Category Archives: Chuyên đề

Sử dụng kĩ thuật tính toán để chứng các bài toán hình học phẳng

Leave a reply

Bài viết trình bày một số kĩ thuật tính toán hình học để chứng minh các bài toán hình học phẳng, các định lý được dùng chính là định lý Sin, Cosin, công thức diện tích, vectơ,..và một số tính chất, bổ đề đơn giản.

Một số kí hiệu thường dùng.

Trong tam giác $ABC$, đặt $BC = a, AC = b, AB = c, p = \dfrac{a+b+c}{2}, S = S_{ABC}$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp.

Sau đây là một số định lý quan trọng và đã có trong các phần khác, bạn đọc có thể tự chứng minh một cách dễ dàng.

Định lý 1. (Định lý Sin) Trong tam giác $ABC$ thì $$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

Định lý 2. (Định lý Cosin) Trong tam giác $ABC$ thì $a^2 =b^2 + c^2 – 2bc \cos A$ và các hệ thức tương tự.

Định lý 3. (Định lý Ceva dạng sin) Cho tam giác $ABC$, $P$ là điểm bất kì, khi đó $$\frac{\sin \left(A A_1 ; A B\right)}{\sin \left(A A_1 ; A C\right)} \cdot \frac{\sin \left(B B_1 ; B C\right)}{\sin \left(B B_1 ; B A\right)} \cdot \frac{\sin \left(C C_1 ; C A\right)}{\sin \left(C C_1 ; C B\right)}=-1$$

Một số tính chất và bổ đề cần dùng.

Tính chất 1. Nếu $\alpha$ là góc nhọn và $0^{\circ} \leq x, y \leq \alpha$ thỏa
$$
\frac{\sin x}{\sin (\alpha-x)}=\frac{\sin y}{\sin (\alpha-y)}
$$
thì $x=y$.

Tính chất 2. Cho tam giác $A B C$. Khi đó:
(a) $S_{A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin B A C$.
(b) $M$ là điểm trên cạnh $B C$, khi đó $\frac{B M}{C A M}=\frac{A B \cdot \sin M A B}{A C \cdot \sin M A C}$. $M$ là trung điểm $B C$ khi và chỉ khi $\frac{A B}{A C}=\frac{\sin M A C}{\sin M A B}$.

Tính chất 3. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A, M$ là điểm thuộc cạnh $B C$. Khi đó:
$$
\frac{M B}{M C}=\frac{\sin M A B}{\sin M A C}
$$

Một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với $B C, A C, A B$ tại $D, E, F . D I$ cắt $E F$ tại $K$. Chứng minh $A K$ qua trung điểm của $B C$.
Hướng dẫn giải

Gọi $M$ là trung điểm $B C$, ta sẽ chứng minh tia $A K$ trùng tia $A M$. Từ 6.1.6 ta thấy rằng để chứng minh 2 tia này trùng nhau, ta chỉ cần chứng minh
$$
\dfrac{\sin B A K}{\sin C A K}=\dfrac{\sin B A M}{\sin C A M}(*)
$$

Ta có: $\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac{\sin K I E}{\sin K I F}=\dfrac{K E}{K F}=\dfrac{\sin K A E}{\sin K A F}$.

Mà $\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{\sin M A B}{\sin M A C}$.

Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{\sin K A E}{\sin K A F}=\dfrac{\sin M A E}{\sin M A F}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ nhọn, tiếp tuyến tại $B, C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $\angle P A B=\angle C A M$ với $M$ là trung điểm $B C$.

Hướng dẫn giải.

Ta có $S_{A B M}=S_{A C M} \Leftrightarrow A B \cdot A M \sin B A M=A B \cdot A M \cdot \sin C A M \Rightarrow \dfrac{\sin B A M}{\sin C A M}=\dfrac{A C}{A B}$
(1) Ta có $\dfrac{S_{P A B}}{S_{P A C}}=\dfrac{A B \cdot A P \cdot \sin P A B}{A C \cdot A P \cdot \sin P A C}=\dfrac{A B \cdot \sin P A B}{A C \cdot \sin P A C}$.

Mà $\dfrac{S_{P A B}}{S_{P A C}}=\dfrac{A B \cdot P B \cdot \sin A B P}{A C \cdot P C \cdot \sin A C P}=\dfrac{A B}{A C} \cdot \dfrac{\sin A C B}{\sin A B C}=\dfrac{A B^2}{A C^2}$.
Từ (3) và (4) ta có $\dfrac{\sin P A B}{\sin P A C}=\dfrac{A B}{A C}=\dfrac{\sin C A M}{\sin B A M} \Rightarrow \angle P A B=\angle C A M$.

Ví dụ 3. (Đường thẳng Newton) Cho các tứ giác $A B C D$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $E, F, G, H$ là tiếp điểm của $(I)$ với các cạnh $A B, B C, C D, D A ; M, N$ là trung điểm của $A C$ và $B D$.
(a) Chứng minh $A C, B D, E G, F H$ dồng quy.
(b) Chứng minh $I, M, N$ thẳng hàng và $\frac{I M}{I N}=\frac{B E+D H}{A E+C H}$.

Hướng dẫn giải.

Đặt $A E=A H=a, B E=B F=b, C F=C G=c, D G=D H=d$.

(a) Gọi $K$ là giao điểm của $E G$ và $A C$.

Ta có $\dfrac{A K}{A E}=\dfrac{\sin \angle A E K}{\sin A K E}$ và $\dfrac{C K}{C G}=\dfrac{\sin \angle C G K}{\sin \angle C K G}$.

Mà $\sin \angle A K E=\sin \angle C K G, \sin \angle A E K=\sin C G K$.
Do đó $\frac{A K}{C K}=\dfrac{A E}{C G}=\frac{a}{c}$.

Gọi $K^{\prime}$ là giao điểm của $H F$ và $A C$ ta cũng chứng minh được $\frac{A K^{\prime}}{C K^{\prime}}=\dfrac{a}{c}$. Do đó $K \equiv K^{\prime}$ hay $E G, H F, A C$ dồng quy.
Tương tự ta cũng có $B D, E G, H F$ dồng quy.

b) Ta có $A B \overrightarrow{I E}=b \overrightarrow{I A}+a \overrightarrow{I B}, B C \overrightarrow{I F}=b \overrightarrow{I C}+c \overrightarrow{I B}, C D \overrightarrow{I G}=c \overrightarrow{I D}+d \overrightarrow{I C}, A D \overrightarrow{I H}=d \overrightarrow{I A}+a \overrightarrow{I D}$.

Theo định lý con nhím ta có $A B \overrightarrow{I E}+B C \overrightarrow{I F}+C D \overrightarrow{I G}+A D \overrightarrow{I H}=\overrightarrow{0}$, suy ra $(a+c)(\overrightarrow{I B}+$ $\overrightarrow{I D})+(b+d)(\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I C})=\overrightarrow{0}$

Mà $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I C}=2 \overrightarrow{I M}, \overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I D}=2 \overrightarrow{I N}$.

Do đó $(a+c) \overrightarrow{I N}+(b+d) \overrightarrow{I M}=\overrightarrow{0}$, từ đó suy ra $I, M, N$ thẳng hàng và $\dfrac{I M}{I N}=\dfrac{b+d}{a+c}$.

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ nhọn có trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm $B C$, đường tròn tâm $M$ bán kính $M H$ cắt $B C$ tại $A_1, A_2$; các điểm $B_1, B_2, C_1, C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải.

Ta dễ nhận ra rằng các điểm này cách đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$, vậy ta chỉ cần tính $O A_1$ sao cho không phụ thuộc vào vị trí của $A_1$, hay kết quả là một biểu thức đối xứng ta sẽ có điều cần chứng minh.

$O A_1^2=O M^2+M A_1^2=O M^2+M H^2$.

$M H^2=\dfrac{1}{2}\left(H B^2+H C^2\right)-\dfrac{1}{4} B C^2=2 O N^2+2 O P^2-\dfrac{1}{4} a^2=R^2\left(2 \cos ^2 B+2 \cos ^2 C-\sin ^2 A\right)$.

Khi đó
$$
O A_1^2=R^2\left(2 \cos ^2 B+2 \cos ^2 C+\cos ^2 A-\sin ^2 A\right)=R^2\left(2 \cos ^2 B+2 \cos ^2 C+2 \cos ^2 A-1\right)
$$

Tương tự cho các độ dài khác, từ đó ta có 6 điểm thuộc đường tròn tâm $O$.

Chú ý: Để ý vai trò như nhau của các đối tượng cần tính và cố gắng đưa về các yếu tố của hình gốc, cụ thể trong bài này là tam giác $ABC$.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B, C$ cắt nhau tại $L$. Gọi $X$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B C$, tiếp tuyến tuyến tại $A$ cắt $L X$ tại $K$. Chứng minh $K$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $A B C$.
Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của $O K$ với $A X$ là $J$, ta sẽ chứng minh $J$ là trực tâm của $\triangle A B C$. Gọi giao điểm của $O L$ với $A K$ là $I$, theo định lý Thales ta có $\dfrac{J A}{O I}=\dfrac{K J}{K O}=\dfrac{J X}{O L} \Leftrightarrow \dfrac{J A}{J X}=\dfrac{O I}{O L}$.

Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$ và $P$ là giao của $A H$ và $(O)$, do tính đối xứng thì $A P=H X$. Ta cần chứng minh $\dfrac{H A}{H X}=\dfrac{J A}{J X}$, tức là $\dfrac{A H}{A P}=\dfrac{O I}{O L}(1)$.

Từ đây chú ý thêm $\angle O I A=90^{\circ}-\angle O A H=\angle A C P=\alpha$, hướng giải quyết của ta đã sáng sủa hơn, ta có : $O I=\dfrac{O A}{\sin \alpha} ; O L=\dfrac{O C}{\cos \angle B A C} \Rightarrow \dfrac{O I}{O L}=\dfrac{\cos \angle B A C}{\sin \alpha}$

Ta có $A H=2 R \cos \angle B A C ; A P=2 R$. $\sin \alpha$, suy ra $\dfrac{A H}{A P}=\dfrac{\cos \angle B A C}{\sin \alpha}=\frac{O I}{O L}$. Suy ra $\dfrac{H A}{H X}=$ $\dfrac{J A}{J X}$; nghĩa là $H$ trùng $J$, suy ra $K$ thuộc đường thẳng Euler của tam giác $A B C$.

(Hết phần 1)

Phép chiếu vectơ

Leave a reply
  1. Định nghĩa. Cho đường thẳng $d$ và đường thẳng $l$ không song song $d$, và vectơ $\overrightarrow{AB}$. Đường thẳng qua $A, B$ song song với $l$ cắt $d$ tại$A’, B’$, Khi đó $\overrightarrow{A’B’}$ được gọi là hình chiếu của $\overrightarrow{AB}$ trên $d$ theo phương $l$. Trường hợp $l \perp d$ ta có phép chiếu vuông góc.

2. Tính chất

1) Hình chiếu của $\overrightarrow{a}$ trên $d$ là $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $l$.

2) Nếu $\overrightarrow{a’}, \overrightarrow{b’}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ trên $d$ thì $\overrightarrow{a’} \pm \overrightarrow{b’}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{a} \pm \overrightarrow{b}$ trên $d$.

3) Nếu $\overrightarrow{a’}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{a}$ thì $k \cdot \overrightarrow{a’}$ là hình chiếu của $k \cdot \overrightarrow{a}$.

Phép chiếu bảo toán các phép toán cộng, trừ hai vectơ, tích một vectơ với một số, nhưng không bảo toàn tích vô hướng hai vectơ

3. Một số ví dụ áp dụng của phép chiếu vectơ

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh

a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$.

Lời giải.

a) Đặt $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} -2\overrightarrow{AM}$

Xét phép chiếu vectơ theo phương $AB$ trên đường thẳng $BC$ ta có

$\overrightarrow{AB} \mapsto \overrightarrow{0}, \overrightarrow{AC} \mapsto \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AM} \mapsto \overrightarrow{BM}$

Do đó $\overrightarrow{u}\mapsto \overrightarrow{BC} – 2\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{u} || AB$.

Chứng minh tương tự thì $\overrightarrow{u} ||AC$

Do đó $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$

b) Đặt $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$. Thực phép chiếu theo phương $GA$ trên đường thẳng $BC$, ta có:

$\overrightarrow{GA} \mapsto \overrightarrow{0}, \overrightarrow{GB} \mapsto \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{GC} \mapsto \overrightarrow{MC}$. Khi đó $\overrightarrow{u} \mapsto \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương $GA$.

Chứng minh tương tự $\overrightarrow{u}$ cùng phương $GB, GC$

Do đó $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$

Ví dụ 2. (Định lý Jacobi) Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm nằm trong tam giác, đặt $S_a = S_{MBC}, S_b = S_{MAC}, S_c = S_{MAC}$. Chứng minh rằng

$$S_a \cdot \overrightarrow{MA} + S_b \cdot \overrightarrow{MB} + S_c \cdot \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$

Lời giải. $AM$ cắt $BC$ tại $D$. Đặt $S_a \cdot \overrightarrow{MA} + S_b \cdot \overrightarrow{MB} + S_c \cdot \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{u}$

Thực hiện phép chiếu xuống $BC$ theo phương $MA$, ta có $\overrightarrow{MA} \mapsto \overrightarrow{0}, \overrightarrow{MB} \mapsto \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{MC} \mapsto \overrightarrow{DC}$

Do đó $\overrightarrow{u} \mapsto S_b \cdot \overrightarrow{DC} + S_b \cdot \overrightarrow{DB}$. (1)

Ta có $\overrightarrow{DB} = \dfrac{-DB}{DC} \overrightarrow{DB}$ và $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{S_b}{S_c}$, suy ra $\overrightarrow{DB} = \dfrac{-S_b}{S_c} \overrightarrow{DB}$, từ đó $S_c \cdot \overrightarrow{DB} + S_b \cdot \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{u} \mapsto \overrightarrow{0}$, và $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $MA$, tương tự ta cũng có $\overrightarrow{u}$ cùng phương $MB, MC$. Do đó $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho đa giác đều $A_1A_2\cdot A_n$ có tâm $O$. Chứng minh rằng $$\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} + \cdots + \overrightarrow{OA_n} = \overrightarrow{0}$$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, dự các vec tơ $\overrightarrow{a}$ hướng là ngoài tam giác và có độ dài $BC$, các vec tơ $\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ được dựng tương tự. Chứng minh rằng $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp, $H$ là trực tâm. Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$

Một số bài đường tròn và tiếp tuyến

1 Reply

Bài 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn. $d_1$ và $d_2$ lần lượt là tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1, d_2$ lần lượt tại $D$ và $E$. $B C$ cắt $d_1$ tại $F$.
a) Chứng minh $d_1 | d_2$ và $D$ là trung điểm của $A F$.
b) Vẽ đường cao $C H$. Chứng minh rằng $A E, B D$ và $C H$ dồng quy tại trung điểm của $C H$.
c) Chứng minh $O F \perp A E$.

