Quy tắc cộng, quy tắc nhân

Leave a reply

I. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng

  • Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có $n$ cách thực hiện phương án A và $m$ cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n+m$ cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong $k$ phương án $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện phương án $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện phương án $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện phương án $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1+n_2+…+n_k$ cách.

Ví dụ 1. Một hộp đựng 8 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh lá. Bạn Khoa muốn chọn một viên bi để chơi, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Để chọn 1 viên bi ta có thể chọn:

  • Bi trắng: có 8 cách chọn.

  • Bi đỏ: có 5 cách chọn.

  • Bi xanh lá: có 6 cách chọn.

Nên tổng cộng có: 8+5+6=19 cách chọn.

2. Quy tắc nhân

  • Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo $n$ cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo $m$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $m.n$ cách.
  • Tổng quát: “Giả sử một công việc nào đó gồm $k$ công đoạn $A_{1},A_{2},…,A_{k}.$ Có $n_{1}$ cách thực hiện công đoạn $A_{1}$, $n_{2}$ cách thực hiện công đoạn $A_{2},$…, và $n_{k}$ cách thực hiện công đoạn $A_{k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_1.n_2…n_k$ cách.

Ví dụ 2. Trong một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đôi song ca nam nữ?

Để chọn 1 đôi nam nữ, ta phải chọn ra 1 bạn nữ, rồi chọn 1 bạn nam.

  • Để chọn 1 bạn nữ có 6 cách chọn.

  • Chọn 1 bạn nam có 8 cách chọn.

Nên có 6.8=48 cách chọn.

II. Bài tập

1.Từ tập $A=\left{2,3,4,5,6\right}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số phân biệt và thỏa mãn:

a) Bắt đầu bằng số 3.

b) Không bắt đầu bằng số 2.

c) Chia hết cho 5.

d) Có hai chữ số 4 và 5 đứng gần nhau.

  1. Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số:

a) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

b) Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

c) Có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.

  1. Có hai dãy ghế, mỗi dạy có 5 ghế hướng vào nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam, 5 bạn nữ ngồi vào đó thoả:

a) Sắp xếp bất kì.

b) Đối diện một bạn nam và một bạn nữ.

  1. Có bao nhiêu bộ số $(a,b, c)$ thoả $a, b, c \in {1, 2, …, 50}$ và $a<b, a<c$.

  2. Từ tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ có thể lập được bao nhiêu số không lớn hơn 3000 và có các chữ số khác nhau.

 

 

 

Hoán vị

Leave a reply

I. Lí thuyết

  • Cho tập hợp $A$ có $n (n \ge 1)$ phần tử. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A$ (gọi tắt là một hoán vị của $A$).
  • Số các hoán vị của một tập gồm $n$ phần tử là: $$ P_{n}=n!=n(n-1)(n-2)…2.1 $$
  • Qui ước: $0!=1.$

Ví dụ 1. Từ tập hợp $X=\left\{1,2,3,4,5\right\}$, ta có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một?

Đáp số

Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$, ta thấy số cần tìm là một hoán vị của các phần tử của $X$, vậy số cách chọn là: $P_5=5!=120$.

Ví dụ 2. Có 7 quyển sách Toán, 6 quyển sách Lí và 4 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ sách dài, sao cho:

a) Các quyển sách được xếp tùy ý.

b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau.

Đáp số

a) Mỗi cách xếp tùy ý là một hoán vị của 17 phần tử. Vậy số cách chọn là $17!$.

b) Ta chia thao tác xếp thỏa mãn yêu cầu thành 4 công đoạn:

Bước 1: Hoán vị 7 quyển sách Toán với nhau.

Bước 2: Hoán vị 6 quyển sách Lí với nhau.

Bước 3: Hoán vị 4  quyển sách Hóa với nhau.

Bước 4: Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau.

Vậy số cách xếp là: $7!.6!.4!.3!$

II. Bài tập

1.Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách nếu:

a) Nam, nữ xếp tùy ý.

b) Nam 1 dãy, nữ 1 dãy.

2. Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 4 dãy ghế, mỗi dãy 5 học sinh. Có bao nhiêu cách xếp cách học sinh cùng lớp ngồi nối đuôi nhau. Bao nhiêu cách xếp học sinh ngồi cạch nhau thì khác lớp

3. Xét tập hợp các số tự nhiên

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và các chữ số đều lớn hơn 5.

b) Tính tổng tất cả các số đó.

Đáp số
  1. a) $10!$, b) $2.5!.5!$
  2. $2(10!)^2$
  3. a) $24$, b) $199980$.

