Bài 1. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. $C$ là một điểm thuộc đường tròn. $d_1$ và $d_2$ lần lượt là tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $D$ và $E$. $BC$ cắt $d_1$ tại $F$.
a) Chứng minh $d_1|d_2$ và $D$ là trung điểm của $AF$.
b) Vẽ đường cao $CH$. Chứng minh rằng $AE,BD$ và $CH$ dồng quy tại trung điểm của $CH$.
c) Chứng minh $OF\perp AE$.

Lời giải.

a) $d_1$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $OA\perp d_1,d_2$ là tiếp tuyến tại $B$ nên $d_2\perp OB$, mà $O,A,B$ thẳng hàng, suy ra $d_1//d_2$.
Ta có $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$, suy ra $\mathrm{\angle }DCF+$ $\mathrm{\angle }DCA=\mathrm{\angle }DFC+\mathrm{\angle }DAC={90}^{\circ }$. (1)
Hơn nữa $DA=DC$ (t/c tiếp tuyến), tam giác $DAC$ cân tại $D$, suy ra $\mathrm{\angle }DCA=$ $\mathrm{\angle }DAC$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $\mathrm{\angle }DCF=\mathrm{\angle }DFC$, tam giác $DCF$ cân tại $D$.
Vậy $DF=DC=DA$, hay $D$ là trung điểm của $AF$.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $AE$. Ta có $AD//BE$ nên $\frac{BI}{ID}=\frac{EB}{AD}(3)$.
Mặt khác do $AD=DC$ và $EB=EC$, suy ra $\frac{EB}{AD}=\frac{EC}{DC}$ (4).

Từ (3) và (4) ta có $\frac{BI}{ID}=\frac{EC}{DC}$, suy ra $IC//AD$ (Thalet đảo).

Mà $AD\perp AB$ nên $CI\perp AB$, vậy $C,I,H$ thẳng hàng.

Do đó $AE,BE,CH$ đồng quy tại $I$.
Ta có $\frac{CI}{AD}=\frac{EI}{EA},\frac{IH}{AD}=\frac{BI}{BD}$ và $\frac{EI}{EA}=$ $\frac{BI}{BD}$, nên $\frac{CI}{AD}=\frac{IH}{AD}$, suy ra $IC=IH$ hay
$I$ là trung điểm của $CH$.
c) Ta có $EB\cdot AD=EC\cdot CD=O{C}^2=R^2$, mà $AF=2AD$ nên $EB\cdot AF=2R^2$.

Suy ra $EB\cdot AF=AO\cdot AB$, suy ra $\frac{EB}{AB}=\frac{OA}{AF}$, do đó $\tan EAB=\tan AFO$, suy ra $\mathrm{\angle }EAB=$ $\mathrm{\angle }AFO$.
Mà $\mathrm{\angle }EAB+\mathrm{\angle }EAF={90}^{\circ }$ nên $\mathrm{\angle }EAB+$ $\mathrm{\angle }AFO={90}^{\circ }$. Do đó $OF\perp AE$.

Bài 2. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. $A$ là một điểm nằm ngoài đường tròn, từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AB,AC$ dến $(O)$ với $B,C$ là các tiếp điểm. Một cát tuyết qua $A$ cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ trong đó $D$ nằm giữa $A$ và $E$.Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.
a) Chứng minh $OH\cdot OA=R^2$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh 4 điểm $O,M,B,C$ cùng thuộc đường tròn.
c) Tiếp tuyến tại $D$ và $E$ của $(O)$ cắt nhau tại điểm $P$. Chứng minh $P,B,C$ thẳng hàng.