Lời giải.

a) $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $O A \perp d_1, d_2$ là tiếp tuyến tại $B$ nên $d_2 \perp O B$, mà $O, A, B$ thẳng hàng, suy ra $d_1 / / d_2$.
Ta có $\angle A C B=90^{\circ}$, suy ra $\angle D C F+$ $\angle D C A=\angle D F C+\angle D A C=90^{\circ}$. (1)
Hơn nữa $D A=D C$ (t/c tiếp tuyến), tam giác $D A C$ cân tại $D$, suy ra $\angle D C A=$ $\angle D A C$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\angle D C F=\angle D F C$, tam giác $D C F$ cân tại $D$.
Vậy $D F=D C=D A$, hay $D$ là trung điểm của $A F$.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $B D$ và $A E$. Ta có $A D / / B E$ nên $\frac{B I}{I D}=\frac{E B}{A D}(3)$.
Mặt khác do $A D=D C$ và $E B=E C$, suy ra $\frac{E B}{A D}=\frac{E C}{D C}$ (4).

Từ (3) và (4) ta có $\frac{B I}{I D}=\frac{E C}{D C}$, suy ra $I C / / A D$ (Thalet đảo).

Mà $A D \perp A B$ nên $C I \perp A B$, vậy $C, I, H$ thẳng hàng.

Do đó $A E, B E, C H$ đồng quy tại $I$.
Ta có $\frac{C I}{A D}=\frac{E I}{E A}, \frac{I H}{A D}=\frac{B I}{B D}$ và $\frac{E I}{E A}=$ $\frac{B I}{B D}$, nên $\frac{C I}{A D}=\frac{I H}{A D}$, suy ra $I C=I H$ hay
$I$ là trung điểm của $C H$.
c) Ta có $E B \cdot A D=E C \cdot C D=O C^2=R^2$, mà $A F=2 A D$ nên $E B \cdot A F=2 R^2$.

Suy ra $E B \cdot A F=A O \cdot A B$, suy ra $\frac{E B}{A B}=\frac{O A}{A F}$, do đó $\tan E A B=\tan A F O$, suy ra $\angle E A B=$ $\angle A F O$.
Mà $\angle E A B+\angle E A F=90^{\circ}$ nên $\angle E A B+$ $\angle A F O=90^{\circ}$. Do đó $O F \perp A E$.

Bài 2. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. $A$ là một điểm nằm ngoài đường tròn, từ $A$ dựng các tiếp tuyến $A B, A C$ dến $(O)$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Một cát tuyết qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ trong đó $D$ nằm giữa $A$ và $E$.Gọi $H$ là giao điểm của $O A$ và $B C$.
a) Chứng minh $O H \cdot O A=R^2$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $D E$. Chứng minh 4 điểm $O, M, B, C$ cùng thuộc đường tròn.
c) Tiếp tuyến tại $D$ và $E$ của $(O)$ cắt nhau tại điểm $P$. Chứng minh $P, B, C$ thẳng hàng.

Lời giải.

a) Ta có $A B, A C$ là tiếp tuyến nên $A B=A C$, và $O B=O C=R$, suy ra $O A$ là trung trực của $B C$, suy ra $O A \perp B C$ tại $H$.
Tam giác $O A B$ có $\angle O B A=90^{\circ}$ (t/c tiệp tuyến) và $B H \perp O A$ nên $O H \cdot O A=O B^2=$ $R^2$.
b) $M$ là trung điểm $D E$, suy ra $O M \perp D E$.
Ta có $\angle O B A=\angle O M A=\angle O C A=90^{\circ}$, suy ra 5 diểm $O, M, B, A, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $O A$.
c) Ta chứng minh được $O P \perp D E$, suy ra $O, M, P$ thẳng hàng và $O M . O P=O D^2=$ $R^2$.
Suy ra $O M \cdot O P=O H \cdot O A$, suy ra $\frac{O M}{O H}=$ $\frac{O P}{O A}$.
Xét tam giác $O M A$ và tam giác $O H P$ có:
$\angle A O P$ chung $\frac{O M}{O H}=\frac{O P}{O A}$ $\angle O H P=\angle O M A=90^{\circ}$.
Ta có $B C, P H$ vuông góc với $O A$ tại $H$ nên $P, B, C$ thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A(A B<A C)$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $A C$ cắt cạnh $B C$ tại $D$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $A D$ và $C D$. Tia $O H$ cắt cạnh $A B$ tại $E$. Tia $O K$ cắt đường thẳng $E D$ tại $N$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $I$.
(a) Chứng minh $D E$ là tiếp tuyến của $(O)$.
(b) Chứng minh $O H D K$ là hình chữ nhật.
(c) Chứng minh tia $D I$ là tia phân giác của $\angle N D C$.
(d) Gọi $S$ là giao điểm của $O B$ với $A D$. Từ $S$ vẽ đường thẳng vuông góc với $A O$ và cắt tia $O H$ tại $Q$. Chứng minh 3 điểm $A, Q, N$ thẳng hàng.

Lời giải.

Hình 1

a) $OH$ là trung trực của $AD$, suy ra $EA = ED$. Từ đó $\triangle EDO = \triangle EAO (ccc)$, suy ra $\angle EDO = \angle EAO = 90^\circ$. Do đó $ED$ là tiếp tuyến của $(O)$.

b) Do $K$ là trung điểm $CD$ nên $OK \bot CD$, tứ giác $OHDK$ có $\angle D = \angle H = \angle K = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

c) Ta có tam giác $ODI$ cân tại $O$ nên $\angle ODI = \angle OID$ (1)
Mà $\angle ODI = \angle ODK + \angle KDI, \angle OID = \angle OND + \angle NDI$ (2)
Và $\angle OND = \angle ODK$ (vì cùng phụ $\angle DON$) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có $\angle KDI = \angle NDI$

d) Gọi $L$ là giao điểm $AQ$ và $OS$.
Trong tam giác $ASO$ có $AQ, SQ$ là các đường cao, nên $Q$ là trực tâm, suy ra $AQ \bot OS$ tại $L$. (4)
Ta có $OL \cdot OB = OA^2$
và $OK \cdot ON = OD^2 = OA^2$
Suy ra $\angle OK \cdot ON = OL \cdot OB$
Suy ra $\triangle OLN \backsim \triangle OKB$, suy ra $\angle OLN = \angle OKB = 90^\circ$ (5)
Từ (4), (5) ta có $A, L, N$ thẳng hàng, hay $A, Q, N$ thẳng hàng.

Bài 4. Cho đường tròn $(O ; R)$ và một điểm $S$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Vẽ hai tiếp tuyến $S B, S C$ đến $(O)$ với $B, C$ là hai tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $S O$ với $B C$.
(a) Vẽ đường kính $B A$ của $(O)$. Chứng minh $A C || S O$ và $H B \cdot H C=H O \cdot H S$.
(b) Vẽ đường thẳng $d$ vuông góc vớ $A B$ tại $O$, đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $A C$ tại $E$. Chứng minh $S E=R$.
(c) Vẽ $C K$ vuông góc với $A B$ tại $K$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $C K$. Chứng minh 3 điểm $S, I, A$ thẳng hàng.

Lời giải.

a) Do $AB$ là đường kính của $(O)$ nên $\angle ACB = 90^\circ$. (1)

Ta có $SB = SC$ và $SO$ phân giác $\angle BSC$ nên $SO$ là trung trực của $BC$, do đó $OS \bot BC$ tại $H$.

Từ đó ta có $AC ||OS$ vì cùng vuông góc $BC$.

b) $\triangle AOE = \triangle OBS (gcg)$, suy ra $OE = BS$.

Tứ giác $OESB$ có $OE||BS$ (Cùng vuông góc $AB$), và $OE = BS$ nên $OESB$ là hình bình hành, hơn nữa có $\angle OBS= 90^\circ$ nên là hình chữ nhật, do đó $SE = OB = R$.

c) Ta có $OASE$ là hình bình hành, suy ra $AS$ cắt $OE$ tại trung điểm $T$ của mỗi đoạn.
$CK ||OE$
Gọi $I’$ là giao điểm của $AS$ và $CK$
Ta có $\dfrac{I’K}{OT} = \dfrac{AI’}{AT} = \dfrac{CI’}{ET}$
Mà $OT = ET$ nên $KI’ = CI’$, hay $I’ \equiv I$
Vậy $A, I, S$ thẳng hàng

Bài 5. Cho đường tròn $(O ; R)$ và điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ tiếp tuyến $M A, M B$ đến $(O)$ với $A, B$ là hai tiếp điểm. Đường thẳng $A B$ cắt $(O)$ tại $K$.
(a) Kẻ đường kính $A N$ của $(O), B H \perp A N$ tại $H$. Chứng $\operatorname{minh} M B \cdot B N=B H \cdot M O$.
(b) Đường thẳng $M O$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D(C$ nằm giữa $O$ và $M)$. Chứng minh $O K \cdot M K=C K \cdot D K$.
(c) $E$ đối xứng với $C$ qua $K$. Chứng minh $E$ là trực tâm của tam giác $A B D$.
(d) Chứng minh $\sin \angle M^{\circ} A B=\frac{C K}{A K}+\frac{C K}{A M}$

Lời giải.

a) Chứng minh tam giác $OMB$ và $NBH$ đồng dạng.
b) $OK \cdot MK = AK^2 = KC \cdot KD$
c) $ACBE$ là hình thoi, suy ra $BE||AC$, mà $AC \bot AD$ suy ra $BE \bot AD$
$DE \bot AB$
Do đó $E$ là trực tâm tam giác $ABD$.

d) $\angle CAK = \angle CAM$ (chứng minh ở bài trên)
Do đó $\dfrac{CK}{CM} = \dfrac{AK}{AM}$, suy ra $\dfrac{CK}{AK} = \dfrac{CM}{AM}$
Từ đó $VP = \dfrac{CK}{AK} + \dfrac{CK}{AM} = \dfrac{CM}{AM} + \dfrac{CK}{AM} = \dfrac{KM}{AM} = \sin MAB$

Bài 6. Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $a, E$ là cung thuộc cung nhỏ $B D$ của đường tròn tâm tâm $A$ bán kính $a$. Tiếp tuyến tại $E$ cắt $C D$ tại $F$ và $B C$ tại $G$.
(a) Chứng minh chu vi tam giác $C F G$ bằng $2 a$.
(b) $A F, A G$ cắt $B D$ tại $I$ và $H$. Chứng minh $H E=$ $H B, I E=I D$

và $H I^2=D I^2+B H^2$
(c) Chứng minh $F H, G I$ và $A E$ đồng quy.

Lời giải.

a) $CD, CB, FG$ là tiếp tuyến của $(A;a)$
Suy ra $FE = FD, GE = GB$
$P_{CFG} = CF + FG + CG = CF + EF +EG+CG = CF+DF +GB+CG = CD+ CB = 2a$

b) $AF$ là trung trực $DE$, và $AG$ là trung trực $BE$
Suy ra $IE = ID, HB = HE$
$\triangle IEF = \triangle IDF \Rightarrow \angle IEF =\angle IDF = 45^\circ$
Tương tự cũng có $\angle HEG = 45^\circ$
Suy ra $\angle IEH = 90^\circ$
Áp dụng pitago cho tam giác $EIH$ ta có $IH^2 = IE^2 + HE^2 = ID^2 + HB^2$

c) Ta có $AF$ là phân giác $\angle DAE$, $AG$ là phân giác của $\angle BAE$
Suy ra $\angle FAG = \dfrac{1}{2} \angle BAD = 45^\circ$.
$\triangle AIH \backsim \triangle DIF (gg)$, suy ra $IA \cdot IF = ID \cdot IH$
Suy ra $\triangle IFH \backsim \triangle IDA \Rightarrow \angle IFH = \angle IDA = 45^\circ$
Suy $\angle AHF = 90^\circ$ hay $FH \bot AG$.
Chứng minh tương tự $GI \bot AF$.
Tam giác $FG$ có $AE, FH, GI$ là các đường cao nên đồng quy.

Bài 7. (Cuối khóa 1 – Star Education 2018) Cho đường tròn $(O ; R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $A B, A C$ dến $(O)$ ( $B, C$ là các tiếp điểm). $O A$ cắt $B C$ tại $H$.
a) Chứng minh $O H \cdot O A=R^2$ và 4 điểm $O, A, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn tâm $I$ đường kính $A B$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $B$. Chứng minh $I D$ là tiếp tuyến của $(O)$.
c) Tiếp tuyến tại $H$ và tại $A$ của $(I)$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh $B, D, P$ thẳng hàng.

d) Tiếp tuyến tại $H$ của $(I)$ cắt $O B$ tại $M$; gọi $N$ là trung điểm $P M$, đường thẳng qua $P$ song song $B N$ cắt $A B$ tại $K$. Chứng minh $H K, A M$ và $B D$ đồng quy.

Lời giải.

a)

Xét $\triangle A B O$ vuông tại $B$ có:

$B H$ là đường cao $\Rightarrow O H \cdot O A=O B^2=R^2$ (Hệ thức lượng)

Ta có: $\triangle A B O$ vuông tại $B \Rightarrow A, B, O$ thuộc đường tròn đường kính $A O$. (1)

Lại có $\triangle A C O$ vuông tại $C \Rightarrow A, C, O$ thuộc đường tròn đường kính $A O$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A, B, O, C$ thuộc đường tròn đường kính $A O$.

b)

Ta có: $\triangle A B D$ nội tiếp đường tròn đường kính $A B \Rightarrow \triangle A B D$ vuông tại $D$

Mà $I$ là trung điểm cạnh huyền $A B \Rightarrow I B=I D$
Ta có: $I B=I D, O B=O D$ nên $I O$ là trung trực của $B D$ $\Rightarrow \angle I B O=\angle I D O=90^{\circ}$ nên $I D$ là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Tiếp tuyến tại $H$ và tại $A$ của $(I)$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh $B, D, P$ thẳng hàng.

Gọi $E=I P \cap A H$ và $F=I O \cap B D$.
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng, ta chứng minh được
$$
I E \cdot I P=I A^2=I D^2=I F \cdot I O \Rightarrow \frac{I F}{I P}=\frac{I E}{I O}
$$

Từ đó, chứng minh được $\triangle I F P \backsim \triangle I E O$ (c.g.c)
$$
\Rightarrow \angle I E O=\angle I F P=90^{\circ} \text {. }
$$

Ta có: $B D$ đi qua $F$ và vuông góc $I O, F P$ đi qua $F$ và vuông góc $I O$ nên hai đường thẳng này trùng nhau. $\Rightarrow B, D, P$ thẳng hàng.

d)

Chứng minh $I H$ là đường trung bình của $\triangle A B C \Rightarrow I H || A C$. Mà $I H \perp P M$ và $A C \perp O C$.

Suy ra: $H M || O C$. Lại có $H$ là trung điểm $B C$ nên $M$ là trung điểm $O B$.

Gọi $Q$ là giao điểm của $P K$ và $B O$.
Ta có: $B N || P Q$ và $N$ là trung điểm của $P M$ nên suy ra $B$ là trung điểm của $Q M$.

Gọi $J=B P \cap A M$.
Ta có :
$ B Q ||A P \Rightarrow \frac{B K}{K A}=\frac{B Q}{P A}=\frac{B M}{P A} . $
$B M || A P \Rightarrow \frac{B M}{P A}=\frac{B J}{J P}$
Suy ra: $\frac{B K}{K A}=\frac{B J}{J P}$ nên $K J || A P$. Chứng minh tương tự $J H ||A P$. Từ đó ta có $K, J, H$ thẳng hàng.