 

 

 

Trục căn thức ở mẫu

Leave a reply

Tính chất: Trục căn thức ở mẫu:

  • $\dfrac{1}{\sqrt A}=\dfrac {\sqrt A}{A}$.
  • $\dfrac {1}{\sqrt A-\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A+\sqrt B}{A-B}$.
  • $\dfrac {1}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac {\sqrt A-\sqrt B}{A-B}$.

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}$.

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}$.

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}$.

Giải

a) $\dfrac {12\sqrt 2}{5\sqrt 3}=\dfrac {12 \sqrt 2 \sqrt 3}{5.3}=\dfrac {4\sqrt 6}{5}$

b) $\dfrac {3}{\sqrt 5-\sqrt 2}=\dfrac{{3\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}=\dfrac {3\left (\sqrt 5+\sqrt 2 \right ) }{5-2}=\sqrt 5+\sqrt 2$

c) $\dfrac {3+\sqrt 3}{1+\sqrt 2}+\dfrac {2+\sqrt 2}{2-\sqrt 2}=\dfrac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}$

$=\dfrac{{3\sqrt 2 – 3 + \sqrt 6 – \sqrt 3 }}{{2 – 1}} + \dfrac{{6 + 4\sqrt 2 }}{{4 – 2}}$

$=3\sqrt 2 – 3 +\sqrt 6 – \sqrt 3 + 3 + 2\sqrt 2 =5\sqrt 2-\sqrt 3+\sqrt 6$

Bài tập:

Bài 1:  Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{7}{\sqrt 3 }$; $\dfrac{3}{2\sqrt 5 }$; $\dfrac{5}{3\sqrt {12} }$; $\dfrac{2}{3\sqrt {20} }$.

b)$\dfrac{\sqrt 3 + 3}{5\sqrt 3 }$; $\dfrac{7 – \sqrt 7 }{\sqrt 7 – 1}$; $\dfrac{2}{\sqrt 5 + \sqrt 3 }$; $\dfrac{\sqrt 5 + 2}{\sqrt 5 – 2}$.

c) $\dfrac{y + a\sqrt y }{a\sqrt y }$; $\dfrac{b – \sqrt b }{\sqrt b – 1}$; $\dfrac{b}{5 + \sqrt b }$; $\dfrac{p}{2\sqrt p – 1}$.

Bài 2: Tính:

a) $\dfrac{1}{{2 – \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2 + \sqrt 5 }}$.

b) $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} – 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $.

c) $\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 – \sqrt 3 }} – \dfrac{{2 – \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{2}{{\sqrt 3 – 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 – 2}} + \dfrac{{12}}{{3 – \sqrt 3 }}$.

Bài 3: Rút gọn:

a) $\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} – \dfrac{{2\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 2}}$.

b) $\dfrac{{5\sqrt 2 – 2\sqrt 5 }}{{\sqrt {10} }} – \dfrac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}$.

c) $\dfrac{{\sqrt {15} – \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 – 2}} – \dfrac{1}{{2 – \sqrt 3 }}$.

d) $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} – 1}} – \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\sqrt 2 + 1} + 1}}$.

 

Khai phương một biểu thức

Leave a reply

Tính chất 1: Với mọi $A$ ta có hằng đẳng thức:

$\sqrt {A^2}=\left| A \right| $

Ví dụ 1: Tính:

a) $\sqrt {(-7)^2}$.

b) $\sqrt {\left ( \sqrt 5 -2 \right )^2}$.

c)$\sqrt {\left ( 3-2\sqrt 3 \right )^2}$.

Giải

a) $\sqrt {(-7)^2}=\left | -7 \right |=7$.

b) $\sqrt {\left ( \sqrt 5 -2 \right )^2}=\left | \sqrt 5 -2 \right |=\sqrt 5-2$.

c) $\sqrt {\left ( 3-2\sqrt 3 \right )^2}=\left | 3-2\sqrt 3 \right |=2\sqrt 3-3$.

Ví dụ 2: Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {4-2\sqrt 3}$, $\sqrt {4+2\sqrt 3}$.

b) $\sqrt {7+2\sqrt 6}$, $\sqrt {13-2\sqrt {12}}$.

Giải

a) $\sqrt {4-2\sqrt 3}=\sqrt {3-2\sqrt 3+1}=\sqrt {\left ( \sqrt 3-1 \right )^2}=\left | \sqrt 3-1 \right
|=\sqrt 3-1$.