Lời giải.

a) Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến nên $AB=AC$, và $OB=OC=R$, suy ra $OA$ là trung trực của $BC$, suy ra $OA\perp BC$ tại $H$.
Tam giác $OAB$ có $\mathrm{\angle }OBA={90}^{\circ }$ (t/c tiệp tuyến) và $BH\perp OA$ nên $OH\cdot OA=O{B}^2=$ $R^2$.
b) $M$ là trung điểm $DE$, suy ra $OM\perp DE$.
Ta có $\mathrm{\angle }OBA=\mathrm{\angle }OMA=\mathrm{\angle }OCA={90}^{\circ }$, suy ra 5 diểm $O,M,B,A,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$.
c) Ta chứng minh được $OP\perp DE$, suy ra $O,M,P$ thẳng hàng và $OM.OP=O{D}^2=$ $R^2$.
Suy ra $OM\cdot OP=OH\cdot OA$, suy ra $\frac{OM}{OH}=$ $\frac{OP}{OA}$.
Xét tam giác $OMA$ và tam giác $OHP$ có:
$\mathrm{\angle }AOP$ chung $\frac{OM}{OH}=\frac{OP}{OA}$ $\mathrm{\angle }OHP=\mathrm{\angle }OMA={90}^{\circ }$.
Ta có $BC,PH$ vuông góc với $OA$ tại $H$ nên $P,B,C$ thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A(AB<AC)$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AD$ và $CD$. Tia $OH$ cắt cạnh $AB$ tại $E$. Tia $OK$ cắt đường thẳng $ED$ tại $N$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $I$.
(a) Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.
(b) Chứng minh $OHDK$ là hình chữ nhật.
(c) Chứng minh tia $DI$ là tia phân giác của $\mathrm{\angle }NDC$.
(d) Gọi $S$ là giao điểm của $OB$ với $AD$. Từ $S$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AO$ và cắt tia $OH$ tại $Q$. Chứng minh 3 điểm $A,Q,N$ thẳng hàng.

Lời giải.

a) $OH$ là trung trực của $AD$, suy ra $EA=ED$. Từ đó $\mathrm{△}EDO=\mathrm{△}EAO(ccc)$, suy ra $\mathrm{\angle }EDO=\mathrm{\angle }EAO={90}^{\circ }$. Do đó $ED$ là tiếp tuyến của $(O)$.

b) Do $K$ là trung điểm $CD$ nên $OK\mathrm{\perp }CD$, tứ giác $OHDK$ có $\mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }H=\mathrm{\angle }K={90}^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

c) Ta có tam giác $ODI$ cân tại $O$ nên $\mathrm{\angle }ODI=\mathrm{\angle }OID$ (1)
Mà $\mathrm{\angle }ODI=\mathrm{\angle }ODK+\mathrm{\angle }KDI,\mathrm{\angle }OID=\mathrm{\angle }OND+\mathrm{\angle }NDI$ (2)
Và $\mathrm{\angle }OND=\mathrm{\angle }ODK$ (vì cùng phụ $\mathrm{\angle }DON$) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có $\mathrm{\angle }KDI=\mathrm{\angle }NDI$

d) Gọi $L$ là giao điểm $AQ$ và $OS$.
Trong tam giác $ASO$ có $AQ,SQ$ là các đường cao, nên $Q$ là trực tâm, suy ra $AQ\mathrm{\perp }OS$ tại $L$. (4)
Ta có $OL\cdot OB=O{A}^2$
và $OK\cdot ON=O{D}^2=O{A}^2$
Suy ra $\mathrm{\angle }OK\cdot ON=OL\cdot OB$
Suy ra $\mathrm{△}OLN\backsim \mathrm{△}OKB$, suy ra $\mathrm{\angle }OLN=\mathrm{\angle }OKB={90}^{\circ }$ (5)
Từ (4), (5) ta có $A,L,N$ thẳng hàng, hay $A,Q,N$ thẳng hàng.

Bài 4. Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $S$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Vẽ hai tiếp tuyến $SB,SC$ đến $(O)$ với $B,C$ là hai tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $SO$ với $BC$.
(a) Vẽ đường kính $BA$ của $(O)$. Chứng minh $AC||SO$ và $HB\cdot HC=HO\cdot HS$.
(b) Vẽ đường thẳng $d$ vuông góc vớ $AB$ tại $O$, đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$. Chứng minh $SE=R$.
(c) Vẽ $CK$ vuông góc với $AB$ tại $K$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $CK$. Chứng minh 3 điểm $S,I,A$ thẳng hàng.

