Một số vấn đề về nghiệm của đa thức

Bài viết của thầy Vương Trung Dũng

(Giáo viên chuyên toán trường Phổ thông Năng khiếu)

Trong những kì thi học sinh giỏi các bài toán về đa thức thường xuyên xuất hiện. Tuy nhiên trong chương trình THCS các kiến thức về đa thức chủ yếu dừng lại ở các khái niệm và các phép toán. Do đó khi vừa mới lên lớp 10 các kĩ năng của các em học sinh còn chưa cao. Bài viết này nhằm trình bày một vấn đề nhỏ về nghiệm của đa thức mà nội dung chính là Định lý Bézout và Định lý Viète, đối tượng hướng đến là các em học sinh cuối năm lớp 9 và đầu năm lớp 10.

Trong bài viết này ta kí hiệu $\mathbb{R}[x]$ là tập tất cả các đa thức có hệ số thực.

Cơ sở lý thuyết

Định lý Bézout. Cho $f(x) \in \mathbb{R}[x]$ và $a \in \mathbb{R}$. Số dư khi chia đa thức $f(x)$ cho đa thức $x-a$ là $f(a)$.

Theo thuật toán chia Euclide, tồn tại đa thức $g(x) \in \mathbb{R}[x]$ và số thực $r$ sao cho $$f(x)=(x-a)g(x)+r.$$
Trong đẳng thức trên thay $x=a$ vào hai vế ta được $f(a)=r.$ Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 1. Đa thức $f(x)$ có nghiệm $x=a$ khi và chỉ khi $f(x)$ chia hết cho $x-a.$

Hệ quả 2. Nếu $a_1,a_2,…,a_n$ là các nghiệm của $f(x)$ thì $(x-a_1)(x-a_2)…(x-a_n)|f(x)$. Đặc biệt nếu $\deg f=n$ thì $f(x)=c(x-a_1)(x-a_2)…(x-a_n), c\in \mathbb{R}$.

Định lý 2. Một đa thức bậc $n$ có nhiều nhất là $n$ nghiệm. Đặc biệt nếu $\deg f \le n$ có quá $n$ nghiệm thì $f(x) =0.$
Hệ quả 3. Nếu $\deg f<n, \deg g<n$ mà tồn tại $n$ giá trị phân biệt của biến $x$ sao cho $f(x)=g(x)$ thì $f(x)= g(x) .$

Các ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1. Biết đa thức $P(x)=x^5+x^2+1$ có 5 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Đặt $Q(x)=x^2-2$. Tính $Q(x_1)Q(x_2)Q(x_3)Q(x_4)Q(x_5)$.

Lời giải

$P(x)$ có dạng $P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)$. \

Ta có $$ \prod_{i=1}^{5} Q(x_i)=\prod_{i=1}^{5} (x_i^2-2)=\prod_{i=1}^{5} (\sqrt{2}-x_i) \prod_{i=1}^{5} (-\sqrt{2}-x_i)=P(\sqrt{2})P(-\sqrt{2})=-23. $$

Ví dụ 2. Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sao cho $|P(a)|=|P(b)|=|P(c)|=1$, với $a,b,c$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Lời giải

Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên $x_0$. Theo định lý Bézout $$ P(x)=(x-x_0)Q(x), \ \ \ \ (1) $$ với $Q(x) \in \mathbb{Z}[x]$. Từ đó suy ra $$ 1=|P(a)|=|a-x_0||Q(a)|. \ \ \ \ (2) $$
Do đó $|a-x_0|=1$, lập luận tương tự ta được $|b-x_0|=|c-x_0|=1$. Như vậy $a-x_0, b-x_0, c-x_0 \in \{-1,1\}$. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai trong ba số này bằng nhau từ đó tồn tại hai trong ba số $a,b,c$ bằng nhau, mâu thuẫn. Vậy $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Định lý Viete thuận. Cho đa thức $f \in \mathbb{R}[x]$, trong đó $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0,$$
trong đó $a_i \in \mathbb{R}$ và $a_n \ne 0.$ Giả sử rằng $x_1, x_2,…,x_n$ là các nghiệm (không nhất thiết phân biệt) của $f(x)$. Khi đó ta có

$x_1+x_2+…+x_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$
$x_1x_2+x_1x_3+…+x_{n-1}x_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_n}$
…
$x_1x_2…x_n=(-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}$

Chứng minh

Định lý Viète có một ứng dụng rất lớn trong các bài toán về nghiệm của đa thức nhưng chứng minh của nó thì không hề khó. Thật vậy, vì $x_1, x_2,…,x_n$ là các nghiệm của $f$ nên ta có thể viết lại đa thức này dưới dạng $$f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n).$$
Khai triển vế phải rồi nhóm về dạng chuẩn tắc, sau đó so sánh hệ số của các số mũ tương ứng ở hai vế ta được điều phải chứng minh.

Lưu ý là định lý Viète vẫn đúng trong trường hợp $f$ không đủ $n$ nghiệm thực, nhưng do đối tượng của bạn đọc nên nội dung bài viết không đề cập đến.