$\sqrt {4+2\sqrt 3}=\sqrt {3+2\sqrt 3+1}=\sqrt {\left ( \sqrt 3 +1 \right )^2}=\left | \sqrt 3+1 \right |=\sqrt 3+1$.

b) $\sqrt {7+2\sqrt 6}=\sqrt {6+2\sqrt 6+1}=\sqrt {\left ( \sqrt 6+1 \right )^2}=\left | \sqrt 6+1 \right |=\sqrt 6+1$.

$\sqrt {13-2\sqrt {12}}=\sqrt {12-2\sqrt {12}+1}=\sqrt {\left ( \sqrt {12}-1 \right )^2}=\left | \sqrt {12}-1\right |=\sqrt {12} -1$.

Tính chất 2: Cho $A$, $B$ là các số không âm. Khi đó ta có các đẳng thức sau:

  • $\sqrt {AB}=\sqrt A \sqrt B$.
  • $\sqrt {\dfrac{A}{B} }=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}$ $(B>0)$.
  • $\sqrt {A^2B}=\left | A \right | \sqrt B$.

Ví dụ 3:  Tính:

a) $\sqrt {25.169}$.

b) $\sqrt {\dfrac {49}{81} }$.

c) $\sqrt {\dfrac {0,16.0,49}{1,21} }$.

Giải

a) $\sqrt {25.169}=\sqrt {25} .\sqrt {169}=5.13=65$

b) $\sqrt {\dfrac {49}{81} }=\dfrac{\sqrt {49}}{\sqrt {81}}=\dfrac{7}{8}$

c) $\sqrt {\dfrac {0,16.0,49}{1,21} }=\dfrac{\sqrt {0,16.0,49}}{\sqrt {1,21}}=\dfrac{\sqrt {0,16}.\sqrt {0,49}}{\sqrt {1,21}}=\dfrac{0,4.0,7}{1.1}=\dfrac{14}{55}$.

Bài tập:

Bài 1:  Rút gọn các biểu thức sau:

a) $3\sqrt 8-4\sqrt {18} $.

b) $\sqrt {125} -2\sqrt {20} -3\sqrt {80}$.

c) $\sqrt {48} -4\sqrt {27} -2\sqrt {75} +\sqrt {108}$.

Bài 2:  Thực hiện các phép tính:

a) $A=\left ( \sqrt 2-1\right )^2+\left ( \sqrt 2+3 \right )^2$.

b) $B=\left (\sqrt 3+2\sqrt 2 \right )^2-\left ( \sqrt 3-\sqrt 2 \right )^2$.

c) $C=\left ( \sqrt 2 +1 \right )^3-\left ( \sqrt 2 -2 \right )^3$.

d) $D=\left ( \sqrt 2 -\sqrt 3 \right )\left ( \sqrt 6+1 \right )-\sqrt 2 \left ( \sqrt 6+3\sqrt 2 \right )$.

Bài 3:  Khai căn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {12+2\sqrt {35}}$, $\sqrt {18-2\sqrt  {65}}$.

b) $\sqrt {16+6\sqrt 7}$, $\sqrt {14-6\sqrt 5}$.

c) $\sqrt {27+10\sqrt 2}$, $\sqrt {9+4\sqrt 5}$.

d) $\sqrt {21-2\sqrt {108}}$, $\sqrt {17-2\sqrt {72}}$.

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {x+2\sqrt {x-1}}-\sqrt {x-2\sqrt {x-1}}$  với $x \ge 2$.

b) $\sqrt {2m+2\sqrt {2m-1}}-\sqrt {2m-2\sqrt {2m-1}}$.

c) $\sqrt {x+3+4\sqrt {x-1}}+\sqrt {x+8-6\sqrt {x-1}}$.

 

Căn bậc hai

Leave a reply

Định nghĩa 1: Căn bậc hai của số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2=a$.

Ví dụ 1: 

a) Căn bậc hai của $9$ là $3$ và $-3$.

b) Căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.

c) Căn bậc hai của $0$ là $0$.

Định nghĩa 2: Căn bậc hai số học của số không âm $a$ là số $x$ không âm thỏa $x^2=a$.

Kí hiệu $x=\sqrt a$.

Ví dụ 2:

a) $\sqrt 4=2$.

b) $\sqrt {36}=6$.

Tính chất 1: Với $a\ge 0$ thì:

  • $x=\sqrt a$ thì $x\ge 0$ và $x^2=a$. Hay $\sqrt a\ge 0$ và $\left (\sqrt a \right )^2=a$.
  • Nếu $x \ge 0$ và $x^2=a$ thì $x= \sqrt a$.