Vậy $H K, B P, A M$ dồng quy tại $J$.

Bài tập luyện tập.

Bài 6. Cho tam giác $A B C$ nhọn. Các đường cao $A D, B E$ và $C F$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A H$.
(a) Chứng minh $N E, N F$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $B C E$.
(b) Chứng minh 5 điểm $D, E, F, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
(c) Gọi $G$ là giao điểm của $A D$ và $E F$. Chứng minh $N G \cdot N D=N A^2$.

Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $A B=2 R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $A C=A B$. Từ $C$ vẽ tiếp tuyến $C D$ dến $(O)$ cắt tiếp tuyến tại $B$ ở điểm E.
(a) Tính $B E$.
(b) Đường cao $D F$ của tam giác $A B D$ cắt $B C$ tại $G$. Chứng minh rằng $A, G, E$ thẳng hàng.
(c) Gọi $H$ là giao điểm của $O C$ và $A D$. Tính $\angle D H B$.
(d) Gọi $I$ là giao điểm của $B C$ và $(O)$. Tứ giác $I D B H$ là hình gì? Tại sao?

Bài 8. Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O) . M$ là trung điểm $B C$. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến đến đường tròn $(O ; O M)$ cắt $B C$ tại $D$ và $E$ sao cho $D$ và $C$ khác phía đối với $M ; E, B$ khác phía đối với $M$. Chứng minh rằng các tam giác $A D C$ và $A B E$ cân.

Bài 9. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A, A B=a, B C=2 a$. Đường cao $A H$. Từ $B, C$ vẽ các tiếp tuyến $B D, C E$ dến đường tròn tâm $A$ bán kính $A H$.
(a) Tính $A H$ và số đo $\angle A B C$.
(b) Chứng minh $D, A, E$ thẳng hàng.
(c) Chứng minh $E D$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $B C$.
(d) Chứng minh $D C, B E$ và $A H$ dồng quy.

Bài 10. Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $2 a$, tâm $O$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $a$ tiếp xúc với $A B$ và $B C$ tại $E$ và $F$. Gọi $P$ là một điểm trên cung nhỏ $E F$. Tiếp tuyến tại $P$ cắt $A B, B C$ tại $M$ và $N$. Đặt $M B=c, B N=y$.
(a) Chứng minh rằng $x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2 a$.
(b) Chứng minh rằng $A M \cdot C N=2 a^2$.
(c) Gọi $K$ là trung điểm của $A D$. Chứng minh rằng $M K |$ $D N$.

Suy luận phản chứng

Leave a reply

Bài viết này dành cho các em lớp 5, 6, 7

Các nhà toán học trong quá khứ đã làm việc chăm chỉ để khám phá bản chất của các chứng minh, và một loạt các kỹ thuật chứng minh đã được phát triển qua nhiều thế kỷ. Hôm nay, chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp chứng minh quan trọng được gọi là bằng chứng do mâu thuẫn.

Ta thường gặp bài toán kiểu: Có A là đúng và cần suy ra X cũng đúng, trong một số trường hợp ta suy luận trực tiếp như sau: có A đúng thì có C đúng, có C đúng thì có D đúng, …, rồi suy ra X đúng, ở đây ta dùng A làm giả thiết để cho các suy luận sau. Tuy vậy một số tình huống ta không sử dụng được giả thiết A đúng, ta có thể dùng kĩ thuật suy luận phản chứng như sau: Giả sử X sai, tức là ta chấp nhận một giả thiết mới là X sai, từ giả thiết này ta dẫn đến một điều gì đó vô lí, hoặc dẫn đến A sai; khi đó điều giả sử đó là không đúng, tức là ta có điều cần chứng minh. Thế mạnh của suy luận phản chứng là mình có thêm một giả thiết để giúp trong việc suy luận dễ dàng hơn.

Ví dụ 1. Có tồn tại hay không số nguyên lẻ lớn nhất?

Lời giải Giả sử tồn tại số nguyên lẻ lớn nhất là $m$.

khi đó $m+2$ cũng là số lẻ và $m+2 > m$ nên mâu thuẫn vì theo giả sử thì $m$ là lớn nhất.

Vậy không có số nguyên lẻ lớn nhất.

Ví dụ 2. 5 cầu thủ bóng đá đã cùng nhau ghi được 14 bàn thắng, với mỗi cầu thủ ghi ít nhất 1 bàn. Chứng minh rằng ít nhất 2 trong số họ ghi được số bàn thắng như nhau. số bàn thắng.

Lời giải. Giả sử không có ai ghi số bàn thắng bằng nhau.

Khi đó người ghi ít nhất là 1 bàn, người kế tiếp ghi ít nhất là 2 bàn, người thứ 3 ghi ít nhất 3 bàn, cứ như thế người ghi nhiều nhất có số bàn thắng ít nhất là 5 bàn, khi đó tổng số bàn thắng của 5 người ít nhất là $1+2+3+4+5 = 15$ (mâu thuẫn).

Vậy có hai người ghi số bàn thắng bằng nhau.

Ví dụ 3. Quốc hội của một quốc gia được thành lập bởi các nghị sĩ đại diện từ 8 tỉnh. Năm mươi trong số các nghị sĩ này quyết định thành lập một ủy ban. Chứng minh rằng ủy ban này sẽ bao gồm 8 người từ cùng một tỉnh hoặc người từ tất cả 8 tỉnh.

Lời giải. Giả sử ủy bản mỗi tỉnh không có quá 7 người và chỉ đến từ 7 tỉnh trở lại, khi đó số thành viên ủy ban là không qua 49 người, mâu thuẫn.

Vậy trong ủy ban sẽ có một tỉnh có 8 người hoặc thành viên đến từ cả 8 tỉnh.

Ví dụ 4. Viết 10 số từ 0 đến 9 trên một vòng tròn, mỗi số viết đúng một lần.

a) Có tồn tại hay không cách viết sao cho tổng hai số liên tiếp không nhỏ hơn 9?
b) Có tồn tại hay không cách viết sau cho tổng 3 số liên tiếp lớn hơn 12?
Lời giải.

a) Giả sử tồn tại cách viết sao cho tổng hai số liên tiếp không nhỏ hơn 9, xét số 0 và hai số kề với 0 là $a, b$ ta có $0+a \geq 9, 0 + b \geq 9$, suy ra $a=b=9$ mâu thuẫn, vì mỗi số viết đúng 1 lần.

b) Giả sử tồn tại cách viết thỏa đề bài. Tổn các số là 45, bỏ số 9, và xếp 9 số còn lại làm ba nhóm, mỗi nhóm 3 số liên tiếp, khi đó tổng của chúng lớn hơn 36, tuy vậy ta thấy 9 số đó là $0, 1,2, \cdots 8$ tổng là 36, đây là điều mâu thuẫn.

Vậy không cách ghi thỏa đề bài.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Chứng minh rằng khi cho $n+1$ con thỏ vào $n$ cái chuồng thì có chuồng chứa ít nhất 2 con thỏ.

Bài 2. Cho 15 số thỏa mãn tổng của 8 số bất kì lớn nhơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh tất cả các số đã cho đều dương.

Bài 3. Tích của 22 số nguyên bằng 1. Chứng minh rằng tổng của chúng không thể bằng 0.

Bài 4. Có thể chia tập $X = \{1, 2, …, 2022\}$ thành các tập rời nhau sao cho mỗi tập có ít nhất 3 phần tử và phần tử lớn nhất bằng tổng các phần tử còn lại?

Đề thi và đáp án chọn đội dự tuyển 10 trường PTNK năm 2023

Leave a reply

Bài 1. Cho ba số thực $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.
(a) Chứng minh rằng $(a b+b c+c a)(a b c+1) \geq 6 a b c$.
(b) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho $a b c\left(a^k+b^k+c^k\right) \leq 3$.

Bài 2 .Với mỗi số thực $x,[x]$ gọi là phần nguyên của $x$ – là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ và ${x}:=x-[x]$ gọi là phần lẻ của $x$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ nhỏ hơn $p$ thì tổng $$S=\left\{\frac{k}{p}\right\}+\left\{\frac{2 k}{p}\right\}+\left\{\frac{3 k}{p}\right\}+\ldots+\left\{\frac{(p-1) k}{p}\right\}$$ không đổi. Tính S.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nôi tiếp đường tròn $(\omega)$, tiếp tuyến của $(\omega)$ tai $\mathrm{B}$ là $d_1$, tai $\mathrm{C}$ là $d_2$. I là điểm thuôc trung trự $\mathrm{BC}$, đường tròn tâm $\mathrm{I}$ bán kính $\mathrm{IB}$ cắt các canh $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}$ tại $\mathrm{D}, \mathrm{E}$. $\mathrm{CD}$ cắt $d_1$ tai $\mathrm{F}, \mathrm{BE}$ cắt $d_2$ tai $\mathrm{G}$ sao cho $\mathrm{F}, \mathrm{G}$ cùng phía $\mathrm{A}$ so với $\mathrm{BC}$. Đường tròn ngoai tiếp tam giác $\mathrm{BDF}$ cắt $\mathrm{BE}$ tại $\mathrm{K}$, đường tròn ngoại tiếp tam giác CEG cắt $\mathrm{CD}$ tại L.
(a) Khi $\mathrm{I}$ thuộc $\mathrm{BC}$, gọi $\mathrm{P}$ là giao điểm của $\mathrm{FK}$ và $\mathrm{GL}$. Chứng minh $\mathrm{AP}$ đi qua tâm của $(\omega)$.
(b) Khi I khác phía $\mathrm{A}$ đối với $\mathrm{BC}, \mathrm{DE}$ cắt $d_1$ tại $\mathrm{R}, d_2$ tại $\mathrm{S}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ISR cắt $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$. Chứng minh $B X=C Y$.

Bài 4 Tìm số nguyên dương $s$ lớn nhất thỏa mãn tính chất sau: Với mọi bộ số nguyên dương nhỏ hơn hay bằng 10 (không nhất thiết phân biệt) có tồng bằng $s$ ta luôn có thể chia thành hai nhóm mà tổng các số thuộc mỗi nhóm nhỏ hơn hay bằng 70 .

Lời giải

Bài 1.

(a) Đặt $a=\min {a, b, c}$, suy ra $a \leq 1$.
Khi đó $(a-1)^3 \leq 1 \Rightarrow a^3-3 a^2+3 a-1 \leq 0 \Rightarrow \frac{1}{a}+a(3-a) \geq 3$, suy ra $\frac{1}{a}+a b+a c \geq 3$, hơn nữa
$$
\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+b c \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{b} \frac{1}{c} b c}=3
$$
Từ đó $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a b+b c+a c \geq 6$. hay $(a b+b c+c a)(a b c+1) \geq 6 a b c$.
(b) Cho $a=2, b=c=\frac{1}{2}$, suy ra $k<3$, ta chứng minh $k=2$ thì bất đẳng thức thỏa với mọi $a, b, c$ thỏa điều kiện, thật vậy

$a b c\left(a^2+b^2+c^2\right) =\frac{1}{3} \cdot a b c(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2\right) $
$\leq \frac{1}{9} \cdot(a b+b c+c a)^2 \cdot\left(a^2+b^2+c^2\right) $
$=\frac{1}{9} \cdot(a b+b c+c a)(a b+b c+c a)\left(a^2+b^2+c^2\right) $
$ \leq \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{27} \cdot\left(a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)\right)^3 $
$ =\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{27} \cdot 3^6=3$

Bài 2.

Với $p$ nguyên tố lẻ thì $(k, p)=1$ với mọi $0<k<p$. Ta chứng minh $p-1$ số $k, 2 k, \cdots,(p-1) k$ là hệ thặng dư thu gọn của $p$, thật vậy, giả sử $i k \equiv j k($ $\bmod p)$ với $i, j<p$ thì $k(i-j) \equiv 0(\bmod p)$, suy ra $i=j$.
Khi đó $S=\left\{\frac{k}{p}\right\}+\left\{\frac{2 k}{p}\right\}+\left\{\frac{3 k}{p}\right\}+\ldots+\left\{\frac{(p-1) k}{p}\right\}=\frac{1}{p}+\frac{2}{p}+\cdots \frac{p-1}{p}=$ $\frac{p-1}{2}$ không đổi.

Bài 3.

(a) Gọi $O$ là tâm của $\omega$. Ta có $\angle S D B=\angle A D E=\angle A C B=\angle S B D$ nên $\triangle S B D$ cân tại $S$. Tương tự $\triangle R E C$ cân tại $R$. Biến đổi góc
$$
\angle K F L=\angle K F D=\angle K B D=\angle D C E=\angle E G L \angle K G L,
$$
suy ra $F, K, L, G$ đồng viên.
Do $I \in B C$ nên $\angle B D C=90^{\circ}$, mà $\triangle S B D$ cân tại $S$ nên $S$ là tâm đường tròn $(F D K)$. Tương tự, $R$ là tâm đường tròn $(G E L)$. Ta có
$$
A D \cdot A B=A E \cdot A C, \quad P K \cdot P F=P L \cdot P G,
$$
suy ra $A P$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(F D K)$ và $(G E L)$, do đó $A P \perp R S$.
Mà $A O \perp D E$ nên $A, O, P$ thằng hàng.

(b) Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $I S, I R$ với $B C . \triangle S B D$ cân tại $S$ nên suy ra $I S$ là đường trung trực của $B D$, tương tự $I R$ là đường trung
Tập san Toán học STAR EDUCATION
trực của $E C$. Biến đổi góc
$$
\begin{aligned}
& \angle M S D=90^{\circ}-\angle S D B=90^{\circ}-\angle A D E=90^{\circ}-\angle A C B=\angle C N G . \
\Rightarrow & \angle I S R=\angle Y N G \Rightarrow \angle I S Y+\angle Y S R=\angle M Y I+\angle Y I R \Rightarrow \angle I S Y= \
& \angle X Y I=\angle X S I .
\end{aligned}
$$
Vậy $S I$ là tia phân giác của $\angle X S Y$ nên $I$ nằm trên đường trung trực của $X Y$. Mà $I$ cũng nằm trên đường trung trực của $B C$ nên $B X=C Y$.

Bài 4.

Ta chứng minh rằng $s=133$ là số lớn nhất thoả mãn điều kiện bài toán. Trước hết, giả sử rằng $s$ là một số thoả mãn điều kiện đã cho.

Viết $s=9 k+r (k, r \in \mathbb{Z}{\geq 0}, 1 \leq r \leq 9 )$.