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để nghiệm $x_1,x_2,x_3$ của đa thức $x^3-6x^2+ax+a$ thỏa mãn $$(x_1-3)^3+(x_2-3)^3+(x_3-3)^3=0.$$

Lời giải

Đặt $y=x-3$, khi đó $y_1=x_1-3, y_2=x_2-3, y_3=x_3-3$ là nghiệm của đa thức $$ (y+3)^3-6(y+3)^2+a(y+3)+a=y^3+3y^2+(a-9)y+4a-27. $$

Theo định lý Viète $$ \sum_{i=1}^{3} y_i=-3, \sum_{1 \le i<j \le 3} y_iy_j=-9, \prod_{i=1}^{3} y_i=27-4a. $$

Mặt khác theo giả thiết $\sum_{i=1}^{3} y_i^3=0$. Mà $$ \sum_{i=1}^{3} y_i^3=\Big(\sum_{i=1}^{3} y_i\Big)^3-3 \Big(\sum_{1 \le i<j \le 3} y_iy_j\Big)\Big(\sum_{i=1}^{3} y_i \Big)+3 \prod_{i=1}^{3} y_i. $$
Dô đó điều kiện cần và đủ của $a$ là $$ 0=(-3)^3-3(a-9)(-3)+3(27-4a)=-27-3a \Leftrightarrow a=-9. $$

Ví dụ 4. Chứng minh đa thức $P(x)=x^n+2nx^{n-1}+2n^2x^{n-2}+…+2n^{n-1}x+2n$ không thể có đủ $n$ nghiệm thực.

Lời giải
Giả sử $P(x)$ có đủ $n$ nghiệm thực $x_1,x_2,…,x_n$. Theo định lý Viet $$ \sum_{i}x_i=-2n, \sum_{i<j}x_ix_j=2n^2. $$
Khi đó $$ \sum_{i<j}x_ix_j=\dfrac{1}{2}(\sum_{i}x_i)^2-\dfrac{1}{2}\sum_ix_i^2 \le \dfrac{n-1}{2n}(\sum_{i}x_{i})^2=2n(n-1) <2n^2,$$
vô lí. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta ký hiệu $$\begin{aligned}
\sigma_1 & = \sum_{i=1}^nx_i=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}, \sigma_2=\sum_{1 \le i < j \le n}^nx_ix_j =\dfrac{a_{n-2}}{a_n},…, \
\sigma_k & =\sum_{1 \le i_1 <i_2<…<i_k \le n}x_{i_1}x_{i_2}…x_{i_k}=(-1)^k \dfrac{a_{n-k}}{a_n}
\end{aligned}$$
và gọi $\sigma_k$ là các đa thức đối xứng bậc $k$ của các số $x_1,x_2,…,x_n$.

Định lý Viete đảo. Cho $x_1,x_2,…,x_n \in \mathbb{R}$. Gọi $\sigma_k$ là các đa thức đối xứng bậc $k$ của $n$ số đã cho. Khi đó $x_1,x_2,…,x_n$ là nghiệm của phương trình $$ X^n-\sigma_1X^{n-1}+\sigma_2X^{n-2}+…+(-1)^{n-1}\sigma_{1}X+(-1)^n \sigma_n=0.$$

Ví dụ 5. Gọi $a<b<c$ là 3 nghiệm của phương trình
$$x^3-3x+1=0.$$

a) Tính $A=\dfrac{1-a}{1+a}+\dfrac{1-b}{1+b}+\dfrac{1-c}{1+c};$
b) Tìm một đa thức bậc 3 nhận $a^2-2, b^2-2, c^2-2$ làm nghiệm;

Lời giải
a) Ta có
$$A+3=\dfrac{1-a}{1+a}+1+\dfrac{1-b}{1+b}+1+\dfrac{1-c}{1+c}+1=2\Big(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\Big).$$
Mặt khác, đặt $x=\dfrac{1}{1+a}$, khi đó $a=\dfrac{1}{x}-1.$ Vì $a^3-3a+1=0$ nên $$\Big(\dfrac{1}{x}-1\Big)^3-3\Big(\dfrac{1}{x}-1\Big)+1=0 \Leftrightarrow 3x^3-3x+1=0.$$
Từ đó suy ra $\dfrac{1}{1+a}, \dfrac{1}{1+b}, \dfrac{1}{1+c}$ là 3 nghiệm của phương trình trên, do đó $$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=0.$$ Vậy $A=-3.$
b) Theo định lý Viète $a+b+c=0, ab+bc+ca=-3$ và $abc=-1.$ Đặt $P(x)=x^3-3x+1=(x-a)(x-b)(x-c),$
ta có
\begin{eqnarray*}
a^2-2+b^2-2+c^2-2=a^2+b^2+c^2-6=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)-6=0.
\end{eqnarray*}
Lại có
\begin{eqnarray*}
&&(a^2-2)(b^2-2)+(b^2-2)(c^2-2)+(c^2-2)(a^2-2)\\&=& a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-4(a^2+b^2+c^2)+12\\&=& (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) -3.6+12\\ &=&-3.
\end{eqnarray*}
Cuối cùng
\begin{eqnarray*}
&&(a^2-2)(b^2-2)(c^2-2)\\
&=& (\sqrt{2}-a)(\sqrt{2}+a)(\sqrt{2}+c)(-\sqrt{2}-a)(-\sqrt{2}-b)(-\sqrt{2}-c) \\
&=&P(\sqrt{2})P(-\sqrt{2})\\&=&-1.
\end{eqnarray*}
Theo định lý Viète đảo ta có $a^2-2, b^2-2, c^2-2$ là nghiệm của đa thức $x^3-3x+1=0.$