Tính chất 2: Cho $a$, $b$ là các số không âm. Khi đó $a<b \Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$

Ví dụ 3: So sánh các số:

a) $1$ và $\sqrt 2$.

b) $2$ và $\sqrt 5$.

c) $17$ và $\sqrt {290}$.

Giải

a) Ta có: $1<2 \Leftrightarrow 1<\sqrt 2$.

b) Ta có: $4<5 \Leftrightarrow 2<\sqrt 5$.

c) Ta có: $289<290 \Leftrightarrow 17<\sqrt {290}$.

Ví dụ 4: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa:

a) $\sqrt x <2$.

b) $2<\sqrt x <4$.

Giải

a) Ta có:  Điều kiện $x \geq 0$, từ giả thiết $\sqrt x <2 \Leftrightarrow x<4$.

Do $x$ là số tự nhiên nên $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.

b) Ta có: $2< \sqrt x \Leftrightarrow 4<x$ và $\sqrt x <4 \Leftrightarrow x<16$

Vậy $4<x<16$ Do $x$ tự nhiên nên $x$ là các số tự nhiên từ 5 đến 15.

Ví dụ 5. Một hình vuông có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài lần lượt là $4$ và $9$. So sánh chu vi của hình vuông và hình chữ nhật.

Giải

Gọi $x$ là độ dài cạnh của hình vuông ($x>0$).
Vậy diện tích hình vuông là $S_v=x^2$.
Diện tích hình chữ nhật là $S_{hcn}=4\cdot 9=36$.
Mà $S_v=S_{hcn}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=\sqrt{36}=6$ hoặc $x=-\sqrt{36}=-6$. Do $x>0$ nên $x=6$.
Ta có chu vi hình vuông là $P_v=4\cdot x=4\cdot 6=24$.
Ta có chu vi hình chữ nhật là $P_{hcn}=2\cdot (9+4)=2\cdot 13=26$.
Vậy chu vi hình chữ nhật lớn hơn hình vuông.

Định nghĩa 3: Nếu $A$ là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của $A$, $A$ còn được gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Biểu thức $\sqrt A$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.

Ví dụ 6. Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định.

a) $\sqrt {2x-1}$.

b) $\sqrt{4-3x}$.

c)$\sqrt {x^2}$.

Giải

a) $2x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

b) $4-3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac {4}{3}$

c) $x^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi $x$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng các biểu thức sau xác định với mọi $x$.

a) $\sqrt {x^2+4}$.

b) $\sqrt {x^2-4x+4}$.

c) $\sqrt {2x^2-4x+3}$.

Giải

a) Ta có: $x^2+4 \ge 0$ với mọi $x$ .

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

b) Ta có: $x^2-4x+4=\left ( x-2 \right ) ^2 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

c) Ta có: $2x^2-4x+3=2\left ( x^2-2x+1 \right )+1=2\left (x-1 \right )^2+1 \ge 0$ với mọi $x$.

Vậy biểu thức xác định với mọi $x$.

Bài tập: 

Bài 1: Tính :

a) $\sqrt {81}$.

b) $\sqrt {225}$.

c) $\sqrt {0,49}$.

d) $\sqrt {12^2+5^2}$.

e) $-0,25\sqrt {(-0,4)^2}$.

Bài 2:  So sánh các căn sau:

a) $\sqrt {20}$ và $2\sqrt 5$.

b) $2\sqrt 3$ và $3\sqrt 2$.

c) $-7\sqrt 3$ và $-2\sqrt {10}$.

d) $\sqrt 3 -3\sqrt 2$ và $-4\sqrt 3 +5\sqrt 2$.

e) $2+\sqrt 2$ và $5-\sqrt 3$.

Bài 3:  Tìm điều kiện của $x$ để các biểu thức sau xác định:

a) $\sqrt {3x-2}$.

b) $\sqrt {4x^2-20x+25}$.

c) $\sqrt {\dfrac {-5}{9-5x}}$.

d) $\sqrt {x^2-4}$.

Bài 4: Tìm $x$ không âm, biết:

a) $\sqrt x=3$.

b) $\sqrt x +2=7$.

c) $\sqrt {x+1} -1=4$.

d) $\sqrt {x-1} =\sqrt {13}$.

 

 

 

 

Phân tích thành nhân tử- Phương pháp nhóm hạng tử

Leave a reply

Cách thực hiện: Nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để có thể đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức.