Lời giải.

a) Do $AB$ là đường kính của $(O)$ nên $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$. (1)

Ta có $SB=SC$ và $SO$ phân giác $\mathrm{\angle }BSC$ nên $SO$ là trung trực của $BC$, do đó $OS\mathrm{\perp }BC$ tại $H$.

Từ đó ta có $AC||OS$ vì cùng vuông góc $BC$.

b) $\mathrm{△}AOE=\mathrm{△}OBS(gcg)$, suy ra $OE=BS$.

Tứ giác $OESB$ có $OE||BS$ (Cùng vuông góc $AB$), và $OE=BS$ nên $OESB$ là hình bình hành, hơn nữa có $\mathrm{\angle }OBS={90}^{\circ }$ nên là hình chữ nhật, do đó $SE=OB=R$.

c) Ta có $OASE$ là hình bình hành, suy ra $AS$ cắt $OE$ tại trung điểm $T$ của mỗi đoạn.
$CK||OE$
Gọi $I^{\prime }$ là giao điểm của $AS$ và $CK$
Ta có ${\displaystyle \frac{I^{\prime }K}{OT}}={\displaystyle \frac{A{I}^{\prime }}{AT}}={\displaystyle \frac{C{I}^{\prime }}{ET}}$
Mà $OT=ET$ nên $K{I}^{\prime }=C{I}^{\prime }$, hay $I^{\prime }\equiv I$
Vậy $A,I,S$ thẳng hàng

Bài 5. Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$. Kẻ tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(O)$ với $A,B$ là hai tiếp điểm. Đường thẳng $AB$ cắt $(O)$ tại $K$.
(a) Kẻ đường kính $AN$ của $(O),BH\perp AN$ tại $H$. Chứng $\mathrm{minh}MB\cdot BN=BH\cdot MO$.
(b) Đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D(C$ nằm giữa $O$ và $M)$. Chứng minh $OK\cdot MK=CK\cdot DK$.
(c) $E$ đối xứng với $C$ qua $K$. Chứng minh $E$ là trực tâm của tam giác $ABD$.
(d) Chứng minh $\sin \mathrm{\angle }{M}^{\circ }AB=\frac{CK}{AK}+\frac{CK}{AM}$

Lời giải.

a) Chứng minh tam giác $OMB$ và $NBH$ đồng dạng.
b) $OK\cdot MK=A{K}^2=KC\cdot KD$
c) $ACBE$ là hình thoi, suy ra $BE||AC$, mà $AC\mathrm{\perp }AD$ suy ra $BE\mathrm{\perp }AD$
$DE\mathrm{\perp }AB$
Do đó $E$ là trực tâm tam giác $ABD$.

d) $\mathrm{\angle }CAK=\mathrm{\angle }CAM$ (chứng minh ở bài trên)
Do đó ${\displaystyle \frac{CK}{CM}}={\displaystyle \frac{AK}{AM}}$, suy ra ${\displaystyle \frac{CK}{AK}}={\displaystyle \frac{CM}{AM}}$
Từ đó $VP={\displaystyle \frac{CK}{AK}}+{\displaystyle \frac{CK}{AM}}={\displaystyle \frac{CM}{AM}}+{\displaystyle \frac{CK}{AM}}={\displaystyle \frac{KM}{AM}}=\sin MAB$

Bài 6. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a,E$ là cung thuộc cung nhỏ $BD$ của đường tròn tâm tâm $A$ bán kính $a$. Tiếp tuyến tại $E$ cắt $CD$ tại $F$ và $BC$ tại $G$.
(a) Chứng minh chu vi tam giác $CFG$ bằng $2a$.
(b) $AF,AG$ cắt $BD$ tại $I$ và $H$. Chứng minh $HE=$ $HB,IE=ID$

và $H{I}^2=D{I}^2+B{H}^2$
(c) Chứng minh $FH,GI$ và $AE$ đồng quy.