Nếu $s \geq 134$, xét một bộ số gồm $k$ số 9 và số còn lại bằng $s-9 k$. Trong bộ số này có không quá một số khác 9 nên khi chia chúng thành hai phần khác rỗng, phải có ít nhất một bộ chứa toàn số 9. Hơn nữa, $$ 9 \cdot 7=63<70<9 \cdot 8 $$ nên bộ số này có tổng tối đa là 63 . Nhưng khi đó tổng của các số còn lại, gọi là $T$, sẽ phải thoả mãn $$ T \geq 134-63=71>70 $$ vô lý do $T \leq 70$. Từ đó phải có $s \leq 133$. Bây giờ ta chứng minh rằng $s=133$ thoả mãn điều kiện bài toán. Trước hết, ta chứng minh rằng với mọi bộ số nguyên dương không vượt quá 10 có tổng bằng 133, khi chia thành hai phần khác rỗng là $X, Y$ khác rống (có thể có các phần tử trùng nhau), sao cho

$$ M=\sum{x \in X} x-\sum_{y \in Y} y \geq 0$$

và $M$ nhỏ nhất có thể, thì $M \leq 8$. Thật vậy, giả sử rằng $M \geq 9$ thì
$$
\sum_{x \in X} \geq \frac{1}{2}\left(\sum_{x \in X} x+\sum_{y \in Y} y+9\right) \geq \frac{133+9}{2}=71 .
$$
Vì mỗi phần tử của $X$ không vượt quá 10 nên $X$ có ít nhất 8 phần tử. Đặt $t=\min X$. Xét hai tập hợp
$$
\left\{\begin{array}{l}
X^{\prime}=X \cup{t} \
Y^{\prime}=Y \backslash{t}
\end{array}\right.
$$
thì $X^{\prime}, Y^{\prime} \neq \emptyset$, đều gồm các số nguyên dương không vượt quá 10 , và có tổng bằng 133. Vì tính nhỏ nhất của $M$ nên
$$
M \leq\left|\sum_{x \in X^{\prime}} x-\sum_{y \in Y^{\prime}} y\right|=\left|\sum_{x \in X} x-\sum_{y \in Y} y-2 t\right|=|M-2 t|
$$
Kết hợp với $M \geq 9$ và $1 \leq t \leq 10$ thì $9 \leq M \leq t \leq 10$. Có hai khả năng sau:

  • Nếu $M=10$ thì
    $$
    \sum_{x \in X} x=\frac{133+10}{2} \notin \mathbb{Z}
    $$
    là một điều vô lý.
  • Nếu $M=9$ thì
    $$
    \sum_{x \in X} x=\frac{133+9}{2}=71 .
    $$
    Nếu $t=9$ thì $X$ gồm toàn số 9 và số 10 , nên có thể viết được
    $$
    71=9 k+10 l\left(k, l \in \mathbb{Z}{\geq 0}\right) . $$ Do đó $9 k \equiv 1(\bmod 10)$, dẫn đến $k \equiv 9(\bmod 10)$ và $k \geq 9$. Hệ quả là $$ 9 k+10 l \geq 9 k \geq 81>71 $$ cũng là điều vô lý. Từ đó điều giả sử là sai hay phải có $M \leq 8$, dẫn đến $$ \sum{y \in Y} y \leq \sum_{x \in X} x \leq \frac{1}{2}\left(\sum_{x \in X}+\sum_{y \in Y} y+8\right)=\frac{133+8}{2} .
    $$
    Nhưng các tổng là số nguyên nên
    $$
    \sum_{y \in Y} y \leq \sum_{x \in X} x \leq 70,
    $$
    nghĩa là cách chia $(X, Y)$ thoả mãn điều kiện bài toán. Tóm lại, $s=133$ là số lớn nhất thoả mãn yêu cầu đề bài. Bài toán kết thúc.

Cực trị hình học (Lớp 8)

Leave a reply

Cực trị hình học là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các đối tượng hình học như độ dài, chu vi, diện tích, …

Các bước cho một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất gồm các bước sau:

  • Đánh giá bất đẳng thức
  • Tìm điều kiện, vị trí để đẳng thức xảy ra
  • Kết luận

Một số tính chất cần nhớ trong các bài toán cực trị

Tính chất 1. Bất đẳng thức trong tam giác: Cho 3 điểm $A, B, C$ thì $AB + BC \geq AC$. Đẳng thức xảy ra khi $B$ nằm giữa $A, C$. Tính chất này có thể tổng quát cho trường hợp nhiều hơn 3 điểm.

Từ tính chất này ta có thể thấy rằng, con đường ngắn nhất để đi từ $A$ đến $B$ là con đường thẳng.

Tính chất 2. Đường xiên và hình chiếu: Cho điểm $A$ và đường thẳng $d$, khi đó $M$ thay đổi trên $d$ thì $AM$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$.

Một số bất đẳng thức cần dùng: Cho $a, b \geq 0$.

  • $a^2 + b^2 \geq \dfrac{1}{2} (a+b)^2 \geq 2ab$
  • $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b}$
  • $a^2+b^2+c^2 \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2 \geq ab+bc+ac$.

Chú ý trong các bài toán cực trị thì đẳng thức phải xảy ra, do đó việc đánh giá bất đẳng thức cần chặt chẽ để xảy ra dấu bằng, nếu tìm không được vị trí dấu bằng xảy ra thì đánh giá đó chưa hợp lý.

Kinh nghiệm làm bài, nếu bài toán có nhiều giá trị thay đổi ta có thể

  • Tính toán biến đổi để đưa về biểu thức ít yếu tố thay đổi hơn.
  • Tìm mối liên hệ giữa các biến mà không đổi như: tích không đổi, tổng không đổi,… và từ đó áp dụng các bất đẳng thức đại số để đánh giá.

Sau đây là một số ví dụ.

Ví dụ 1. Cho hai điểm $A, B$ và đường thẳng $d$. Tìm vị trí của $M$ thuộc $d$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất trong hai trường hợp.

a) $A, B$ cùng phía với $d$.

b) $A,B$ khác phía đối với đường thẳng $d$.

Phân tích và Lời giải

a) Với bài toán này ta nhận thấy rằng ta có thể áp dụng ngay tính chất 1, ta có $MA + MB \geq AB$

Đẳng thức xảy ra khi $M$ là điểm nằm giữa $A,B$, mà $M$ thuộc $d$ nên $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB$ và đường thẳng $d$. Rõ ràng giao điểm này tồn tại vì $A, B$ là khác phía đối với $d$.

b) Đối với ý này, nếu vội vàng áp dụng như câu a thì ta thấy do $A,B$ cùng phía nên giao điểm của đoạn thẳng $AB$ và $d$ không tồn tại. Do đó cách làm như câu a, cũng không đúng.

Vậy ta sẽ làm thế nào? Ta có thể đưa về trường hợp ở câu a hay không? nếu đưa về câu a thì ta sẽ làm gì?

Ở đây có một kĩ thuật, là sử dụng đối xứng trục, để thay đổi vị trí điểm $A$ và vẫn tạo ra một đoạn thẳng bằng với $MA$. Tạo ra điểm phụ sẽ giúp ta giải được bài toán này.

Gọi $A’$ là đối xứng của $A$ qua $d$, khi đó $A’, B$ khác phía đối với $d$ và $MA = MA’$, ta đưa về trường hợp của câu $a$.

Ta có $MA + MB = MA’ + MB \geq A’B$, đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $A’B$ và $d$.

Vậy $MA + MB$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của $A’B$ với $d$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. $M$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $D, E, F$ là hình chiếu của $M$ trên các cạnh $BC, AC, AB$.

a) Chứng minh $MD + ME + MF$ không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của $MD^2 +ME^2 +MF^2$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $BD^2+CE^2+AF^2$.

Phân tích và lời giải

a) Với bài này việc chứng minh ý đầu có thể còn khó hơn ý sau, việc chứng minh tổng này không đổi thì nhiều khi ta phải dự đoán được tổng này giá trị không đổi là bao nhiêu, phụ thuộc vào $a$ thế nào. Ta có thể đoán bằng cách cho $M$ trùng với một đỉnh nào đó, hoặc điểm đặc biệt như tâm của tam giác đều, khi cho trùng đỉnh $A$ thì ta có $E, F \equiv A$, $D \equiv H$, chân đường cao từ $A$, do đó ta có $MD + ME +MF = AH$ độ dài đường cao. Việc chứng minh tổng này bằng $AH$ ta có thể sử dụng phương pháp diện tích, rất hữu hiệu trong các bài có độ dài đường vuông góc.

a) $S_{A B C}=S_{M B C}+S_{M A C}+S_{M A B}$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} A H \cdot B C= & \frac{1}{2} M D \cdot B C+\frac{1}{2} M E \cdot A C \
& +\frac{1}{2} M F \cdot A C
\end{aligned}
$$
$\frac{1}{2} A H \cdot a=\frac{1}{2} a(M D+M E+M E)$
$$
\Rightarrow M D+M E+M F=A I+\text { (Ehongdon!) }
$$
$$
=\frac{a \sqrt{3}}{2}
$$
Áp dụng bất đẳng thức $x^2+y^2+z^2 \geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)^2$
$$
\begin{array}{ll}
\Rightarrow M D^2+M E^2+M F^2 \geqslant \frac{1}{3}(M D+M E+M F)^2 & =\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 \
& =\frac{a^2}{4}
\end{array}
$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M D=M E=M F$, tức là $M$ là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác $ABC$, do tam giác $ABC$ đều nên $M$ cũng là trọng tâm tam giác.
$$
(M D^2+M E^2+M F^2)_{\min }=\dfrac{a^2}{4}
$$

b) Với câu này mình không có gợi ý như câu b, tìm min của đại lượng $P = BD^2+CE^2+AF^2$ ta có thể suy nghĩ tới việc tính tổng hay tích các số hạng, tuy vậy các giá trị này thay đổi theo $M$. Và quan sát thêm một chút là vị trí của các đoạn thẳng $DB, CE, AF$ trên các cạnh $BC, AC, AB$ có vẻ là cùng một hướng, và ta lại xem các đoạn thẳng còn lại thế nào? tức là $CD, BF, AE$ vai trò như nhau với các đoạn trên không? Liệu $BD^2+CE^2+AF^2 = CD^2+BF^2+AE^2?

Và khi đi vào kiểm tra thì rõ ràng ta chứng minh được $BD^2+CE^2+AF^2 = CD^2 + BF^2+AE^2 (1)$ và từ đó ta có lời giải như sau.

Trước hết ta chứng minh (1), theo định lý Pitago ta có $BD^2 – CD^2 = MB^2-MD^2 – (MC^2-MD^2) = MB^2-MC^2$, tương tự ta cũng có các đẳng thức khác.

Khi đó $BD^2+CE^2+AF^2 – CD^2-AE^2-BF^2 = MB^2 – MC^2 + MC^2-MA^2 +MA^2-MB^2 = 0$

Suy ra $BD^2+CE^2+AF^2 = CD^2+BF^2+AE^2 = \dfrac{1}{2} (BD^2+CD^2+AF^2+BF^2+CE^2+AE^2$.

Mà $CD^2+BD^2 \geq \dfrac{1}{2}(CD+BD)^2 = \dfrac{1}{2}a^2$

Tương tự thì $AF^2+BF^2 \geq \dfrac{1}{2}a^2, AE^2+CE^2 \geq \dfrac{3}{2}a^2$

Từ đó $BD^2+CE^2+AD^2 \geq \dfrac{3}{4}a^2$, đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác $ABC$.

Vậy $(BD^2+CE^2+AF^2)_{\max} = \dfrac{3}{4}a^2$.

Ví dụ 3. (PTNK 1999) Cho tam giác $A B C$ có diện tích $\mathrm{S}$ và một điểm $P$ nằm trong tam giác.
(a) Gọi $S_1, S_2, S_3$ lần lượt là diện tích của tam giác $P B C, P C A, P A B$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $S_1^2+S_2^2+S_3^2$.
(b) Gọi $P_1, P_2, P_3$ lần lượt là các điểm đối xứng của $P$ qua $B C, C A$ và $A B$. Đường thẳng qua $P_1$ song song với $B C$ cắt $A B$ và $A C$ tại $B_1$ và $C_1$. Đường thẳng qua $P_2$ song song với $A C$ cắt $B C, B A$ tại $C_2, A_2$, đường thẳng qua $P_3$ và song song với $A B$ cắt $C A, C B$ tại $A_3, B_3$. Hãy xác định vị trí của điểm $P$ dể tổng diện tích ba hình thang $B C C_1 B_1, C A A_2 C_2$ và $A B B_3 A_3$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.

Phân tích và lời giải

a) Bài này ta làm tương tự câu a ví dụ 2, cũng áp dụng bdt $x^2+y^2+z^2 \geq \dfrac{1}{3} (x+y+z)^2$ để suy ra cực trị.

b) Với bài toán này, để tìm cực trị của tổng diện tích các hình thang, ta phải tính diện tích các hình thang này thông qua một đại lượng trung gian, trong bài này thì đó là diện tích tam giác $ABC$, (S). Việc các đường thẳng song song gợi ta nghĩa tới tam giác đồng dạng và tính chất “tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng”, từ đó ta có cách giải sau:

b) Gọi độ dài các đường cao của tam giác $A B C$ là $h_a, h_b, h_c$ và khoảng cách từ $P$ đến $B C, A C, A B$ là $x, y, z$. Ta có $\frac{S}{S_{A B_1 C_1}}=\frac{h_a^2}{\left(h_a+x\right)^2}$.
Suy ra $S_{A B_1 C_1}=\left(1+\frac{x}{h_a}\right)^2 S$.
Tương tự ta có $S_{B A_2 C_2}=\left(1+\frac{y}{h_b}\right)^2 . S, S_{C A_3 B_3}=\left(1+\frac{z}{h_c}\right)^2 S$.
Đặt $a=\frac{x}{h_a}, b=\frac{y}{h_b}, c=\frac{z}{h_c}$ thì $a+b+c=1$.
Ta có $S_{B C C_1 B_1}+S_{A C C_2 A_2}+S_{A B B_3 A_3}=S\left((1+a)^2+(1+b)^2+(1+c)^2-3\right)=$ $S\left(2+a^2+b^2+c^2\right)$.
Ta có $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=\frac{1}{3}$. Do đó $S_{B C C_1 B_1}+S_{A C C_2 A_2}+S_{A B B_3 A_3} \geq \frac{7}{3} S$.
Đẳng thức xảy ra khi $P$ là trọng tâm tam giác $A B C$.

Ví dụ 4. (PTNK 2008) Cho góc $x A y$ vuông và hai điểm $B, C$ lần lượt trên các tia $A y, A y$. Hình vuông $M N P Q$ có các đỉnh $M$ thuộc cạnh $A B$, dỉnh $N$ thuộc cạnh $A C$ và các đỉnh $P, Q$ thuộc cạnh $B C$.
(a) Tính cạnh hình vuông $M N P Q$ theo cạnh $B C=a$ và đường cao $A H=h$ của tam giác $A B C$.
(b) Cho $B, C$ thay đổi lần lượt trên các tia $A x, A y$ sao cho tích $A B \cdot A C=k^2$ ( $k$ không đổi). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông $M N P Q$.

Phân tích và lời giải

a)

a) Đặt $x$ là độ dài hình vuông. Gọi $K$ là giao điểm của $A H$ và $M N$.
Ta có $M K H Q$ là hình chữ nhật, suy ra $K H=M Q=x, A E=A H-E H=$ $h-x$.
Ta có $M N \parallel B C$, suy ra $\frac{M N}{B C}=\frac{A N}{A C}$.
Và $N K \parallel C H$ nên ta có $\frac{A N}{A C}=\frac{A K}{A H}$.
Do đó ta có $\frac{M N}{B C}=\frac{A K}{A H}$ hay $\frac{x}{a}=\frac{h-x}{h}$, suy ra $x=\frac{a h}{a+h}$.
b) Ta có $b c=a h=k^2$ và $a^2=b^2+c^2 \geq 2 b c=2 a h$. Suy ra $a \geq 2 h$.
Ta có $S_{M N P Q}=M N^2=\frac{(a h)^2}{(a+h)^2}=\frac{k^4}{(a+h)^2}$.
Ta có $(a+h)^2=a^2+h^2+2 a h=h^2+\frac{1}{4} a^2+\frac{3}{4} a^2+2 a h$.
Mà $h^2+\frac{1}{4} a^2 \geq a h=k^2, \frac{3}{4} a^2 \geq \frac{3}{2} a h=\frac{3}{2} k^2, a h=k^2$.
Suy ra $(a+h)^2 \geq \frac{9}{2} k^2$.
Do đó $S \leq \frac{2}{9} k^2$. Đẳng thức xảy ra khi $a=2 h$ hay tam giác $A B C$ cân.
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ là $\frac{2}{9} k^2$ khi $A B=A C=k$.