Các ví dụ:

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ x^2 -xy + x – y$
b) $ xz + yz – 5(x+y) $
c) $ 3x^2 – 3xy – 5x + 5y$
d) $ x^2 + 4x – y^2 +4 $

Giải

a) $ x^2 -xy + x – y=x(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+1) $
b) $ xz + yz – 5(x+y)=z(x+y)-5(x+y)=(x+y)(z-5) $
c) $ 3x^2 – 3xy – 5x + 5y=(3x^2-3xy)-(5x-5y)$

$=3x(x-y)-5(x-y)=(x-y)(3x-5)$
d) $ x^2 + 4x – y^2 +4=(x^2+4x+4)-y^2$

$=(x+2)^2-y^2=(x+2-y)(x+2+y) $

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ x^2 -x -y^2 -y$
b) $ x^2 -2xy + y^2 -z^2$
c) $ 5x-5y +ax -ay $
d) $ a^3 -a^2x -ay +xy$

 

Giải

a) $ x^2 -x -y^2 -y=(x^2-y^2)-(x+y)$

$=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)$
b) $ x^2 -2xy + y^2 -z^2=(x^2-2xy+y^2)-z^2$

$=(x-y)^2-z^2=(x-y-z)(z-y+z) $
c) $ 5x-5y +ax -ay=(5x-5y) +(ax -ay)$

$=5(x-y)+a(x-y)=(x-y)(a+5) $
d) $ a^3 -a^2x -ay +xy= (a^3 -a^2x) -(ay -xy)$

$=a^2(a-x)-y(a-x)=(a-x)(a^2-y)$

 

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $a^2+bc+ab+ac$.
b) $x^2+2xy+y^2+3x+3y$.
c) $ 3x^2 + 6xy + 3y^2 -3z^2 $
e) $ x^2 -2xy + y^2 – z^2 +2zt -t^2$

Giải

a) $a^2+bc+ab+ac=(a^2+ab)+(ac+bc)$

$=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)$.
b) $x^2+2xy+y^2+3x+3y=(x^2+2xy+y^2)+(3x+3y)$

$=(x+y)^2+3(x+y)=(x+y)(x+y+3)$.
c) $ 3x^2 + 6xy + 3y^2 -3z^2=3(x^2+2xy+y^2-z^2)$

$=3(x+y+z)(z+y-z) $
e) $ x^2 -2xy + y^2 – z^2 +2zt -t^2= (x^2 -2xy + y^2 )-( z^2 -2zt +t^2)$

$=(x-y)^2-(z-t)^2=(x-y-z+t)(x-y+z-t). $

 

Bài tập

Bài 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2+y^2+2xy – xz – zy$.
b) $xy^2+2x^2y-3x^2+3y^2+x^3$.
c) $a^3+b^3-3a^2b-3ab^2$.

Bài 2. Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức

a) $ x^2 -2xy -4z^2 + y^2$ tại $ x = 6;\ y=-4; \ z=45 $
b)  $3(x-3)(x+7) +(x+4)^2 +48 $ tại $ x = 0,5. $

Bài 3. Tìm $ x $, biết:

a) $ x(x-2) +x -2 =0 .$
b) $ 5x(x-3) -x+3 =0.$

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) $a+b+x(a+b)$
b) $ax+ay+bx+by$
c) $x^2+xy-2x-2y$
d) $5x^2y+5xy^2-a^2x+a^2y$
e) $10ay^2-5by^2+2a^2x-aby$.

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp nhóm hạng tử)

a) $4acx+4bcx+4ax+4bx$
b) $3ax^2+3bx^2+ax+bx+5a+5b$
c) $ax+bx+cx+a+b+c$
d) $ax-bx-2cx-2a+2b+4c$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^2- 2xy + y^2 – z^2$
b) $xy – x + y – 1$
c) $x^2 + x – y^2 – y$
d) $ab+ a + b+ 1$.

Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $x^2 + 4xy + 4y^2 – 9z^2$
b) $a^3 + b^3 + ab^2 + a^2b$
c) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + y^3$
d) $x^2 – y^2 -2yz – z^2 $.

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $2x^3+4x^2y+2xy^2$
b) $ a^4 + 2a^2b^2 + b^4 – 4b^2c^2$
c) $a^3 + b^3 – ab(a+b)$
d) $3xy(a^2+b^2)+ab(x^2+9y^2)$.