Bài tập có lời giải
Bài 1.  Định $m$ sao cho $F=x^3+y^3+z^3+mxyz$ chia hết cho $x+y+z$.

Lời giải
Xem F là một đa thức theo biến $x.$ Theo giả thiết $F(x) \vdots [x-(-y-z)]$ suy ra $$F(-y-z)=0 \Leftrightarrow (-y-z)^3+y^3+z^3+m(-y-z)yz \Leftrightarrow -yz(y+z)(3+m)=0, $$ với mọi $y,z \in \mathbb{R}$. Từ đó $m=-3.$

 

Bài 2.  (Canada 2001) Cho $P(x)$ là tam thức bậc hai có các hệ số nguyên thỏa mãn đồng thời:
i) Cả hai nghiệm đều nguyên;
ii) Tổng các hệ số là một số nguyên tố;
iii) Tồn tại số nguyên $k$ sao cho $P(k)=55$.

Chứng minh rằng $P(x)$ có một nghiệm bằng 2 và hãy tìm nghiệm còn lại.

Lời giải

Gọi $r_1 \le r_2$ là hai nghiệm. Ta có $P(x)=ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$, từ đó $P(1)=a+b+c=a(1-r_1)(1-r_2)=p$ nên $a \in \{\pm 1, \pm p\}$.\

Nếu $a=p$ thì $(1-r_1)(1-r_2)=1$ nên $r_1=r_2=0$ hoặc $r_1=r_2=2$ (mâu thuẫn với (c) ).\

Nếu $a=-p$ thì $(1-r_1)(1-r_2)=-1$ nên $r_1=0, r_2=2$ (cũng mâu thuẫn).\

Vì $P(k)=a(k-r_1)(k-r_2)=-5.11$ nên ta được

$$\begin{cases}
a=1&\\
k-r_1=55&\\
k-r_2=1&
\end{cases} hay \ \begin{cases}
a=1&\\
k-r_1=11&\\
k-r_2=5&
\end{cases}$$

Trong trường hợp đầu tiên ta được $r_2=r_1+54, b=-2r_1-54$ và $c=r_1(r_1+54)$ do đó $r_1^2+52r_1-(53+p)=0$ nên $$ r_1=\frac{-52 \pm \sqrt{52^2+4(53+p)}}{2}= -26 \pm \sqrt{26^2+53+p }=-26 \pm \sqrt{ 27^2+p}.$$

Đặt $h^2=27^2+p \Leftrightarrow p=(h+27)(h-27)$, vì $p$ là nguyên tố nên $h-27=1 \Rightarrow h=28$ nhưng khi dó $p=55$ không là số nguyên tố.\

Trong trường hợp thứ hai $r_2=r_1+6$ nên $b=-2r_1-6$ và $c=r_1(r_1+6)$, do đó $p=10(2r_1+6)+r_1^2+6r_1$ hoặc $$ r_1^2+4r_1-(5+p)=0 \Leftrightarrow r=-1\pm \sqrt{3^2+p}. $$

Đặt $i^2=3^2+p \Leftrightarrow p=(i+3)(i-3), $ vì $p$ là số nguyên tố nên $i=4$ và do đó $p=7 \Rightarrow r_1=2, r_2=8.$

 

Bài 3.  Cho $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$, trong đó $a_k =\pm 1$. Biết $P(x)$ có $n$ nghiệm, chứng minh rằng $n \le 3$.

Lời giải

Giả sử $x_1,…,x_n$ là các nghiệm của $P(x)$. Ta có $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2=3$ và $\dfrac{1}{x_1}, …, \dfrac{1}{x_n}$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=a_0x^n+…+a_{n-1}x+1.$ Ta có $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i^2}=3$. Suy ra $$ 9=\Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \Big)\Big(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i^2}\Big) \ge n^2. $$
Do đó $n \le 3.$

Bài 4.  Cho các số thực $a,b,c$ và phương trình $x^4+4x^3+ax^2+bx+c=0$ có 4 nghiệm thỏa mãn $x_1^{16}+x_2^{16}+x_3^{16}+x_4^{16}=4$. Tìm các nghiệm đó.