Lời giải.

a) $CD,CB,FG$ là tiếp tuyến của $(A;a)$
Suy ra $FE=FD,GE=GB$
$P_{CFG}=CF+FG+CG=CF+EF+EG+CG=CF+DF+GB+CG=CD+CB=2a$

b) $AF$ là trung trực $DE$, và $AG$ là trung trực $BE$
Suy ra $IE=ID,HB=HE$
$\mathrm{△}IEF=\mathrm{△}IDF\Rightarrow \mathrm{\angle }IEF=\mathrm{\angle }IDF={45}^{\circ }$
Tương tự cũng có $\mathrm{\angle }HEG={45}^{\circ }$
Suy ra $\mathrm{\angle }IEH={90}^{\circ }$
Áp dụng pitago cho tam giác $EIH$ ta có $I{H}^2=I{E}^2+H{E}^2=I{D}^2+H{B}^2$

c) Ta có $AF$ là phân giác $\mathrm{\angle }DAE$, $AG$ là phân giác của $\mathrm{\angle }BAE$
Suy ra $\mathrm{\angle }FAG={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\angle }BAD={45}^{\circ }$.
$\mathrm{△}AIH\backsim \mathrm{△}DIF(gg)$, suy ra $IA\cdot IF=ID\cdot IH$
Suy ra $\mathrm{△}IFH\backsim \mathrm{△}IDA\Rightarrow \mathrm{\angle }IFH=\mathrm{\angle }IDA={45}^{\circ }$
Suy $\mathrm{\angle }AHF={90}^{\circ }$ hay $FH\mathrm{\perp }AG$.
Chứng minh tương tự $GI\mathrm{\perp }AF$.
Tam giác $FG$ có $AE,FH,GI$ là các đường cao nên đồng quy.

Bài 7. (Cuối khóa 1 – Star Education 2018) Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ dến $(O)$ ( $B,C$ là các tiếp điểm). $OA$ cắt $BC$ tại $H$.
a) Chứng minh $OH\cdot OA=R^2$ và 4 điểm $O,A,B,C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn tâm $I$ đường kính $AB$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $B$. Chứng minh $ID$ là tiếp tuyến của $(O)$.
c) Tiếp tuyến tại $H$ và tại $A$ của $(I)$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh $B,D,P$ thẳng hàng.

d) Tiếp tuyến tại $H$ của $(I)$ cắt $OB$ tại $M$; gọi $N$ là trung điểm $PM$, đường thẳng qua $P$ song song $BN$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $HK,AM$ và $BD$ đồng quy.

Lời giải.

a)

Xét $\mathrm{△}ABO$ vuông tại $B$ có:

$BH$ là đường cao $\Rightarrow OH\cdot OA=O{B}^2=R^2$ (Hệ thức lượng)

Ta có: $\mathrm{△}ABO$ vuông tại $B\Rightarrow A,B,O$ thuộc đường tròn đường kính $AO$. (1)

Lại có $\mathrm{△}ACO$ vuông tại $C\Rightarrow A,C,O$ thuộc đường tròn đường kính $AO$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A,B,O,C$ thuộc đường tròn đường kính $AO$.

b)

Ta có: $\mathrm{△}ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB\Rightarrow \mathrm{△}ABD$ vuông tại $D$

Mà $I$ là trung điểm cạnh huyền $AB\Rightarrow IB=ID$
Ta có: $IB=ID,OB=OD$ nên $IO$ là trung trực của $BD$ $\Rightarrow \mathrm{\angle }IBO=\mathrm{\angle }IDO={90}^{\circ }$ nên $ID$ là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Tiếp tuyến tại $H$ và tại $A$ của $(I)$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh $B,D,P$ thẳng hàng.