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^3 + 3x(x+1)+1 – y^3$
b)  $ x^4 + 4x^2+4 – x^2y^4$
c) $a^3+3ab(a+b)+b^3+c^3$.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Phân tích đa thức thành nhân tử – Đặt thừa số chung

Leave a reply

Cách thực hiện: Đưa nhân tử chung của các hạng tử của đa thức ra ngoài dấu ngoặc

$AB+AC=A(B+C)$

Ví dụ 1.  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $ x^2 -x. $
b) $ 5x^2(x-2y)-15x(x-2y) .$
c) $ 3(x-y) -5x(y-x). $
d) $ 3x- 6y. $

Giải

a) $ x^2 -x =x(x-1)$

b) $ 5x^2(x-2y)-15x(x-2y) = (x-2y)(5x^2-15x)=5x(x-3)(x-2y)$

c) $ 3(x-y) -5x(y-x)=3(x-y)+5x(x-y)=(x-y)(3-5x) $

d)$ 3x- 6y.=3(x-2y).$

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) $ \dfrac{2}{5}x^2 +5x^3 +x^2y.$
b) $ 14x^2y -21xy^2 + 28x^2y^2. $
c) $ \dfrac{2}{5}x(y-1) -\dfrac{2}{5}y(y-1). $
d) $ 10x(x-y) – 8y(y-x). $

Giải

a) $ \dfrac{2}{5}x^2 +5x^3 +x^2y=x^2(\dfrac{2}{5}+5x+y)$
b) $ 14x^2y -21xy^2 + 28x^2y^2=7xy(2x-3y+4xy) $
c) $ \dfrac{2}{5}x(y-1) -\dfrac{2}{5}y(y-1)=\dfrac{2}{5}(y-1)(x-y)$
d) $ 10x(x-y) – 8y(y-x)=2(x-y) (5x+4y)$

Bài tập

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $3a-6b-9c$
b) $-7a-14ab-21b$
c) $8xy-24x+16y$.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phương pháp đặt thừa số chung)

a) $9ab-18a+9$
b) $4ax-2ay-2$
c) $-2a^2b-4ab^2-6ab$

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2axy-4a^2xy^2+6a^3x^2$
b) $12x^3y-6xy+3x$
c) $-8x^3y+16xy^2-24$
d) $m(x+y)-n(x+y)$
e) $ab(x-5)-a^2(5-x)$.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) $2a^2(x-y)-4a(y-x)$
b) $2a^2b(x+y)-4a^3b(-x-y)$
c)  $x^{m+2}-x^2$
d) $x^{m+2}+x^m$.

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $x^2 – xy+ 2x$
b) $xy^2 – 3xy + xy^2$
c) $a^2b + 2a^2b^2 – 3a^2$
d) $x(x+y) – 2y^2(x+y)$.

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) $2(x^2-y^2) + x(x+y)$
b) $xy(x-2) + x^2 – 4$
c) $ab(a+b) + (a^2 – b^2)$.

Bài 7. Tính nhanh.

a)  $ 85\cdot 12,7 + 5\cdot 3\cdot 12,7. $
b)  $ 52\cdot 143 – 52 \cdot 39 – 8 \cdot 26. $
c)  $ 97 \cdot 13 + 130 \cdot 0,3. $
d)  $ 86\cdot 153 – 530 \cdot 8,6. $

Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 12x^2 + 18x. $
b) $ 21x^2y – 14xy^2 + 7xy. $
c) $ x^2 + 2x. $
d) $ 15ab^2 – 25abc. $
e) $ -45x^3yz – 15xy^2z + 30x^2yz. $

Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^4-4x^3-2x^2$.
b) $6x^2y + 9xy^2 -3xy$.
c) $2x^2y^2 -4x^3y^2 + 12x^3y^3$.
d) $ 3a^2(x-5) -6ab(5-x). $

Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $ 15(x-2y) – 3x(2y-x). $
b) $ -12x^2 (-x+y) +18x^3(y-x). $
c) $xy(z+1) + 3x(z+1) – 4x^2(z+1)$.
d) $(x+1)^2+3(x-1)^3 – (x+1)^2$.