Lời giải
Theo định lý Viète ta có $x_1+x_2+x_3+x_4=-4$.\
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta được
\begin{eqnarray*}16&=&(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\\ &\le& 4(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)\\ &\le& 4\sqrt{4(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4)}\\ &\le& 4 \sqrt{4\sqrt{4(x_1^8+x_2^8+x_3^8+x_4^8)}}\\ &\le& 4 \sqrt{4 \sqrt{4\sqrt{4(x_1^{16}+x_2^{16}+x_3^{16}+x_{4}^{16})}}}=16. \end{eqnarray*}

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=x_3=x_4=-1$.

Bài 5. (VMO 1991)  Giả sử đa thức $P(x)=x^{10}-10x^9+39x^8+a_7x^7+...+a_1x+a_0$ với các hệ số thực $a_7, ..., a_0$ sao cho đa thức $P(x)$ có 10 nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng các nghiệm này thuộc đoạn $[-\frac{5}{2},\frac{9}{2}].$

Lời giải

Gọi $x_1, x_2,…, x_{10}$ là các nghiệm của $P(x)$. Theo định lý Viète ta có
$$ \sum_{i=1}^{10} x_i=10 \ \text{và} \
\sum_{1 \le i <j \le 10} x_ix_j=39.$$

Do đó $$ \Big(\sum_{i=1}^{10} x_i \Big)^2=\sum_{i=1}^{10} x_i^2+2 \sum_{1 \le i<j \le 10} x_ix_j \Rightarrow \sum_{i=1}^{10} x_{i}^2=100-2.39=22. $$

Hơn nữa $$ \sum_{i=1}^{10} (x_i-1)^2=\sum_{i=1}^{10} x_i^2-2 \sum_{i=1}^{10} x_i+10=12 \Rightarrow (x_i-1)^2 \le 12 <(3.5)^2 ,$$
với mọi $i=1,2,…,10.$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6.  Cho các số thực $a,b$ trong đó $a \ne 0.$ Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của phương trình $$ax^4+bx^3+x^2+x+1=0$$ không đồng thời là nghiệm thực.

Lời giải
Gọi $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ lần lượt là các nghiệm của phương trình đã cho. Dễ thấy các nghiệm này đều khác 0 và có tích bằng $\dfrac{1}{a}.$ Khi đó nghiệm của phương trình $x^4+x^3+x^2+bx+a=0$ lần lượt là $$\beta_1=\dfrac{1}{\alpha_1}, \beta_2=\dfrac{1}{\alpha_2},\beta_3=\dfrac{1}{\alpha_3},\beta_4=\dfrac{1}{\alpha_4}.$$
Theo định lí Viète $$\sum_{j=1}^{4} \beta_j=-1, \sum_{1 \le j<k \le 4}\beta_j \beta_k=1.$$
Dẫn đến
$$\sum_{j=1}^{4}\beta_j^2=\Big(\sum_{j=1}^{4}\beta_j\Big)^2-2 \Big(\sum_{1 \le j<k \le 4}\beta_j \beta_k\Big)=1-2=-1.$$
Vô lí, bài toán được chứng minh xong.

Bài 7. Giả sử đa thức $ax^3-x^2+bx-1=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng:

a) $0<3ab \le 1;$
b) $b \ge 9a;$
c) $b \ge \sqrt{3}.$

Lời giải
a) Gọi $x_1, x_2, x_3$ là 3 nghiệm của đa thức đã cho. Khi đó theo Định lý Viète, ta có $$x_1+x_2+x_3=\dfrac{1}{a}, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{b}{a}, x_1x_2x_3=\dfrac{1}{a}.$$
Từ đó suy ra $a>0$ nên $b>0$, dẫn đến $ab>0.$ Từ bất đẳng thức $$(x_1+x_2+x_3)^2 \ge 3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$$ ta được $\dfrac{1}{a^2} \ge 3.\dfrac{b}{a}$ dẫn đến $0 <3ab \le 1.$
b) Vì $(x_1+x_2+x_2)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \ge 9x_1x_2x_3$ nên $\dfrac{b}{a^2} \ge \dfrac{9}{a},$ dẫn đến $b \ge 9a.$
c) Theo bất đẳng thức $(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2 \ge 3x_1x_2x_3(x_1+x_2x+x_3)$ ta được $\dfrac{b^2}{a^2} \ge \dfrac{3}{a^2}$. Dẫn đến $b^2 \ge 3$ và vì $b \ge 0$ nên $b \ge \sqrt{3}.$

Bài 8.  Cho đa thức $x^3+\sqrt{3}(a-1)x^2-6ax+b=0$ có 3 nghiệm thực. Chứng minh rằng $$|b| \le |a+1|^3.$$

Lời giải
Gọi $x_1, x_2, x_3$ là 3 nghiệm của đa thức đã cho, theo định lý Viète $$x_1+x_2+x_3=-\sqrt{3}(a-1), x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-6a, x_1x_2x_3=-b.$$
Ta có
\begin{eqnarray*}
\sqrt[3]{|b|}= \sqrt[3]{|x_1|.|x_2||x_3|} &\le& \sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{3}} \\&=& \sqrt{\dfrac{(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)}{3}}\\&=& \sqrt{\dfrac{3(1-a)^2+12a}{3}}\\&=& |a+1|.
\end{eqnarray*}
Suy ra $|b| \le |a+1|^3,$ điều phải chứng minh.