Gọi $E=IP\cap AH$ và $F=IO\cap BD$.
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng, ta chứng minh được
$$IE\cdot IP=I{A}^2=I{D}^2=IF\cdot IO\Rightarrow \frac{IF}{IP}=\frac{IE}{IO}$$

Từ đó, chứng minh được $\mathrm{△}IFP\backsim \mathrm{△}IEO$ (c.g.c)
$$\Rightarrow \mathrm{\angle }IEO=\mathrm{\angle }IFP={90}^{\circ }\text{. }$$

Ta có: $BD$ đi qua $F$ và vuông góc $IO,FP$ đi qua $F$ và vuông góc $IO$ nên hai đường thẳng này trùng nhau. $\Rightarrow B,D,P$ thẳng hàng.

d)

Chứng minh $IH$ là đường trung bình của $\mathrm{△}ABC\Rightarrow IH||AC$. Mà $IH\perp PM$ và $AC\perp OC$.

Suy ra: $HM||OC$. Lại có $H$ là trung điểm $BC$ nên $M$ là trung điểm $OB$.

Gọi $Q$ là giao điểm của $PK$ và $BO$.
Ta có: $BN||PQ$ và $N$ là trung điểm của $PM$ nên suy ra $B$ là trung điểm của $QM$.

Gọi $J=BP\cap AM$.
Ta có :
$BQ||AP\Rightarrow \frac{BK}{KA}=\frac{BQ}{PA}=\frac{BM}{PA}.$
$BM||AP\Rightarrow \frac{BM}{PA}=\frac{BJ}{JP}$
Suy ra: $\frac{BK}{KA}=\frac{BJ}{JP}$ nên $KJ||AP$. Chứng minh tương tự $JH||AP$. Từ đó ta có $K,J,H$ thẳng hàng.

Vậy $HK,BP,AM$ dồng quy tại $J$.

Bài tập luyện tập.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD,BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$.
(a) Chứng minh $NE,NF$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCE$.
(b) Chứng minh 5 điểm $D,E,F,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.
(c) Gọi $G$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Chứng minh $NG\cdot ND=N{A}^2$.

Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $AC=AB$. Từ $C$ vẽ tiếp tuyến $CD$ dến $(O)$ cắt tiếp tuyến tại $B$ ở điểm E.
(a) Tính $BE$.
(b) Đường cao $DF$ của tam giác $ABD$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh rằng $A,G,E$ thẳng hàng.
(c) Gọi $H$ là giao điểm của $OC$ và $AD$. Tính $\mathrm{\angle }DHB$.
(d) Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $(O)$. Tứ giác $IDBH$ là hình gì? Tại sao?

Bài 8. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O).M$ là trung điểm $BC$. Từ $A$ dựng các tiếp tuyến đến đường tròn $(O;OM)$ cắt $BC$ tại $D$ và $E$ sao cho $D$ và $C$ khác phía đối với $M;E,B$ khác phía đối với $M$. Chứng minh rằng các tam giác $ADC$ và $ABE$ cân.

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB=a,BC=2a$. Đường cao $AH$. Từ $B,C$ vẽ các tiếp tuyến $BD,CE$ dến đường tròn tâm $A$ bán kính $AH$.
(a) Tính $AH$ và số đo $\mathrm{\angle }ABC$.
(b) Chứng minh $D,A,E$ thẳng hàng.
(c) Chứng minh $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$.
(d) Chứng minh $DC,BE$ và $AH$ dồng quy.

Bài 10. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $2a$, tâm $O$. Đường tròn tâm $O$ bán kính $a$ tiếp xúc với $AB$ và $BC$ tại $E$ và $F$. Gọi $P$ là một điểm trên cung nhỏ $EF$. Tiếp tuyến tại $P$ cắt $AB,BC$ tại $M$ và $N$. Đặt $MB=c,BN=y$.
(a) Chứng minh rằng $x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2a$.
(b) Chứng minh rằng $AM\cdot CN=2a^2$.
(c) Gọi $K$ là trung điểm của $AD$. Chứng minh rằng $MK|$ $DN$.