $\triangle FAN \backsim \triangle FOC$ đồng dạng. Vì có $\angle FCO = \angle FAN$ nên ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{NA}{OC} = \dfrac{AF}{CF}$. \hfill (1)
- Trong đẳng thức trên chỉ có $AN$ có vẻ là chưa liên quan gì, nên ta tính $AN$ trước. Ta có $\dfrac{AN}{PE} = \dfrac{AC}{CE}$, suy ra $AN=\dfrac{AC \cdot PE}{CE}$.
- Ta có $PE = \dfrac{1}{2} HS = \dfrac{CH \cdot EF}{2CF}$.
- Suy ra $\dfrac{AN}{OC} = \dfrac{CA \cdot EF \cdot CH}{CE \cdot CF \cdot 2OC}$, ta cần chứng minh $\dfrac{CA \cdot EF \cdot CH}{CE \cdot CF \cdot 2OC} = \dfrac{AF}{CF} $
- $\Leftrightarrow \dfrac{AF}{EF} = \dfrac{CA}{CE}\cdot \dfrac{CH}{2R}$
- $\Leftrightarrow \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{CA}{CE}\cdot \dfrac{CH}{2R}$
- $\Leftrightarrow \dfrac{CE}{CH} = \dfrac{AB}{2R}$ (Đúng).
Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, dường cao $AD$, trên đoạn $AD$ lấy điểm $E$, trên tia $BE, CE$ lấy các điểm $F, L$ sao cho $CL = CA, BF = BA$. $BF, CL$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng tam giác $KFL$ cân.
Giải
- Gọi $M, N$ là giao điểm của $BE, CE$ với $(ABC)$.
- Khi đó $CM, BN, AD$ đồng quy tại $H$.
- Ta có $BN\cdot BH = BD\cdot BC = BA^2 = BF^2$. Suy ra $BF \bot AF$. Tương tự thì $CL \bot AL$.
- $AF^2 = AN\cdot AB = AM\cdot AC = AL^2$. Suy ra $AF = AL$. Từ đó ta có $KF = KL$.
Ví dụ 8. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $w$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AI, BI, CI$ cắt $w$ lần lượt tại $A’,B’, C’$. $M$ là một điểm trên cạnh $AB$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AI$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BI$ tại điểm $A_1$; đường thẳng qua $M$ song song với $BI$ và cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AI$ tại điểm $B_1$. Chứng minh rằng $A’A_1, B’B_1$ và $C’M$ đồng quy.
Giải
- Gọi $T$ là giao điểm của $B’B_1$ và $(O)$. Ta có $\angle MB_1T = \angle BB’T = \angle MAT$, suy ra tứ giác $AMTB_1$ nội tiếp, kéo theo $\angle AB_1M = \angle ATM $ . \hfill (1)
- Ta chứng minh được $B’C’ \bot AA’$, suy ra $AB_1 \parallel B’C’$, từ đó ta có $\angle AB_1M = \angle C’B’lB$. \hfill (2)
- Từ (1) và (2), suy ra $T, M$ và $C’$ thẳng hàng. Chứng minh tương tự thì giao điểm của $A’A_1$ và $(O)$ cũng thuộc $C’M$. Từ đó ta có điều cần chứng minh.
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. Cho hai điểm $P, Q$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho $$\angle ACP = \angle BCQ, \angle CAP = \angle BAQ$$ Gọi $D, E, F$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng nếu $\angle DEF = 90^\circ$ thì $Q$ là trực tâm của tam giác $BDF$.
Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$ và $BD$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, phân giá trong góc $\angle BCA$ cắt $DE$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại $Q$. Gọi $C’$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$. Tính $\angle C$ biết rằng 4 điểm $M, P, Q$ và $C’$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $PA, PB$ đến $(O)$ với $A, B$ là các tiếp điểm. $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $PA, PB$ và $PO$ lần lượt tại $D, E, F$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB, PDE$ và $PCF$ cùng đi qua một điểm khác $P$.
Bài 4. (Đề thi chon đội dự tuyển PTNK năm 2009) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Trên các tia đối của các tia $BC, CA, AB$ lấy các điểm $A_1, B_1, C_1$ sao cho tam giác $A_1B_1C_1$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $A_1B_1C_1$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Bài 5. (Đề thi HSG Toán Quốc Tế năm 2009) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Phân giác trong góc $A$ và $B$ cắt $BC$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$. Cho $\angle BEK = 45^o$. Tìm tất cả các giá trị của $\angle BAC$.
Bài 6. (Đề thi toán Quốc tế năm 2017) Cho $R,S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải đường kính. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $R$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho $(JST)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A$ là giao điểm gần $R$ nhất của $d$ và $(JST)$. $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh $KT$ tiếp xúc với $(JST)$.
Bài 7. (Đề thi HSG Bulgari năm 2016) Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$, trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ sao cho $AC > CD$. Phân giác $\angle BCD$ cắt $BD$ tại $N$. $M$ là trung điểm $BD$, tiếp tuyến tại $M$ của $(AMD)$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng 4 điểm $A, P, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.