 

Bài 9.  [Mathematical Reflections S455] Cho $a,b \in \mathbb{R}$ sao cho tất cả các nghiệm của đa thức
$$P(x)=x^4-x^3+ax+b$$ có 4 nghiệm thực.
a)  Chứng minh rằng $a+ b \ge 0;$
b) Chứng minh rằng $P \Big(-\dfrac{1}{2}\Big) \le \dfrac{3}{16}.$

Lời giải
a) Gọi $x_1, x_2, x_3, x_4$ là 4 nghiệm của đa thức đã cho. Theo định lý Viète ta có
\begin{eqnarray*}
&&x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\&& x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=0\\&&-x_1x_2x_3x_4\Big(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\dfrac{1}{x_4}\Big)=a\\&&x_1x_2x_3x_4=b.
\end{eqnarray*}
Từ hai phương trình đầu ta được $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1.$$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$$1=x_1^2+(x_2^2+x_3^2+x_4^2) \ge x_1^2+\dfrac{1}{3}(x_2+x_3+x_4)^2=x_1^2+(1-x_1)^2.$$
Từ đó ta có $$-\dfrac{1}{2} \le x_1 \le 1.$$
Hoàn toàn tương tự $-\dfrac{1}{2}\le x_2, x_3, x_4 \le 1.$ Khi đó vì $P(x)=(x-1x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ nên dễ thấy $$P(1) \ge 0 \Leftrightarrow a+b \ge 0.$$
b) Bây giờ ta cần chứng minh $$P\Big(-\dfrac{1}{2}\Big) \le \dfrac{3}{16} \Leftrightarrow a \ge 2b.$$
Nếu $b \le 0$ thì từ $a+b \ge 0$ ta suy ra $a \ge 0$ nên hiển nhiên nhiên $a \ge 2b.$ Giả sử $b >0,$ thế thì $x_1x_2x_3x_4 >0$ và do đó ta có
$$a \ge 2b \Leftrightarrow \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\dfrac{1}{x_4} \le -2. \ \ \ \ (1)$$
Trong trường hợp này phải có hai nghiệm là số dương và hai nghiệm là số âm. Không mất tổng quát giả sử $x_1, x_2>0$ và $x_3, x_4<0$. Vì $-\dfrac{1}{2} \le x_4 \le 1$ nên $2x_4+1 \ge 0, 1-x_4 \ge 0$ và $x_1x_2x_3 <0$. Dẫn đến
\begin{eqnarray*}
x_4^2(1-x_4) \ge x_1x_2x_3(2x_4+1) &\Leftrightarrow& x_4^2(x_1+x_2+x_3) -x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2x_3x_4\\
&\Leftrightarrow& \dfrac{x_4(x_1+x_2+x_3)}{x_1x_2x_3} -\dfrac{1}{x_4} \ge 2\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\dfrac{1}{x_4} \le -2.
\end{eqnarray*}
Bất đẳng thức (1) được chứng minh xong.

Bài 10. Cho số tự nhiên $k>0$ và hai số thực $a, b$ sao cho $x^k + ax + 1$ chia hết cho $x^2 + bx + 1$ và phương trình $x^2 + bx + 1 = 0$ có hai nghiệm. Chứng minh $a(a-b)=0$.

Lời giải
Theo giả thiết tồn tại đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ sao cho $ x^k + ax + 1 = P(x)(x^2 + bx + 1) \ (1).$ Gọi $r_1, r_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 + bx + 1 = 0$. Khi đó $$(x – r_1)(x – r_2) = x^2 + bx + 1.$$

Theo định lý Viète $\begin{cases}
r_1 + r_2 = -b&\\
r_1r_2 = 1.&
\end{cases}$
Thay vào (1) ta được $$0 = \sum_{i=1}^2 \Big( r_i^k + ar_i + 1 \Big) = r_1^k + r_2^k + a(r_1 + r_2) + 2,$$
suy ra $$r_1^k + r_2^k = -a(r_1 + r_2) – 2 = ab – 2$$ và do đó $$ r_1^k + r_2^k = -a(r_1 + r_2) – 2 = ab – 2.$$
Sử dụng (1) một lần nữa ta được $$a^2r_1r_2 = (r_1^k + 1)(r_2^k + 1) = (r_1r_2)^k + r_1^k + r_2^k + 1.$$
Suy ra $a^2 . 1 = 1^k + (ab – 2) + 1 = ab \Leftrightarrow a(a-b)=0.$

Bài 11.  Cho $P(x) $ là một đa thức hệ số nguyên thỏa mãn các phương trình $P(x)=1, P(x)=2, P(x)=3$ có ít nhất một nghiệm nguyên lần lượt là $x_1, x_2, x_3$.

a) Chứng minh $x_1, x_2, x_3$ là nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.
b) Chứng minh rằng phương trình $P(x)=5$ có tối đa một nghiệm nguyên.