Chú ý, nếu ta áp dụng Cauchy ngay chỗ $(a+h)^2 \geq 4ah$ thì đẳng thức không xảy ra, do đó đánh giá chưa đủ chặt chẽ.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn tìm vị trí điểm $M$ trong tam giác sao cho $MA + MB + MC$ nhỏ nhất.

Bài 2. Cho hình vuông $A B C D . M, N, P, Q$ là các đỉnh của tứ giác $M N P Q$ lần Iượt thuộc các cạnh $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}, \mathrm{DA}$ (MNPQ gọi là tứ giác nội tiếp hình vuông). Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Tìm vị trí của $M$ bên trong tam giác sao cho $MA \cdot BC + MB \cdot AC + MC \cdot AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC$ không đổi $BC = 2a$. Vẽ đường cao $AH$. Tìm giá trị lớn nhất của $BH + AH$.

Bài 5. Cho hình bình hành $ABCD$, một đường thẳng $d$ qua $A$ không cắt các cạnh của hình bình hành. Tìm vị trí của $d$ để tổng khoảng cách từ các đỉnh $B, C, D$ đến $d$ là lớn nhất.

Bài 6. Cho đoạn thẳng $A B=a$. $C$ là điểm trên đoạn thẳng $A B$. Vẽ các hình vuông $A C D E$ và $C B F G$. Xác định vị trí điểm $C$ để $S_{A C D E}+S_{C B F G}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải toán như … viết văn

Leave a reply


Mình đăng lại bài viết của bạn Nguyễn Tiến Hoàng gửi cho Tập san Star Education số 10.

Nếu bạn đang tự hỏi rằng tên bài viết này có nhầm lẫn gì không, thì không hề đâu, bạn đã đọc đúng rồi đấy. Trước khi bắt đầu đọc, hãy lưu ý rằng, bài viết này rất nhiều chữ.
Một trong những vấn đề muôn thuở của học sinh Việt Nam, theo quan sát của người viết bài, là một nỗi sợ vô hình đối với các bài toán tổ hợp trong bất kỳ một kỳ thi lớn hay nhỏ. Tổ hợp ở đây không giới hạn trong phạm vi các bài toán đếm mà mang một nét nghĩa rộng hơn thế, tập trung vào khả năng diễn giải và suy luận. Mỗi bài toán dù trong quá trình luyện tập tại nhà, hay là bước vào thực tế thi cử, đều là một vấn đề hoàn toàn mới lạ với các bạn học sinh. Thông thường có hai hình thức để xoay sở:


a) Giải càng nhiều bài tập càng tốt để thu nhận kinh nghiệm. Đây thực ra không phải điều xấu, nhưng việc lạm dụng quá đà sẽ khiến học sinh chỉ trông đợi vào việc gặp lại những thứ quen thuộc, và thậm chí biến tướng thành việc học thuộc lòng.
b) Tuỳ cơ ứng biến và tin tưởng vào trực giác của bản thân. Điều này cũng thú vị bởi xét cho cùng thì một bài toán trong một kỳ thi ở bậc trung học, dù thi gì đi nữa, cũng chỉ là một vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian ngắn, thành ra khả năng lớn là mỗi người sẽ tìm được một cách tiếp cận riêng mang tính sáng tạo. Thế nhưng trong một ngày xấu trời, sự nhạy bén không đồng hành, thì phải làm sao ?

Trong bài viết này, người viết muốn giới thiệu một hướng tiếp cận mang tính chất trung hoà và tập trung vào một khâu mà các bạn học sinh thường bỏ quên: phân tích bài toán. Các phân tích cẩn thận và rõ ràng để dần gỡ rối vấn đề được đặt ra đóng vai trò quan trọng tương tự như dàn ý trong việc viết văn. Điều này trở nên then chốt với các vấn đề phức tạp.
Sự phân tích nên tiến hành ra sao ? Bốn câu hỏi cơ bản sau nên được trả lời:
a) “Có gì ?” Bước đầu tiên không khác việc đọc hiểu là bao. Cần chú ý đến từng câu chữ dù là nhỏ nhất. Việc đọc kỹ các giả thiết được đưa ra giúp người giải toán hình dung được những đối tượng đã xuất hiện trong bài toán.
b) “Cần gì ?” Đây là bước giúp hiểu được yêu cầu của bài toán.
c) “Khó khăn gì ?” Bước này quan trọng nhất và đòi hỏi sự kiên nhẫn. Khi thực hiện cẩn thận hai bước đầu tiên, một số vấn đề sẽ phát sinh rất tự nhiên. Các đối tượng được đưa ra đã rõ ràng hay chưa ? Những giả thiết trong bài toán để làm gì ? Tại sao đề bài lại hỏi như thế ? Liệu các đối

tượng có liên kết gì với nhau ? Cấu trúc của từng thành phần hay cả tổng thể là thế nào ? Và còn nhiều thứ phải chú ý nữa.
d) “Giải quyết thế nào ?” Đây là việc trả lời các câu hỏi trên một cách trực tiếp. Việc đặt ra các câu hỏi tự nhiên trong bước trên sẽ giúp người giải toán nhận ra những gì cần thực hiện. Một nguyên tắc chung là, hãy phân tích và liên tục đặt câu hỏi để giảm sự phức tạp, đến khi mọi thứ có thể diễn giải được thật dễ hiểu. Việc gõ rối cần đi từ nội tại từng đối tượng (chẳng hạn như cấu trúc và tính chất của chúng), cho đến liên hệ giữa các đối tượng với nhau, để tránh bỏ sót thông tin quan trọng.


Trong những bài toán phức tạp gồm nhiều công đoạn, các bước trên sẽ phải thực hiện nhiều lần cho mỗi phần của bài toán. Việc tiếp cận có định hướng thế này, ban đầu có thể sẽ hơi tốn thời gian và mệt mỏi trong suy nghĩ, nhưng khi đã thành thạo thì cho thấy hiệu quả lớn, hơn nữa còn rèn luyện được khả năng giải quyết vấn đề một cách độc lập. Người viết bài đã liên tục sử dụng định hướng trên trong việc giảng dạy tại lớp Chuyên đề Toán 9 năm học 2022-2023 và nhận thấy hiệu quả tương đối rõ rệt.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng trong 39 số tư nhiên liên tiếp, luôn tìm được một số mà tổng các chứ số của nó chia hết cho 11.


Phân tích. Khi đọc kỹ bài toán, một số câu hỏi sau về các khó khăn là tự nhiên:
a) Tại sao đối tượng được quan tâm là tồng các chữ số ?
b) Dưới điều kiẹn gi thì tồng đó sẽ là bội của 11 ?
c) Tại sao phải cần 39 số tự nhiên liên tiếp? Như thế là ít hay nhiều?
Để đưa được một lập luận trực tiếp nhằm giải quyết các câu hỏi trên, nhìn chung là việc khó hình dung. Các yêu cầu trên có sự liên quan mật thiết với nhau, và hơn nữa tồng các chũ số là một đại lượng không quen thuộc cho lắm, nên một cách tiếp cận khả dũ là việc làm mọi thứ trở nên rõ ràng, từ tính chất của tổng các chữ số hay là quan hệ trong nội bộ của đối tượng, cho đến quan hệ giũa các đối tượng đã xuất hiện.
Một cách tìm hướng giải quyết là đưa ra ví dụ. Khi nhìn vào trường hợp đơn giản nhất cho 39 số tự nhiên liên tiếp chính là các số từ 1 đến 39, chúng ta có thề quan sát được sự biến động của tổng các chũ̃ số và khảo sát được tính chia hết cho 11. Có gì thú vị?

a) Dường như tồng các chư số là tăng dần, nhưng có lúc tổng đó sẽ bị giảm. Vậy khi nào tổng ấy tăng và khi nào tổng ấy giảm ? Quan sát kỹ sẽ thấy rằng: Khi bắt đầu từ số chia hết cho 10 , chẳng hạn là $10 x$ với $x \in \mathbb{Z}^{+}$, thì các số từ $10 x$ đến $10 x+9$ có tổng các chữ số là 10 số tự nhiên liên tiếp. Tổng các chũ số sẽ giảm khi ta “chuyển” tù̀ $10 x+9$ lên $10(x+1)$.
b) Việc chia hết cho 11, nếu nhìn lại ý đầu tiên, thì chúng ta nhận ra rằng vì đã có cách tạo ra 10 giá trị liên tiêp của tổng các chữ số, chỉ cần cố gắng “kéo dài” để tạo ra 11 giá trị liên tiếp của tổng đó thì bài toán sẽ được hoàn tất, bởi trong 11 số tự nhiên liên tiêpp, thế nào cũng có số chia hết cho 11. Do đó việc quan sát vị trí mà tổng các chũ số bị giảm trở nên quan trọng, và đại lượng đó sẽ giảm thế nào ?

  • Có vẻ nhu khi từ $10 x+9$ lên $10(x+1)$ thì tổng các chũ số sẽ giảm 9 đơn vị. Nếu được nhu thê, chúng ta chỉ cần lấy 20 số là $10 x, 10 x+1, \cdots, 10 x+19$ là xong, vì sẽ thu được 11 giá trị liên tiếp cho tổng các chữ sô.
  • Nhưng tại sao bài toán lại cần đến 39 số ? Nếu hình dung một bộ gồm 20 số liên tiếp, bắt đầu từ số chia hết cho 10, là ứng viên tiềm năng để giải quyết bài toán, thì chúng ta không cần đến 39 số để chắc chắn chọn được, mà cần quãng 30 số là đủ. Nghĩa là nhận xét về sự thay đổi được đưa ra phía trên có thể không đúng.
  • Vậy chúng ta tiếp tục kiểm tra khi nào nhận xét “giảm 9 đơn vị” đúng và khi nào điều đó sai, hay có thể tạm gọi là chú ý đến sự xuất hiện của những thứ “ngoài quy luật”. Thử với các giá trị tiếp theo của $x$, rất đáng chú ý khi nhận ra rằng, nhận xét sẽ sai khi có bước chuyển từ 99 lên 100, hay từ 199 lên 200,… Nói cách khác, miễn là $10(x+1)$ không chia hết cho 100 thì nhân xét đúng.

Có thể rút ra được gì từ các nhận định trên?
a) Nếu trong 39 số mà không có số nào chia hết cho 100, thi chọn được bộ 20 số liên tiếp từ $10 x$ đến $10 x+19$, mà có thể hoàn toàn yên tâm về tính “liên tiếp” của tổng các chưu số trong nhũ̃ng số đang được xét, và bài toán sê xong.
b) Lỡ nhu trong 39 số ban đầu, có số chia hết cho 100 thì sao ? Như đã chỉ ra, chúng ta chỉ cần 20 số có dạng $10 x$ đến $10 x+19$, mà trong chúng sẽ không có số nào chia hết cho 100. Có thể hiểu rằng số chia hết cho 100, mà tạm gọi là a, sê “phân đôi” 39 số mà bài toán cho thành 2 phần: một phần gồm các số từ a trở lên, và một phần gồm các số từ a-1 trở xuống. Vì ban đầu chúng ta có 39 số, theo Nguyên lý Dirichlet, phải có một phần được tạo ra gồm ít nhất 20 số.
Và thế là xong. Bây giờ chỉ là sắp xếp và viết lại các nhận định trên thành một lời giải ngắn gọn. Khi viết thành văn thì các suy luận trên có vẻ dài dòng, nhưng trên thực tế khi suy nghĩ, mọi thứ chỉ ở dạng ý tưởng, nên việc triển khai có thề diễn ra rất nhanh.

Chứng minh. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Trước hết chúng ta chứng minh rằng, với $x$ là số nguyên dương sao cho $100 \nmid 10(x+1)$, có một trong các số $10 x, 10 x+1, \cdots, 10 x+19$ có tổng các chữ số chia hết cho $11 .$. Thật vậy, đặt $S(10 x)=a$ thì với $0 \leq k \leq 9$, ta có $S(10 x+k)=a+k$ và $S(10 x+10+k)=$ $a+1+k$. Do đó tổng các chữ số nhận giá trị trong ${a, a+1, a+2, \cdots, a+10}$, là tập hợp gồm 11 số tự nhiên liên tiếp, và trong tập hợp đó có một giá trị chia hết cho 11 . Quay trở lại bài toán. Gọi 39 số tự nhiên của đề bài lần lượt là là $a, a+1, \cdots, a+38$. Xét các khả năng sau:

  • Trong 39 số này không có số nào là bội của 100. Bởi vì tập hợp ${a, a+1, \cdots, a+9}$ gồm 10 số tự nhiên liên tiếp, trong đó phải có một số chia hết cho 10. Khi đó tồn tại $0 \leq k \leq 9$ để $10 \mid a+k$. Xét các giá trị trong ${S(a+k), S(a+k+1), \cdots, S(a+$ $k+19)}$ thì theo nhận xét ở đầu bài toán, tồn tại một giá trị trong đó là bội của 11.
  • Tồn tại một giá trị $0 \leq k \leq 38$ để $100 \mid a+k$. Khi đó trong các số còn lại, không còn số nào chia hết cho 100 . Có hai khả năng sau:
  • Nếu $k \leq 18$, xét tập hợp ${S(a+k), S(a+k+1), \cdots, S(a+k+19)}$ thì theo nhận xét ở đầu bài toán, tồn tại một giá trị trong đó là bội của 11 .
  • Nếu $k \geq 19$, xét tập hợp ${S(a+k), S(a+k-1), \cdots, S(a+k-19)}$ thì theo nhận xét ở đầu bài toán, tồn tại một giá trị trong đó là bội của 11 .
    Tóm lại, trong 39 số tự nhiên liên tiếp, luôn có số mà tổng các chữ số là bội của 11.

Ví dụ trên cũng cho thấy được một hiện tượng rất thú vị và hầu như luôn đúng, đó là khi quá trình phân tích đủ cẩn thận, việc trình bày lời giải chỉ là một cách sắp xếp và viết ngược lại những ý tưởng chính trong mạch suy luận mà thôi. Để kết thúc bài toán này một cách trọn vẹn, bây giờ là một câu hỏi dành cho các bạn.
Ví dụ 2. Thay vì 39 số, chúng ta chỉ xét 38 số thôi. Liệu bài toán còn đúng không ?
Một gợi ý cho các bạn là hãy đọc lại thật cẩn thận từng bước suy luận, và xem vấn đề diền ra ở đâu. Chú ý rằng nếu như bài toán vần đúng, các bạn phải cung cấp một chứng minh, còn nếu kết quả trở nên sai thì hãy chỉ ra một phản ví dụ. Bây giờ chúng ta đến với một bài toán khác cũng tương đối cổ điển.