Bài 11. Tìm $ x $, biết:

a) $ x^3 -9x =0. $
b) $ x^2 – 4x = 0. $
c) $ 2x(x-5) +5-x =0. $

Bài 12. Tìm $ x $, biết:

a) $ x+ 5x^2 =0. $
b) $ x+1 =(x+1)^2. $
c) $ x^3 + x =0. $

Đề thi cuối khóa STAR 2017 -2018: Toán 8

Leave a reply

Đề bài

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $ x^2 – 4x + 3 = 0$

b) $ \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{2x^2 -5}{x^3 – 1} = \dfrac{4}{x^2 + x +1}$

c) $ |x-3| -3x = 1 $

d) $(x+3)^4 + (x+ 5)^4 = 2$

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) $ x – 5 > -5x + 3 $

b) $ \dfrac{2x-3}{-4 } \ge \dfrac{4-x}{-3}$

c) $ x^2 – 3x + 2 \le 0 $

d) $ \dfrac{x+1}{991} + \dfrac{x+5}{995} < \dfrac{x+4}{994} + \dfrac{x+9}{999}. $

Bài 3. 

a)  Quãng đường từ $ A $ đến $ B $ dài 180 $ km $. Xe thứ nhất khởi hành từ $ A $ đến $ B $. Cùng lúc đó và trên quãng đường $ AB $, xe thứ hai khởi hành từ $ B $ đến $ A $ với vận tốc lớn hơn vận tốc xe thứ nhất là $ 10km/h $. Biết hai xe gặp nhau tại nơi cách $ A $ là $ 80km/h $. Tính vận tốc của mỗi xe.

b) Dân số hiện nay của phường 12, quận 10 là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số của phường là 40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của phường đã tăng bao nhiêu phần trăm? ( giả sử \% tăng dân số mỗi năm là như nhau)

Bài 4. Một ngọn đèn đặt trên cao ở vị trí $A$, hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đất là $H$. Người ta đặt 2 chiếc cọc có cùng độ cao là $1,6m$, thẳng đứng ở 2 vị trí $B$ và $C$ và 2 điểm $ B $, $ C $ thẳng hàng với $H$. Khi đó bóng cọc ở 2 vị trí $ B $, $ C $ ở trên mặt đất có độ dài lần lượt là $0,4m$ và $0,6m$. Biết $BC = 1,4m$. Hãy tính độ cao $AH$ của cột đèn.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $ AD, BE, CF $ cắt nhau tại $ H $. Chứng minh rằng:
a) $ AF\cdot AB = AE\cdot AC $ và $ HF\cdot HC = HE\cdot HB. $
b) $ BE $ là phân giác của $ \widehat{DEF} $ . Từ đó chứng minh $ H $ là giao điểm các đường phân giác của $ \Delta DEF $.
c) $ BH\cdot BE + CH\cdot CF = BC^2 $
d)  Gọi $ O $ là giao điểm 3 đường trung trực, $ G $ là trọng tâm. Chứng minh $ G, H, O $ thẳng hàng và $ \dfrac{OG}{GH} = \dfrac{1}{2} $.

 

Phương trình lượng giác không mẫu mực

Leave a reply

1.Phương pháp đưa về phương trình tích

Ta biến đổi phương trình về dạng: $ A.B…=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} A=0\B=0\… \end{matrix} \right.   $

Ví dụ 1. Giải phương trình: $ \sin x \cos 2x =\sin 2x \cos 3x-\dfrac{1}{2}\sin 5x$

Đáp số

Pt $ \Leftrightarrow \sin x \cos 2x =\dfrac{1}{2}\left(\sin 5x -\sin x\right)-\dfrac{1}{2}\sin 5x $

$  \Leftrightarrow \sin x (2\cos x+1)=0      $

$  \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ 2\cos x+1=0  \end{matrix} \right.    $

$  \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=k\pi \\x=\pm \dfrac{\pi}{3}+k\pi  \end{matrix} \right.  , k \in \mathbb{Z}.$

2. Phương pháp tổng các bình phương

Ta biến đổi phương trình thành dạng: $A^2+B^2+…=0  $

$\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix} A^2=0\B^2=0\… \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình: $3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$

Đáp số

$3\tan^2 x+4\sin^2 x-2\sqrt{3}\tan x-4\sin x+2=0$

$  \Leftrightarrow 3\tan^2 x-2\sqrt{3}\tan x+1+4\sin^2 x-4\sin x+1=0   $

$ \Leftrightarrow (\sqrt{3}\tan x-1)^2+(2\sin x-1)^2=0  $

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\tan x-1=0\\ 2\sin x-1=0  \end{matrix} \right.  $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tan x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\ \sin x=\dfrac{1}{2} \end{matrix} \right.$

$ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}  $

3. Phương pháp đánh giá

Ví dụ 3. Giải phương trình: $ \cos^5 x+x^2=0         $

Đáp số

$  \Leftrightarrow x^2=-\cos^5 x     $

Vì $ -1 \le \cos x \le 1  $ nên $0 \le x^2 \le 1 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1 $

mà $[-1;1] \subset \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\Rightarrow \cos x>0, \forall x \in [-1;1] \Rightarrow -\cos^5 x<0, \forall x \in [-1;1]$