Lời giải

a) Vì phương trình $P(x)=2$ nhận $x=x_2$ làm nghiệm nên $$ P(x)=(x-x_2)q(x)+2 \ \ \ \ (1). $$

Vì $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên mà $x_2$ nguyên nên $q(x) \in \mathbb{Z}[x]$. Trong (1) lân lượt thay $x$ bởi $x_1, x_3$ ta được $$ \begin{cases}
1=P(x_1)=(x_1-x_2)q(x_1)+2&\\
3=P(x_3)=(x_3-x_2)q(x_3)+2.&
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
(x_1-x_2)q(x_1)=-1&\\
(x_3-x_2)q(x_3)=1&
\end{cases}.$$
Hơn nữa $x_1 \ne x_3$ nên $\begin{cases}
x_1-x_2=1&\\
x_3-x_2=-1&
\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}
x_1-x_2=-1&\\
x_3-x_2=1.&
\end{cases}$\

Trong hai trường hợp ta đều có $x_2=\dfrac{x_1+x_3}{2}$. Giả sử phương trình $P(x)=2$ còn có nghiệm nguyên $x_2′ \ne x_2$ áp dụng lại lập luận trên ta lại có $x_2’=\dfrac{x_1+x_3}{2}=x_2,$ mâu thuẫn. Vậy phương trình này chỉ có một nghiệm nguyên duy nhất là $x_2.$\

Tương tự cho hai phương trình còn lại.

b) Xét phương trình $P(x)=5$.\

Nếu phương trình này không có nghiệm nguyên thì bài toán là hiển nhiên.\

Nếu phương trình này có một nghiệm nguyên $x_5$ thì từ (1) suy ra $$ 5=P(x_5)=(x_5-x_2)q(x_5)+2 \Rightarrow (x_5-x_2)q(x_5)=3. $$

Suy ra $x_5-x_2 \in \{\pm 1, \pm 3\}$.\

Nếu $x_5-x_2=\pm 1$ thì $x_5$ phải trùng với $x_1$ hoặc $x_3$, vô lý.\

Nếu $x_5-x_2= \pm 3$. Vì phương trình $P(x)=3$ nhận $x_3$ làm nghiệm nên $$P(x)=(x-x_3)r(x)+3 \Rightarrow 5=P(x_5)=(x_5-x_3)r(x_5)+3.$$
Để ý rằng $r(x) \in \mathbb{Z}[x]$ nên từ $(x_5-x_3)r(x_5)=2$ nên $x_5-x_3 \in \{\pm 1, \pm 2\}$. Xét hai khả năng:

Trường hợp 1. $\begin{cases}
x_1-x_2=1&\\
x_3-x_2=-1&
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x_1=1+x_2&\\
x_3=-1+x_2&
\end{cases}$\

– Nếu $x_5-x_2=3 \Rightarrow x_5-x_3=3=(3+x_2)-(-1+x_2)=4$, mâu thuẫn.\

– Nếu $x_5-x_2=-3 \Rightarrow x_5-x_3=(-3+x_2)-(-1+x_2)=-2$, thỏa mãn.\

Tóm lại nếu $\begin{cases}
x_1-x_2=-1&\\
x_3-x_2=1&
\end{cases} \Rightarrow x_5-x_2=-3 \Rightarrow x_5=x_2-3$. Như thế $x_5$ xác định theo $x_1, x_2, x_3$ là duy nhất.\

Trường hợp 2.

Tương tự nếu $$\begin{cases}
x_1-x_2=-1&\\
x_3-x_2=1&
\end{cases} \Rightarrow x_5-x_2=3 \Rightarrow x_5=x_2+3. $$

Như vậy nghiệm nguyên của phương trình này nếu có là duy nhất, bài toán được chứng minh xong.

 

Bài tập rèn luyện

  1. Giả sử đa thức $P(x), Q(x), R(x), S(x) \in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn dẳng thức $$ P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x).$$
    Chứng minh rằng $P(x)$ chia hết cho $x-1$.
    a) Biết tích của hai trong bốn nghiệm của phương trình $x^4-18x^3+kx^2+200x-2016=0$ là $-32.$ Tìm $k$ .
    b) Biết đa thức $$P(x)=x^n-2nx^{n-1}+2n(n-1)x^{n-2}+...+a_0$$ có $n$ nghiệm thực. Tìm tất cả các nghiệm này.
  2. Giả sử đa thức $P(x)=ax^n-ax^{n-1}+c_2x^{n-2}+...+c_{n-2}x^2-n^2bx+b$ có đúng $n$ nghiệm dương. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm này bằng nhau.
    a) Giả sử $x_1, x_2$ là hai trong bốn nghiệm của đa thức $P(x)=x^4+x^3-1$. Chứng minh rằng $x_1x_2$ là nghiệm của đa thức $Q(x)=x^6+x^4+x^3-x^2-1$.
    b) Tìm tất cả các cặp số thực $a,b$ sao cho các đa thức $$P(x)=x^4+2ax^2+4bx+a^2 \ \text{và} \ Q(x)=x^3+ax+b$$ có chung hai nghiệm thực phân biệt.
  3. Cho đa thức $f(x)=3x^3-5x^2+2x-6$ có các nghiệm là $\alpha, \beta, \gamma$. Tính $$T=\Big(\dfrac{1}{\alpha-2}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{\beta-2}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{\gamma-2}\Big)^2.$$
  4. Gọi $r_1, r_2,...,r_7$ là các nghiệm phân biệt của đa thức $P(x)=x^7-7$. Đặt $\displaystyle K=\prod_{1 \le i<j \le 7}(r_i+r_j)$. Tính $K^2.$