Ví dụ 3. Cho sáu số nguyên dương đôi một phân biệt và đều nhỏ hơn 10. Chứng minh rằng luôn tìm được ba số trong đó, mà có một số bằng tồng hai số còn lại.

Phân tích. Một số câu hỏi có thể được đặt ra:
a) Tại sao lại xét 6 số trong ${1,2, \cdots, 9}$ ?
b) Việc có một số bằng tổng hai số còn lại có ý nghĩa gì ? Số nào sẽ bằng tổng của hai số nào ? Khó khăn tại đây đến từ việc chúng ta không xác định được điều trên.
Mà nếu đã không xác định được rõ ràng mọi thứ ngay lập tức, thì tốt nhất là lấy ví dụ cu thể để quan sát thôi. Khi lấy thử một vài ví dụ đề khảo sát, dù có ít bộ ba số hay nhiều bộ ba số thoả mãn yêu cầu bài toán, luôn có một nhận xét quan trọng xuất hiện: tồn tại hai số có tổng bằng số lớn nhất.
Vậy từ đây một hướng đi khả dĩ là tìm hiểu xem số lớn nhất như thế nào, đồng thời làm thế nào có thề viết được số đó thành tổng của hai số tự nhiên phân biệt khác. Khi đã làm được điều đó, hãy xem các thông tin vừa nhận được liên hệ gì với giả thiết ban đầu, mà cụ thể là những số nào xuất hiện trong các cách phân tích thành tổng ấy. Thực ra cũng không quá nhiều trường hợp để giải quyết, vì số lớn nhất thì cũng phải không nhỏ hơn 6.

Chứng minh. Gọi 6 số đã cho là $1 \leq a_1<a_2<\cdots<a_6 \leq 9$. Theo giả thiết trên và đề bài thì $a_k \geq k$ với $1 \leq k \leq 6$. Xét các khả năng sau:

  • Nếu $a_6=9$ thì $1 \leq a_k \leq 8$ với $1 \leq k \leq 5$. Phân các số nguyên dương từ 1 đến 8 thành bốn tập hợp ${1,8},{2,7},{3,6},{4,5}$. Theo nguyên lý Dirichlet, trong các số từ $a_1$ đến $a_5$, có ít nhất hai số thuộc vào cùng một tập hợp. Tổng hai số đó bằng 9 , nên tồn tại $1 \leq i<j \leq 5$ để $a_i+a_j=9$.
  • Nếu $a_6=8$ thì $1 \leq a_k \leq 7$ với $1 \leq k \leq 5$. Phân các số nguyên dương từ 1 đến 8 thành bốn tập hợp ${1,7},{2,6},{3,5},{4}$. Theo nguyên lý Dirichlet, trong các số từ $a_1$ đến $a_5$, có ít nhất hai số thuộc vào cùng một tập hợp. Tổng hai số đó bằng 8 , nên tồn tại $1 \leq i<j \leq 5$ để $a_i+a_j=8$.
  • Nếu $a_6=7$ thì $1 \leq a_k \leq 6$ với $1 \leq k \leq 5$. Phân các số nguyên dương từ 1 đến 7 thành ba tập hợp ${1,6},{2,5},{3,4}$. Theo nguyên lý Dirichlet, trong các số từ $a_1$ đến $a_5$, có ít nhất hai số thuộc vào cùng một tập hợp. Tổng hai số đó bằng 7 , nên tồn tại $1 \leq i<j \leq 5$ để $a_i+a_j=7$.
  • Nếu $a_6=6$ thì $1 \leq a_k \leq 5$ với $1 \leq k \leq 5$. Phân các số nguyên dương từ 1 đến 5 thành ba tập hợp ${1,5},{2,4},{3}$. Theo nguyên lý Dirichlet, trong các số từ
  • $a_1$ đến $a_5$, có ít nhất hai số thuộc vào cùng một tập hợp. Tổng hai số đó bằng 6 , nên tồn tại $1 \leq i<j \leq 5$ để $a_i+a_j=6$.
  • Tóm lại thì luôn có hai số bằng tổng của số lớn nhất. Bài toán kết thúc.

Khai thác thêm bài toán này có thể thấy nhiều điều thú vị sau:
a) Câu hỏi đầu tiên vẫn chưa được giải quyết triệt để khi phân tích. Tuy nhiên, với trường hợp $a_6=9$, nhận thấy rằng việc chọn ra 6 số là để vừa đủ cho việc sử dụng Nguyên lý Dirichlet. Một câu hỏi tự nhiên là nếu bài toán chỉ xét 5 số thay vì 6 số, thì các lập luận sẽ biến đổi thế nào, và liệu kết luận của bài toán còn đúng ?
b) Phát biểu khác đi một chút, liệu số lượng số nhỏ nhất cần chọn để chắc chắn có một số bằng tổng hai số khác, là bao nhiêu? Hơn nữa thay vì giải quyết bài toán như trường hợp ban đầu, khi các số không lớn hơn 9 , điều gì sẽ xảy ra khi thay 9 bởi một số nguyên dương $n$ bất kỳ ? Liệu các câu hỏi tương tự có thể được giải quyết ?
Từ đó có thể thu được bài toán sau, xin dành cho các bạn tự luyện tập.
Ví dụ 4. Cho số nguyên dương $n \geq 3$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi cách chọn ra $k$ số nguyên dương đôi một phân biệt từ tập hợp ${1,2, \cdots, n}$, luôn chọn được ba số trong đó, mà có một số bằng tổng hai số kia.

Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương, chọn ra $n+1$ số từ tập hợp ${1,2, \cdots, 2 n}$.
a) Chứng minh rằng có hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng có hai số mà thương của chúng là số nguyên.
Phân tích. Một số câu hỏi có thể được đặt ra như sau:
a) Tại sao phải cần chọn ra $n+1$ số ?
b) Sự nguyên tố cùng nhau, và việc thương là số nguyên, có ý nghĩa số học gì ? Nếu định nghĩa một cách số học, thì hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng không có ước nguyên tố chung. Khi thử tiếp cận theo việc khảo sát các ước nguyên tố của $n+1$ số, mọi chuyện sẽ trở nên rất phức tạp vi chúng ta không biết những số nào được chọn ra, hơn nữa bài toán chỉ yêu cầu một sự tốn tại, nên nếu đi khảo sát toàn bộ cấu trúc của tập hợp ước nguyên tô, thì đó có vè là một yêu cầu quá sức. Hơn nũa, một vấn đề khác làm hướng tiếp cận này trở nên không khả thi, đó là trong bài toán không hề có dấu hiệu gì cho thấy nên tìm hiểu một cách chi tiết về các cấu trúc số $h o c$.
Do đó chúng ta sẽ thử một góc nhìn khác. Tập trung vào câu hỏi đầu tiên, một vấn đề được đặt ra nhu sau: nếu như chỉ lấy $n$ số thì sao? Có thể tìm ngay được phản ví dụ với việc chọn $n$ số chã̃n, thì hai số nào cũng có ước nguyên tố chung là 2. Vậy trong trường hợp tạm gọi là xấu nhất, thế nào cũng có ít nhất một số lẻ. Và liệu số lẻ này có vai trò và quan hệ thế nào với các số chã̃n, khi cần khảo sát sự nguyên tố cùng nhau?
Viết một vài trường hợp nhỏ, chúng ta nhận ra rằng khi số lẻ ấy được kết hợp với số liền trước hay số liền sau, thi sẽ tạo ra một cặp số nguyên tố cùng nhau. Từ đó một câu hỏi

nảy sinh: nếu như chọn $n+1$ số bất kỳ, thi liệu luôn có hai số tự nhiên liên tiếp ? Điều này có thể được kiểm chứng dễ dàng, nên ý đầu tiên của bài toán đến đây là hoàn thành. Sự kiện “chia hết” là một yếu tố khó kiểm soát. Bây giờ chẳng hạn như đã chọn trước một số nguyên dương a, các số chia hết cho a sẽ là ka, hoặc các ước của a thì luôn có dạng $a / k$. Vấn đề là, chúng ta không xác định được khi chọn ra $n+1$ số bất kỳ, sẽ có các số nào liên quan đến a xuất hiện, hơn nữa không chắc chắn việc thương của chúng liệu có phải số nguyên. Vậy thì chúng ta sẽ thử làm mạn đánh giá lên để khử được sự ngẫu nhiên ấy: nếu như chọn ra được một bộ càng nhiều số càng tốt mà liên quan đến a, đồng thời hai số nào trong đó cũng có thương là số nguyên, thì bộ số ấy chỉ nên được chọn tối đa một phần tử nhằm tránh việc chia hết.
Làm rõ ý tưởng này, chúng ta sẽ nhận ra $a, 2 a, 4 a, \cdots$ là lựa chọn tốt nhất có thể nếu xét các số tù̀ a trở lên. Khi chú ý đến các số tù̀ a trở xuống và hiệu chỉnh, lưa chọn phù hợp cho bộ số cần tìm chính là $a, 2 a, 4 a, \cdots$ với a là số lẻ. Có n bộ như thê, và thế là xong.

Chứng minh.
a) Chia tập hợp ${1,2, \cdots, 2 n}$ thành $n$ tập hợp ${2 k-1,2 k}$ với $1 \leq k \leq n$. Vì ban đầu có $n+1$ phần tử được chọn ra, theo Nguyên lý Dirichlet, phải có hai phần tử nào đó thuộc cùng một tập hợp con được nêu ra phía trên. Đây là hai số tự nhiên liên tiếp nên chúng nguyên tố cùng nhau.
b) Với $a$ là số lẻ và $1 \leq a \leq 2 n$, ta định nghĩa
$$
S_a=\left\{x \in \mathbb{Z}^{+}, 1 \leq x \leq 2 n \mid \exists k \in \mathbb{Z}^{+}: x=2^k a\right\}
$$
Mỗi số nguyên dương không vượt quá $2 n$ đều thuộc về một tập hợp $S_a$ nào đó. Có $n$ tập hợp như thế, mà ban đầu có $n+1$ số được chọn, nên Nguyên lý Dirichlet cho thấy rằng phải có hai số cùng nằm trong một tập hợp $S_a$ nào đó. Gọi hai số đó là $2^s a$ và $2^t a$ với $0 \leq s<t$ thì thương của chúng là $2^{t-s} a$, là một số nguyên.

Như thường lệ, bài toán chưa kết thúc ngay tại đây, mà chúng ta đặt ra thêm một vài quan sát nữa. Việc chọn $n+1$ số trong tập hợp ${1,2, \cdots, 2 n}$, như đã phân tích, là vừa đủ để vượt qua ngưỡng “lớn nhất” của sự kiện không có hai số nào nguyên tố cùng nhau. Một lẽ dĩ nhiên là chúng ta muốn xác lập một ngưỡng tương tự cho sự kiện chia hết: liệu có thể chọn được tối đa bao nhiêu sô, mà không có hai số nào có thương là số nguyên ?
Hơn nữa, nếu như kết hợp cả hai vấn đề, nghĩa là có thể chọn được tối đa bao nhiêu số để không có hai số nào nguyên tố cùng nhau và đồng thời không có hai số nào có thương là số nguyên, chúng ta thu được bài toán sau trong đề thi chọn Đội tuyển năm 2017 của Trường Phổ thông Năng khiếu để tham dự Kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán bậc THPT.

Ví dụ 6 (PTNK 2017). Xét tập hợp $S={1,2, \cdots, 2017}$. Liệu có thể chọn ra tôi đa bao nhiêu số nguyên dương từ $S$, sao cho không có hai số nào nguyên tố cùng nhau và đồng thời không có hai số nào có thương là số nguyên ?

Theo trí nhớ của người viết bài cũng tham dự kỳ thi năm ấy, không có thí sinh nào giải quyết được bài toán trên. Mặc dù vậy, khi phân tích kỹ, đặc biệt là về sự kiện chia
hết, các bạn có thể tìm được ngay đáp số và thậm chí là một ví dụ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Các bài toán trên đều minh hoạ cho một bước chuyển đổi quan trọng từ những phân tích dài dòng bằng chữ thành các suy diễn gãy gọn được diễn đạt bằng ký hiệu. Vì mỗi tình huống mỗi khác, điều quan trọng nhất vẫn là đọc thật kỹ những giả thiết được đưa ra và nắm chắc những yêu cầu cẩn thiết. Một điều tối kỵ là không được bịa ra thêm giả định vô căn cứ để ép vào mạch suy luận. Chúng ta kết thúc bằng một bài toán thú vị, mặc dù trông có vẻ nhiều khó khăn, và phương châm vẫn là… nghĩ đơn giản thôi

Ví dụ 7. Cho các số tự nhiên tù 1 đến 2023. Hỏi có thể chọn ra được nhiều nhất bao nhiêu số sao cho tổng của hai số bất kì trong chúng không chia hết cho hiệu của nó ?
Phân tích. Một số câu hỏi sau được đặt ra khi đọc kỹ đề bài.
a) Giả định chia hết của bài toán rất kỳ quặc. Có cách nào diễn đạt lại mọi thứ cho rồ ràng hơn hay không, và làm sao để khai thác được điều kiện ấy ?
b) Liệu có thể tìm được một ví dụ với tương đối nhiều số ?
Chúng ta tập trung giải quyết yêu cầu đầu tiên. Viết rõ lại bằng ký hiệu, đó là với $a>b$ là hai số nguyên dương phân biệt được chọn, ta phải có $a-b \nmid a+b$. Vì các số này được chọn bất kỳ và các biểu thức xuất hiện đẹ̀u là bậc nhất, việc tìm kiếm một quan hệ số học giũ̃a a và b chỉ bằng giả định trên là không khả thi. Nếu không tin, các bạn có thể thư!
Xoay sang câu hỏi thứ nhì. Thử tiếp cận vấn đề một cách tương đối ngây thơ như sau: cứ lần lượt bắt đầu tù số 1, liệu có thề lấy được những số nào tiểp theo? Dĩ nhiên không phải lúc nào việc xử lý vấn đè̀ theo cách tham lam cũng cho một kết quả tối u’u, nhung ít nhất vẫn có thêm định hướng và một vài quan sát hữu ích để hiệu chỉnh khi cần thiết.

  • Không lấy được số 2 và số 3, vì ảnh hưởng của số 1 .
  • Lấy được số 4. Cũng bởi thế mà không lấy được số 5 và số 6 .
  • Lấy được số 7, rồi lại bỏ qua số 8 và số 9. Cứ như thế…

Một quan sát về các số được thu nhận cho thấy chúng phải cách nhau ít nhất 3 đơn vị. Liệu điều này có luôn đúng ? Có thề quay về giả định của bài toán để kiểm tra.
Mọi thứ quy về việc chọn ra càng nhiều số càng tốt, mà hai số bất kỳ có hiệu từ 3 trở lên. Để chọn được nhiều số nhất, một lê dĩ nhiên là phải khởi đầu từ số nhỏ nhất, và các khoảng cách giữa các số cũng phải nhỏ nhất có thể. Bây giờ chỉ là xếp lại thành lời giải, và nhớ rằng vì đây là bài toán cực trị, hãy chỉ ra ví dụ.