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4. Giải phương trình: $  \sin^4 x+\cos^{15} x=1$

Đáp số

Ta có:

$ \Leftrightarrow \sin^4 x+\cos^{15}x=\sin^2 x+\cos^2 x  $

$\Leftrightarrow \sin^2 x(\sin^2 x-1)=\cos^2 x(1-\cos^{13} x)$

Vì: $\sin^2 x(\sin^2 x-1) \le 0 , \forall x$ và $\cos^2 x(1-\cos^{13} x)\ge 0, \forall x$

Nên: Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \sin x=0 \\ \sin x=\pm 1 \end{matrix} \right. \\ \left[\begin{matrix} \cos x=0\\ \cos x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi; x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Bài tập

Giải các phương trình sau:

a) $\cos^4 x+\sin^6 x=\cos 2x$

b) $\sin^2 x+\dfrac{1}{4}\sin^2 3x=\sin x.\sin^2 3x$

c) $(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 3x=2$

d) $\cos^5 x+\sin^5 x+\sin 2x+\cos 2x=1+\sqrt{2}$

e) $\sin^8 2x+\cos^8 2x=\dfrac{1}{8}$

f) $\sin^3 x+\cos^3 x=1-\dfrac{1}{2}\sin 2x$

 

 

 

 

 

 

 

Một số phương trình lượng giác thường gặp (tt)

Leave a reply

I. Lý thuyết

3. Phương trình đẳng cấp với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a\sin^2 x+b \sin x \cos x+ c \cos^2 x=d$  (*)

(hoặc $a\cos^2 x+b \sin x \cos x+ c \sin^2 x=d$.)

Cách làm:

  • Với $\cos x=0 \Rightarrow \sin x=1$ nếu (*) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm.

  • Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho $\cos^2 x$, ta được:

$(a-d)\tan^2 x+b \tan x+ c-d =0$

Ví dụ 3. Giải phương trình:

$2\sin^2 x-5\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$

Đáp số

+ Nếu $\cos x =0$ thì phương trình trở thành $\sin x=0$, không xảy ra.

+ Nếu $\cos x \ne 0$, chia hai vế phương trình cho $\cos^2$ ta được:

$2\tan^2 x-5\tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=1$ hoặc $\tan x=\dfrac{3}{2}$.

Với $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Với $\tan x =\dfrac{3}{2}$, có số $\alpha$ để $\tan \alpha =\dfrac{3}{2}$ ta có: $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha + k\pi .$

Vậy phương trình có các nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{4}, x=\alpha+k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình đối xứng với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng: $a(\sin x \pm \cos x)+b\sin x\cos x=c$

Cách làm:

Đặt: $t=\sin x+ \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$

Hoặc $t=\sin x- \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}.$ Điều kiện: $|t| \le \sqrt{2}$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sin 2x -12(\sin x-\cos x)+12=0$

Đáp số

Đặt: $t= \sin x -\cos x,$ với $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$\Rightarrow t^2=1-\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=1-t^2$

PT $\Leftrightarrow 1-t^2-12t+2=0 \Leftrightarrow -t^2-12t+13=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-13$ (loại).

$\Rightarrow \sin x-\cos x =1 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\ x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow  \left[ \begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi +k2\pi \end{matrix} \right. k \in \mathbb{Z}$

II. Bài tập

  1. Giải các phương trình sau:

a) $\cos^2 x-\sqrt{3}\sin2x=1+\sin^2 x$

b) $1+2\sin 2x=6\cos^2 x$

c) $\cos^3 x-4\sin^3 x-4\cos x \sin^2 x+\sin x=0$

d) $\sqrt{2}\sin^3 \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x$

  1. Giải các phương trình sau:

a) $\sin 2x-4(\cos x-\sin x)=4$

b) $\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$

c) $-1+\sin^3 x+\cos^3 x=\dfrac{3}{2}\sin 2x$

d) $\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x)$

Đáp số

1. a) $x=k\pi; x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

b) $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x= \arctan (-5)+k\pi$

c) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x=\pm \dfrac{\pi}{6}+k\pi$

d) $x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

2. a) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\pi+k2\pi; x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

c) $x=k2\pi; x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; x=\varphi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi;$

$x=\dfrac{3\pi}{4}-\varphi +k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \varphi=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}$.

d) $x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$