 

Tài liệu tham khảo

  1. Phan Huy Khải, Đa thức.
  2. Nguyễn Hữu Điển, Đa thức và ứng dụng.
  3. Titu Andresscu, Navid Safaei, Alessandro Ventullo, Polynomial Problems.
  4. Tạp chí Mathematical Reflections.

 

Viết – Một kĩ năng quan trọng trong việc học toán.

Tôi có lần được nghe giáo sư Ngô Bảo Châu nói chuyện tại Hội trường khu đô thị ĐHQG TPHCM, tối hôm qua tôi lại thêm lần nữa nghe giáo sư nói chuyện trong một hoàn cảnh khác hẳn, đó là buổi tọa đàm trên nền tảng online Zoom, dưới sự dẫn dắt của GS Trần Vĩnh Hưng (bạn tôi) GS Châu và GS Long đã có một buổi nói chuyện vui vẻ, thoải mái đề cập nhiều vấn đề các HSSV và các bạn nghiên cứu toán quan tâm.
Trong buổi nói chuyện lần này, chủ đề không phải là các vấn đề đao to búa lớn như lần trước, mà GS Hưng đã đặt ra các câu hỏi trọng tâm xoay quanh việc giảng dạy nghiên cứu toán của các giáo sư. Câu chuyện đề cập các vấn đề về những thuận lợi khó khăn trong việc nghiên cứu giảng dạy trong điều kiện dịch Covid đang tàn phá dữ dội, những kỉ niệm, thách thức trong qua trình tìm ra những công trình giá trị, hay các phương pháp, kĩ năng, tính cách cần thiết của các bạn muốn làm nghiên cứu cũng nhưng cơ hội của các bạn HSSV trong giai đoạn sắp tới. Các vấn đề đều được nêu ra và giải đáp tận tính, vô tư cấp thiết.
Trong câu chuyện này tôi cũng thấy được một vấn đề mà phù hợp với mình để chia sẻ với mọi người: đó là kĩ năng viết khi cần cụ thể hóa một ý tưởng hay một cách chứng minh. Các GS có kể về một số chuyện vui xung quanh vấn đề này, nhưng tựu trung mọi người đề đánh giá kĩ năng viết là một kĩ năng quan trọng mà các em cần phải luyện tập ngay trong nhà trường phổ thông.
Tôi thường được giao nhiệm vụ dạy chuyên toán 10, thưởng xuyên gặp các bạn học sinh rất giỏi, rất thông minh nhạy bén với các ý tưởng, nhưng khi lên bảng trình bày thì đó là thảm họa: Các em thường trình bày lung tung, sử dụng kí hiệu loạn xạ và cuối cùng không ai hiểu được bạn viết gì. Tôi tìm hiểu kĩ hơn về các bạn này, thường các bài kiểm tra với các bài toán dễ điểm cũng khá thấp vì làm sai,..và dần dần tôi phát hiện các bạn không bao giờ trình bày một cách cụ thể các bài toán dễ, thường chỉ ghi đáp số, hoặc ghi một vài ý, từ gì đó mà tôi không biết, kiểu áp dụng định lí abc, áp dụng tính chất xyz rồi bỏ sang bài khác. Các bạn không có thói quen trình bày rõ rang một bài toán cụ thể nào đó, đến khi gặp những bài khó hơn, rắc rối hơn thì lại viết linh tinh. Trong lúc dạy tôi hay đặt mình vai là học sinh kém nhất lớp khi đọc lời giải các bạn, tôi phải hiểu được các bạn viết thì các bạn khác mới hiểu được.
Hiện nay toán trắc nghiệm dần trở nên phổ biến, ngay cả từ cấp học nhỏ tuổi các bạn chỉ giải các bài toán chỉ cần khoanh đáp số, hoặc điền khuyết đáp số mà vẫn có giải này giải kia, do đó việc trình bày bài toán rõ ràng không được xem trọng, đến khi gặp các bài toán phức tạp hơn thì không trình bày được.
Ngoài kĩ năng viết, việc trình bày tập cũng rất đáng chú ý, có nhiều bạn học sinh lại viết rất nhiều môn vào một cuốn tập, trước viết bài, sau thì làm nháp, bìa thì thì không có tên họ, viết lung tung, ..rất cẩu thả, khi đánh máy cũng đánh máy ẩu, kí hiệu dùng không chuẩn xác, tạo thành một cái lẩu thập cẩm không hiểu viết gì.
Kĩ năng viết, trình bày lời giải thật rất quan trọng, có thể viết dài, nhưng mọi thứ phải chặt chẽ rõ ràng, triển khai các ý logic, sử dụng kí hiệu đúng đắn phù hợp cho hoàn cảnh, các em hãy luyện tập kĩ năng này với các bài toán dễ nhất, đơn giản nhất, từ đó áp dụng cho các bài toán khó hơn phức tạp hơn, tạo tiền đề đi xa hơn.
Cảm ơn các GS Châu, GS Long và GS Hưng đã có một buổi tọa đàm thật sự bổ ích cho các bạn đam mê toán, đang tìm kiếm các cơ hội để đi xa hơn với toán học.