Chứng minh. Gọi các số được chọn là $1 \leq a_1<a_2<\cdots<a_k \leq 2023$. Trước hết, ta chứng minh rằng với $1 \leq i \leq k-1$ thì $a_{i+1}-a_i \geq 3$. Thật vậy:

Nếu có chỉ số $1 \leq i \leq k-1$ để $a_{i+1}-a_i=1$ thì $a_{i+1}-a_i \mid a_{i+1}+a_i$, mâu thuẫn.

Nếu có chỉ số $1 \leq i \leq k-1$ để $a_{i+1}-a_i=2$ thì chú ý rằng $a_{i+1}+a_i=2 a_i+2$, ta cũng thu được $a_{i+1}-a_i \mid a_{i+1}+a_i$, lại là một mâu thuẫn.
Do đó nhận xét được chứng minh. Từ đó thì
$$
2023 \geq a_k \geq a_{k-1}+3 \geq a_{k-2}+3 \cdot 2 \geq \cdots \geq a_1+3(k-1) \geq 1+3(k-1)
$$
hay là $2022 \geq 3(k-1)$. Điều này cho thấy $k \leq 675$. Để chọn được 675 số thoả mãn yêu cầu bài toán, với $1 \leq i \leq 675$, chọn $a_i=3 i-2$. Thật vậy, với $1 \leq i<j \leq 675$ thì:

  • $a_j-a_i=3(j-i)$ là một bội của 3 ,
  • $a_j+a_i=3(j+i)-4$ không là một bội của 3 , nên ta luôn có $a_j-a_i \nmid a_j+a_i$. Vậy có thể chọn được tối đa 675 số nguyên dương đôi một phân biệt không vượt quá 2023 mà không có tổng hai số nào chia hết cho hiệu của chúng.

Hi vọng rằng những trình bày phía trên có thể giúp các bạn phần nào đó tự tin và vững vàng hơn trong việc suy luận để giải toán. Dưới đây là một số bài toán để luyện tập.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Xét bảng ô vuông $10 \times 10$. Mỗi ô vuông của bảng được điền một số nguyên tuỳ ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung một cạnh bất kì đều không vượt quá 1 . Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trên bảng ít nhất 6 lần.

Bài 2. Cho $A B C$ là một tam giác tuỳ ý. Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm màu đỏ có khoảng cách bằng 1, hoặc tồn tại một tam giác có ba đỉnh màu xanh mà đồng dạng với tam giác $A B C$.
Bài 3. Có 20 viên bi được xếp thành một hàng ngang trên bàn, trong đó có 10 viên bi màu xanh và 10 viên bi màu đỏ. Chứng minh rằng có thể chọn ra một bộ gồm 10 viên bi liên tiếp mà trong đó số viên bi màu xanh bằng số viên bi màu đỏ.

Bài 4. Cho $A={1,2,3, \cdots, 100}$. Lấy $S$ là tập hợp con của $A$ sao cho các tồng hai phần tử phân biệt bất kỳ của $S$ thì có các số du đôi một phân biệt khi chia cho 100. Chứng minh rằng $S$ có không quá 14 phần tử, và chỉ ra một tập hợp $S$ có 10 phần tử.
Bài 5. Có một bộ các quả cân có tính chất sau:
i) Trong bộ có ít nhất 5 quả cân có trọng lượng khác nhau.
ii) Với hai quả cân bất kỳ, tìm được hai quả cân khác có tồng trọng lượng bằng với tổng trọng lượng của hai quả cân đó.
Bộ quả cân này có ít nhất là bao nhiêu quả cân?
Bài 6. Chọn ra $k$ số nguyên dương phân biệt là ước của $6^{2023}$.
a) Chứng minh rằng nếu $k=5$ thì tồn tại hai số có tích là số chính phương.
b) Chứng minh rằng nếu $k=21$ thì tồn tại sáu số có tích là một luỹ thừa bậc 6.

Bài 7. Cho số nguyên dương $n \geq 2$. Chứng minh rằng khi chọn ra $n+2$ số nguyên dương từ tập hợp $S={1,2, \cdots, 3 n}$, luôn tồn tại hai số $x, y$ đề $n<x-y<2 n$.

Bài 8. Cho tập hợp $S={1,2, \cdots, 2023}$. Xét tập hợp con $T \subseteq S$. Nếu $T$ không chứa hai phần tử nào có hiệu trong $E$ thì có tối đa bao nhiêu phần tứ, với:
a) $E={3 ; 6 ; 9}$
b) $E={4 ; 7}$
Bài 9. Lớp $9 A$ có 6 học sinh tham gia kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán, và nhận được 6 điểm số khác nhau là các số tự nhiên không vượt quá 20. Gọi m là trung bình cộng các điểm số của 6 học sinh trên. Hai học sinh được gọi là lập thành một cạ̣p hoàn hảo nếu như trung bình cộng điểm số của hai em đó lớn hơn $m$.

a) Chứng minh rằng không thề chia 6 học sinh thành 3 cặp mà mỗi cặp đều hoàn hảo.
b) Trong 6 học sinh trên, có thể có nhiều nhất bao nhiêu cặp hoàn hảo ?
Bài 10. Có 8 kì thủ thi đấu giải cờ vua Candidates 2023 theo thể thức vòng tròn một lượt. Tại mỗi trận đấu phân định thắng thua, người thắng được 1 điểm còn người thua được 0 điểm; tại mỗi trận hòa thì mỗi người được 0.5 điểm.
a) Chứng minh rằng sau 3 vòng đầu tiên, luôn tìm được hai người có số điểm bằng nhau.
b) Giả sử rằng sau khi kết thúc giải, tất cả các kì thủ đều có số điểm khác nhau. Tìm số điểm ít nhất có thể của người chiến thắng.
c) Giải lại bài toán khi giải đấu diễn ra theo thể thức vòng tròn hai lượt.

Sử dụng phương pháp điểm trùng để chứng minh hình học

Leave a reply

Trong việc giải các bài toán hình học, có một kĩ thuật khá là đặc biệt và cũng thường được sử dụng đó là sử dụng điểm trùng, kĩ thuật này dựa trên sự xác định duy nhất của hình để thực hiện.

Tình huống thường gặp nhất, ta cần chứng minh tính chất hay sự tồn tại của một số đối tượng hình học, chẳng hạn như giao điểm của một số đường thẳng. Khi đó, gọi hai hay một số giao điểm (dĩ nhiên tồn tại) của một số cặp hay một số đối tượng. Sau đó, ta sẽ chứng minh các giao điểm (đối tượng) mà ta vừa dựng là trùng nhau. Đôi khi để thực hiện điều này, ta cũng cần gọi thêm một số đối tượng khác cùng đi qua điểm đang xét rồi xét sự đồng quy của chúng với các đối tượng gọi thêm nhằm có thêm tính chất của các điểm mà ta cần chứng minh trùng nhau.

Ta chú ý một số tính chất sau:

Định lý 1. Về giao điêm của các đối tượng hình học:

  1. Hai đường thẳng có nhiều nhất 1 giao điêm.
  2. Hai đường tròn có nhiều nhất 2 giao điểm.
  3. Một đường thẳng và một đường tròn có nhiều nhất 2 giao điểm.
  4. Một tia có gốc nằm trong đường tròn và đường tròn đó có nhiều nhât 1 giao điềm.

Sau đây ta xét một số ví dụ trong chương trình toán hình học lớp 9.

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, $C$ thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại $C$ cắt tiếp tuyến tại $A, B$ của $(O)$ tại $D, E$. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên $AB$.

a. $DB$ cắt $CH$ tại $N$. Chứng minh $A, N, E$ thẳng hàng.

b.Đường thẳng qua $A$ song song $HE$ và đường thẳng qua $B$ song song với $HD$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $D, M, E$ thẳng hàng.


a. $BC$ cắt $AD$ tại $F$, ta chứng minh được $D$ là trung điểm của $AF$.

Khi đó $\dfrac{CN}{DF} = \dfrac{PN}{PD} = \dfrac{HN}{AD}$.

Mà $AD = DF$, suy ra $CN = HN$ hay $N$ là trung điểm của $CH$.

Gọi $N’$ là giao điểm của $AE$ và $CH$, chứng minh tương tự ta cũng có $N’$ là trung điểm của $CH$. Do đó $N \equiv N’$ hay $A, N, E$ thẳng hàng.

b. Phân tích: vẽ hình chính xác và trực giác ta dự đoán được $M$ là trung điểm của $DE$, hơn nữa điểm $M$ là được xác định duy nhất do là giao điểm của 2 đường, do đó ta có thể gọi $M’$ là trung điểm và chứng minh $M’ \equiv M$ bằng cách chứng minh $AM’||HD$ và $BM’||HC$. Thực ra do vai trò như nhau nên chỉ cần chứng minh $AM’||HD$ là đủ.

Ta có $\dfrac{HA}{HB} = \dfrac{CD}{CE} = \dfrac{AD}{BE}$. Suy ra $\triangle AHD \backsim \triangle BHE$. Suy ra $\angle AHD = \angle BHE$

Suy ra $\angle KHA = \angle BHE = \angle AHD$. Từ đó ta có tam giác $HDK$ cân tại $H$ và $A$ là trung điểm $AD$.

Tam giác $DHE$ có $M’A$ là đường trung bình nên $AM’||EK$ hay $AM’||HE$.

Chứng minh tương tự ta có $BM’||HD$.

Vậy $M’ \equiv M$. Hay $D, M, E$ thẳng hàng.

Ví dụ 2. (LHP 2019) Cho tam giác đều $A B C$. Gọi $M, N$ là hai điểm nằm trên cạnh $B C$ sao cho $\angle M A N=30^{\circ}(M$ nằm giữa $B$ và $N)$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường tròn $(A B N)$ và $(A C M)(K$ khác $A)$. Chứng minh rằng hai điểm $K$ và $C$ đối xứng với nhau qua $A N$.

Lời giải

Việc chứng minh trực tiếp $K, C$ đối xứng qu $AN$ nhìn có vẻ dễ nhưng khi tìm cách chứng minh thì liên kết lại hơi khó, cảm giác như bị thiếu thiếu gì đó, ta phải vẽ thêm yếu tố phụ mới có thể làm được. Do đó ta nghĩ tới kĩ thuật điểm trùng, tức là dựng ra một điểm $K’$ đối xứng với $C$ qua $AN$ và chứng minh $K’$ là giao điểm của hai đường tròn.

Gọi $K$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A N$. Có
$$
\angle A K^{\prime} N=\angle A C N=\angle A B N
$$
nên tứ giác $A B K^{\prime} N$ nội tiếp. Suy ra $K^{\prime} \in(A B N)$. Có
$$
\angle M A K^{\prime}+\angle N A C=\angle M A K^{\prime}+\angle K^{\prime} A N=30^{\circ}
$$
$$
\angle B A M+\angle N A C=30^{\circ}
$$
suy ra $\angle M A K^{\prime}=\angle B A M$.
Suy ra $\triangle A B M=\triangle A K^{\prime} M(c-g-c)$ nên $\angle A K^{\prime} M=\angle A B C=\angle A C B$ ta thu được $K^{\prime} \in(A M C)$. Vậy $K \equiv K^{\prime}$ ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, có $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $AD$ là đường kính của $(O)$. Trên các cạnh $AB, AC$ lấy $E, F$ sao cho $AE = AF$ và $E, H, F$ thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt phân giác góc $\angle BAC$ tại $P$. Chứng minh $H, P, D$ thẳng hàng.

Lời giải

Gọi $P’$ là giao điểm phân giác góc $\angle BAC$ và $HD$. Ta chứng minh $P’ \equiv P$, hay cần chứng minh $AEPF$ nội tiếp.

Ta có tính chất quen thuộc $\angle HAB = \angle DAC$, nên $AP’$ cũng là phân giác $\angle HAD$.

Ta có $\angle AEF = \angle ABH + \angle EHB$, $\angle AFE = \angle ACH + \angle FHC$.

Mà $\angle ABH = \angle ACH$ và $\angle AEF = \angle AFE$ nên $\angle EHB = \angle FHC = \angle EHL$.

Do đó $HE$ là phân giác $\angle LHB$, suy ra $\dfrac{LE}{EB} = \dfrac{HL}{HB}$. (1)

Tam giác $AHL $ và tam giác $ADC$ đồng dạng, suy ra $\dfrac{HL}{CD} = \dfrac{AH}{AD}$.

Mà $CD = BH, \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{HP’}{P’D}$, suy ra $\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{HP’}{P’D}$. (2)

Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{LE}{EB} = \dfrac{HP’}{P’D}$, suy ra $P’E ||HL||BD$, suy ra $P’E \bot AB$.

Chứng minh tương tự ta có $P’F \bot AC$.

Do đó $AEP’F$ nội tiếp, suy ra $P’ \equiv P$. Hay $D, P, H$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. (PTNK 2022) Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H, D$ đối xứng với $H$ qua $A$. $I$ là trung điểm của $C D$, đường tròn $(I)$ đường kính $C D$ cắt $A B$ tại $E, F(E$ thuộc tia $A B)$
a) Chứng $\operatorname{minh} \angle E C D=\angle F C H$ và $A E=A F$.
b) Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle C E F$.
c) $B H$ cắt $A C$ tại $K$. Chứng minh $E F K H$ nội tiếp và $E F$ là tiếp tuyến chung của $(C K E)$ và $(C K F)$.
d) Chứng minh tiếp tuyến tại $C$ của $(I)$ và tiếp tuyến tại $K$ của $(K E F)$ cắt nhau trên đường thẳng $A B$.

Lời giải. Các câu a, b, c dành cho bạn đọc, ở đây mình trình bày lời giải cho câu d.

Lấy $N$ đối xứng với $K$ qua $A B$.
$$
\angle E N F=\angle E K F=\angle E H F=180^{\circ}-\angle E C F \Rightarrow N \in(I) \text {. }
$$
$A P=A K=A N \Rightarrow \angle K N P=90^{\circ} \Rightarrow N P | B C \Rightarrow E N P F$ là hình thang cân.
$\Rightarrow \angle E C N=\angle F C P \Rightarrow \triangle E C N \backsim \triangle A C F$ và $\triangle E C A \backsim \triangle N C F$.
$\Rightarrow \frac{N E}{A F}=\frac{E C}{A C}$ và $\frac{E A}{N F}=\frac{C A}{C F}$
$\Rightarrow \frac{N E}{E C}=\frac{A F}{A C}=\frac{A E}{A C}=\frac{N F}{C F}$
Tiếp tuyến tại $N$ và $C$ của $(I)$ cắt nhau tại $S, S F$ cắt $(I)$ tại $E^{\prime}\left(E^{\prime} \neq F\right)$
$\triangle S E^{\prime} N \backsim \triangle S N F \Rightarrow \frac{N E^{\prime}}{N F}=\frac{S E^{\prime}}{S N}$
$\triangle S E^{\prime} C \backsim \triangle S C F \Rightarrow \frac{E^{\prime} C}{C F}=\frac{S E^{\prime}}{S C}$
$\Rightarrow \frac{N E^{\prime}}{N F}=\frac{E^{\prime} C}{C F}$
Từ (1) và $(2)$ suy ra: $E \equiv E^{\prime}$
Mà tiếp tuyến tại $N$ của $(I)$ đối xứng với tiếp tuyến tại $K$ của $(E H F)$ qua $A B$ nên ta có đpcm.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài $(O)$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$, một cát tuyến qua $A$ cắt $(O)$ tại $D, E$ sao cho $D$ nằm giữa $A$ và $E$ và tia $AE$ nằm giữa hai tia $AB, AO$. Đường thẳng qua $D$ song song $BE$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $B$ qua $E$, chứng minh $A, P, K$ thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ đều, trên cạnh $AB, AC$ lấy $M,N$ thỏa $\dfrac{AM}{BM} + \dfrac{AN}{CN} = 1$. Chứng minh rằng $MN$ tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $A A_1, B B_1, C C_1$ và trực tâm $H$. Chúng minh rằng đường thẳng Euler của các tam giác $A B_1 C_1, B C_1 A_1, C A_1 B_1$ đồng quy.

Bài 4. (Nga 2017) Cho hình thang cân $ABCD$ có $BC < AD$ và $BC \parallel AD$. Đường tròn $w$ qua $B, C$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, đường chéo $BD$ tại $Y$. Tiếp tuyến tại $C$ của $w$ cắt $AD$ tại $Z$. Chứng minh $X, Y, Z$ thẳng hàng.

Cực trị hình học (Lớp 9)

Leave a reply

Bài toán cực trị hình học thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi tuyển sinh, đây là câu hỏi gây khó khăn cho nhiều bạn học sinh vì để giải bài toán cực trị đòi hỏi các kiến thức tổng hợp: bài toán quỹ tích, sử dụng các bất đẳng thức đại số,… ngoài ra cũng phải biết và vận dụng được một số bài toán cực trị cơ bản. Bài viết này giúp các em làm quen với các bài toán cực trị trong chương trình lớp 9, từ đó giúp ôn tập tốt hơn trong kì thi tuyển sinh sắp tới.

Cực trị hình học là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các đối tượng hình học như: các biểu thức về độ dài, diện tích, chu vi,…khi giá trị của các biểu thức này thay đổi.

Ta có một số chú ý sau khi giải bài toán cực trị hình học.

Chú ý 1. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P$. Ta thường làm theo các bước sau:

  • Chứng minh $P \leq M$ ( $M$ phải là giá trị không đổi).
  • Tìm điều kiện để xảy ra đẳng thức.
  • Kết luận.

Chú ý 2. Để chứng minh với mô hình $H$ có biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta có thể chọn mô hình $H^{\prime}$ bất kì với biểu thức tương ứng là $P^{\prime}$ và ta chứng minh $P \geq P^{\prime}$ (hoặc $P \leq P^{\prime}$ ).

Chú ý 3. Để làm các bài toán cực trị hay bất đẳng thức thường có hai hướng để suy nghĩ:

  • Đưa bài toán ban đầu về các bài toán cực trị quen thuộc đã biết cách giải.
  • Sử dụng các bất đẳng thức Đại số áp dụng lên các yếu tố Hình học.

Một số bài toán cực trị quan trọng.

Tính chất 1. (Đường xiên và hình chiếu) Cho điểm $A$ và đường thẳng $d, M$ là điểm thay đổi trên $d$. Khi đó, $A M$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$.

Tính chất 2. (Bất đẳng thức tam giác) Cho 3 điểm $A, B, C$.

  • $A B+B C \geq A C$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $B$ nằm giữa $A$ và $C$.
  • $|A C-A B| \leq B C$. Đẳng thức xảy ra khi $A, B, C$ thẳng hàng và $A$ nằm ngoài đoạn thẳng $B C$.

Tính chất 3. Trong một tam giác vuông thì độ dài đuờng cao xuất phát tù đỉnh góc vuông không lớn hơn nủa độ dài canh huyền.
Chứng minh
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$. Cần chứng minh $A H \leq \frac{1}{2} B C$.
Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ ta có $A M=\frac{1}{2} B C$.
Mà $A H \leq A M$. Suy ra $A H \leq \frac{1}{2} B C$.
Đẳng thức xảy ra khi $H \equiv M$ hay tam giác $A B C$ vuông cân.

Tính chất 4. Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $B C$ cố định. Tìm điểm $A$ thuộc cung lớn $\overparen{B C}$ sao cho
a) Chu vi tam giác ABC lớn nhất.
b) Diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Chứng minh
a) Trên tia đối của tia $A B$ lấy điểm $D$ sao cho $A D=A C \Rightarrow A B+A C=B D$. Hơn nữa $\angle B D C=\frac{1}{2} \angle B A C$ không đổi.
Suy ra $D$ thuộc cung chứa góc $\frac{1}{2} \angle B A C$ dựng trên đoạn $B C$.
Do đó $B D$ lớn nhất khi $B D$ là đường kính, lúc này $A$ là điểm chính giữa $\overparen{\mathrm{BC}}$.
Vậy chu vi tam giác $A B C$ lớn nhất $\Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa cung $B C$.
b) Vẽ đường cao $A H$, gọi $M$ là trung điểm $B C$.
Ta có $A H \leq A M \leq O A+O M$ không đổi.
Diện tích tam giác $A B C$ lớn nhất khi và chỉ khi $A H$ lớn nhất hay khi $H \equiv M$.
Lúc này $A$ là điểm chính giữa cung $B C$.
Vậy diện tích tam giác $A B C$ lớn nhất $\Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa $\overparen{\mathrm{BC}}$.

Tính chất 5. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Tìm $M$ thuộc (O) đề AM là lớn nhất, nhỏ nhất.
Chứng minh.
a) Ta có $A M \leq O A+O M$. Đẳng thức xảy ra khi $O$ nằm giữa $A, M$. Vậy $A M$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của tia đối tia $O A$ và $(O)$.
b) Tương tự như trên ta có $A M \geq O A-O M$. Đẳng thức xảy ra khi $M$ nằm giữa $O$ và $A$.
Vậy $A M$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của tia $O A$ và $(O)$.

Bất đẳng thức thường dùng. Cho các số $a, b, c$ không âm. Ta có các bất đẳng thức sau:

  • $a+b \geq 2 \sqrt{a b}$
  • $a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}(a+b)^2 \geq 2 a b$.
  • $a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}$
    $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}$
  • $a+b \leqslant \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}$.
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ có $\angle B A C=60^{\circ}$. M là điểm thay đổi trên cạnh $B C$.
Gọi $D$, E lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $A B, A C$. Tìm vị trí của $M$ đề $D E$ có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải.
Gọi $I$ là trung điểm $A M$.
Ta có $A D M E$ nội tiếp đường tròn $(I)$. Kẻ đường kính $D F$ của đường tròn $(I)$.
Xét tam giác $D F E$ vuông tại $E$.
Ta có $\angle D F E=\angle A D E=60^{\circ}($ cùng chắn $\overparen{\mathrm{DE}}$ ) $\Rightarrow \angle F D E=30^{\circ}$.
Suy ra $D E=D F \cos \widehat{D F E}=\frac{D F}{2}=\frac{A M}{2}$.
Do đó $D E$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $A M$ nhỏ nhất, hay $M$ là chân đường cao hạ từ $A$. Vậy $D E$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là chân đường cao từ $A$ của tam giác $A B C$.

Ví dụ 2. Cho đuờng tròn $(O)$ và dây cung $B C$ cố định. A là điểm thay đổi trên cung lơn BC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $A B C$.
a) Tìm vị trí của A để diện tích tam giác BIC là lớn nhất.
b) Tìm vị trí của A để AI lớn nhất.
Lời giải.
a) Ta có $\angle B A C \Rightarrow \angle B I C=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A$ không đổi. Do đó $I$ thuộc cung chứa góc $\alpha=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A$ dựng trên đoạn $B C$.
Khi đó diện tích tam giác $I B C$ lớn nhất khi và chỉ $I$ là điểm chính giữa cung, hay $A$ là điểm chính giữa cung $B C$.
b) $A I$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A, D$ là điểm chính giữa cung $B C$. Ta có $D I=D C$ không đổi.
Ta có $A I=D A-D I$, do đó $A I$ lớn nhất khi và chỉ khi $D A$ lớn nhất, hay $D A$ là đường kính, khi đó $A$ là điểm chính giữa cung $B C$.
Vậy $A I$ lớn nhất khi và chỉ khi $A$ là điểm chính giữa cung $B C$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn w. P là một điểm thay đổi thuộc cung BC không chúa A. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của A trên $P B, P C$. Tìm vi trí của $P$ để
a) Độ dài đoạn thẳng HK là lớn nhất.
b) Giá trị biểu thúc $A H \cdot P B+A K \cdot P C$ là lớn nhất.
Lời giải.
a) Ta có $\triangle A H B \backsim \triangle A K C \Rightarrow \triangle A H K \sim \triangle A B C$.
Suy ra $\frac{H K}{B C}=\frac{A H}{A B} \leqslant 1$. Do đó $K H \leqslant B C$.
Đẳng thức xảy ra khi $H \equiv B$ hay $A P$ là đường kính.
Vậy $K H$ lớn nhất bằng $B C$ khi $A P$ là đường kính.
b)
$$
\text { Ta có: } \begin{aligned}
A H \cdot P B+A K \cdot P C & =2 S_{A P B}+2 S_{A P C} \
& =2 S_{A B P C} \
& =2\left(S_{A B C}+S_{P B C}\right)
\end{aligned}
$$
Suy ra $A H \cdot P B+A K \cdot P C$ lớn nhất khi và chỉ khi $S_{P B C}$ lớn nhất, hay $P$ là điểm chính giữa cung $B C$.
Vậy $A H \cdot P B=A K \cdot P C$ lớn nhất khi $P$ là điểm chính giữa cung $B C$.

Ví dụ 4. (Thi vào lớp 10 Chuyên Toán trường Chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa năm 2010) Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R=1$ và điểm $A$ thỏa $O A=\sqrt{2}$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $A B, A C$ với $B, C$ là các tiếp điểm. Các điểm $D, E$ thay đổi trên các đoạn $A B, A C$ sao cho $\angle D O E=45^{\circ}$.
(a) Chứng minh $D E$ tiếp xúc với $(O)$.
(b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $DE$.
Hướng dẫn giải
(a) Ta chứng minh được $A B O C$ là hình vuông. Đường thẳng qua $O$ vuông góc $O D$ cắt $A C$ tại $F$, suy ra $\angle D O E=\angle F O E$.
Ta có $\triangle O B D=\triangle O C F \Rightarrow C F=B D, O F=O D$.
Khi đó $\triangle O E F=\triangle O E D \Rightarrow \angle O E F=\angle O E D$, vẽ $O H \perp D E$, suy ra $O H=O C$, do đó $D E$ là tiếp tuyến của $(O)$.
(b) Ta có $E H=C E, B D=D B$, suy ra $A E+A D+D E=A B+A C=2$.
Đặt $x=A D, y=A E$, suy ra $D E=\sqrt{x^2+y^2}$ và $x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2$.
Ta có $\sqrt{x^2+y^2} \leq x+y \leq \sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}$, suy ra $2 \sqrt{x^2+y^2} \leq x+y+\sqrt{x^2+y^2} \leq(1+$ $\sqrt{2}) \sqrt{x^2+y^2}$, từ đó suy ra $2-\sqrt{2} \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq 1$ hay $2-\sqrt{2} \leq D E \leq 1$.

Từ đó $DE$ lớn nhất bằng 1 khi D trùng B, nhỏ nhất là $2 – \sqrt{2}$ khi $AD = AE$.

Ví dụ 5. Cho nửa đường tròn đường kính $BC=2a$, $A$ thay đổi trên nửa đường tròn. Đường cao $AH$.

a) Tìm giá trị lớn nhất của $BH + AH$.

b) Phân giác góc $BAH, CAH$ cắt $BC$ tại $MN$. Tìm vị giá trị lớn nhất của $MN$.

Lời giải.

a) Rõ ràng $BH + AH$ lớn nhất chỉ khi $H$ thuộc đoạn $OC$ vì nếu $H$ thuộc đoạn $BC$ ta lấy $A’$ đối xứng với $A$ qua trung trực $BC$ ta sẽ có $A’H + BH’ > AH+BH$.

Khi đó $BH + AH = BO + OH + AH$ = a + OH + AH$.

Mà $OH + AH \leq \sqrt{2(OH^2+AH^2)} = a\sqrt{2}$

Do đó $AH + BH \leq a + a\sqrt{2}$, đẳng thức xảy ra khi $AH = OH$ và $H$ là trung điểm $OC$.

Vậy giá trị lớn nhất của $BH+AH$ là $a+a\sqrt{2}$ khi $H$ là trung điểm $OC$.

b) Ta có $\angle BAN = \angle BAH + \angle HAN = \angle ACB + \angle CAN = \angle BNA$, suy ra $BN = BA$

Chứng minh tương tự thì $CM = AC$

Khi đó $MN = BN +CM – BC = AB + AC – BC \leq \sqrt{2{AB^2+AC^2}} – BC = 2a(\sqrt{2}-1)$.

Do đó $MN$ lớn nhất là $2a(\sqrt{2}-1)$ khi $AB = AC$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), A B<A C$. Phân giác trong $\angle B A C$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Trên tia $A B$ lấy $M$ tuỳ ý sao cho đường tròn ngoại tiếp $\triangle A D M$ cắt $A C$ tại $N$ khác $A, C$. Xác định vị trí tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp $\triangle A D M$ để độ dài đoạn thẳng $M N$ nhỏ nhất.

Bài 2. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $B C, A$ là điểm di động trên đường tròn $(O)$ ( $A$ khác $B, C)$. Kẻ $A H \perp B C$ tại $H$. Kẻ $H P \perp A B$ tại $P$. Tìm vị trí điểm $A$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle B P C$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3. Cho $\triangle A B C$ vuông tại $A$ có $A B<A C$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$.
Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $A B, A C, B C$. $M$ là điểm di động trên đoạn $C E$. Gọi $N$ là giao điểm của $B M$ với cung nhỏ $E F$ của $(O)$. Các điểm $P, Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $D E, D F$. Xác định vị trí điểm $M$ để độ dài $P Q$ lớn nhất.

Bài 4. Cho 3 đường tròn có tâm thẳng hàng và ngoài nhau, đường tròn thứ tư tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn trên. Chứng minh rằng bán kính đường tròn thứ tư lớn hơn bán kính của một trong ba đường tròn kia.

Bài 5. (Đề thi Olympic 30-4 năm 2000)Trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ cho năm điểm phân biệt $A, B, C, D, E$ theo thứ tự đó sao cho $A B=B C=D E=R$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $C D$ và $A E$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của chu vi tam giác $B M N$.

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA CỦA CÁC TỈNH, THÀNH

Leave a reply

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2008 – 2009 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2009 – 2010 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK 2010 – 2011 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2011 – 2012 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2013 – 2014 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2014 – 2015 – Toán Việt (toanviet.net)

Đáp án thi chọn đội tuyển Toán trường PTNK năm 2015 – Toán Việt (toanviet.net)

Đáp án đề thi chọn đội tuyển trường Phổ thông Năng khiếu thi HSG QG năm 2016 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2017 – 2018 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2018 – 2019 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG QUỐC GIA CỦA TRƯỜNG PTNK NĂM 2019 – 2020 – Toán Việt (toanviet.net)

Đáp án đề thi chọn đội tuyển trường PTNK năm 2020 – Toán Việt (toanviet.net)

Đề thi và đáp án chọn đội tuyển toán trường PTNK năm 2021 – Toán Việt (toanviet.net)

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CÁC TỈNH THÀNH KHÁC