Chỉnh hợp – Hoán vị – Tổ hợp

Chỉnh hợp

Mỗi cách sắp xếp $k$ phần tử (phân biệt) vào $n$ vị trí phân biệt ($n\geq k$) được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$.

Tính chất. Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là $$A_n^k = \dfrac{(n!)}{(n-k)!}$$

Hoán vị. 

Mỗi chỉnh hợp chập $n$ của $n$ được gọi là một hoán vị, hay mỗi cách sắp xếp $n$ phần tử vào $n$ vị trí được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử. Số hoán vị của $n$ phần tử là $P_n = n!$.


Định nghĩa khác. Cho tập $A = {1, 2, \cdots, n}$. Mỗi song ánh từ $A$ vào $A$ được gọi là một hoán vị.

Ví dụ 1. Có 8 bạn nam và 2 bạn nữ được xếp thành một hàng dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thỏa:

a) Xếp bất kì.
b) 8 bạn nam kề nhau,2 bạn nữ kề nhau.
c) Các bạn nam giữa hai bạn nữ.

Ví dụ 2. Có 8 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn này thành một hàng sao cho không có hai bạn nữ nào đứng kề nhau.

Ví dụ 3.  Cho tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$. Từ $A$ có thể lập được bao nhiêu số

a) Là số chẵn có 4 chữ số khác nhau.
b) Là số lẻ có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

 

Tổ hợp. Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Một tập hợp con có $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

Tính chất. Số tổ hợp có chập $k$ của $n$ là: [C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!} = \dfrac{n!}{(n-k)! k!}]

Ví dụ 4. Đội văn nghệ của trường gồm 4 bạn học sinh lớp 10, 5 học sinh lớp 11, 4 học sinh lớp 12.

a) Có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn hát song ca?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn hát tam ca mà mỗi khối có một học sinh?
c) Có bao nhiêu cách chọn ra một đội múa gồm 5 bạn trong đó có ít nhất 2 học sinh lớp 11.

Ví dụ 5. Cho tập $A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, }$, $C = {x, y, z}$.

a) Có bao nhiêu song ánh từ $A$ vào $B$.
b) Có bao nhiêu ánh xạ từ $A$ vào $C$? Có bao nhiêu đơn ánh từ $C$ vào $A$.
c) Có bao nhiêu đơn ánh từ $C$ và $A$ sao cho $f(x) + f(y) + f(z)$ là số chẵn.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tập $A = {0, 1, 2, 3, 4,5,6, a, b, c, d}$

a) Có bao nhiêu hoán vị của $A$.
b) Có bao nhiêu hoán vị của $A$ mà các chữ số đứng kề nhau.
c) Có bao nhiêu hoán vị của $A$ mà không có chữ cái nào đứng kề nhau?

Bài 2. Cho tập $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$

a)Từ A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau.
b) Có bao nhiêu hoán vị của A mà hai chữ số lẻ không đứng kề nhau.
c) Từ A có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
d) Từ A có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3.

Bài 3. Xếp $ m $ bạn nam và $ n $ bạn nữ thành 1 hàng, với $m,n\in \mathbb{N}$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:

a) Xếp tùy ý;
b) Không có bạn nam nào đứng cạnh nhau $\left( m\le n+1 \right);$
c) $ n $ bạn nữ đứng liền kề nhau;
d) Một bạn nam A và một bạn nữ B đứng cạnh nhau.

Bài 4. Tính: $1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdot \cdot \cdot +n\cdot n!,n\in \mathbb{N}.$

Bài 5. Tính: $\dfrac{1}{\left( 1+1 \right)!}+\dfrac{2}{\left( 2+1 \right)!}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{n}{\left( n+1 \right)!}$ với $n\in \mathbb{N}.$

Bài 6. Cho $n,r\in \mathbb{N}$ với $r\le n.$ Chứng minh rằng:

a) $A_{n}^{r}=nA_{n-1}^{r-1};$
b) $A_{n}^{r}=\left( n-r+1 \right)A_{n}^{r-1};$
c) $A_{n}^{r}=\dfrac{n}{n-r}A_{n}^{r-1},$ với $r<n;$
d) $A_{n+1}^{r}=A_{n}^{r}+rA_{n}^{r-1};$
e) $A_{n+1}^{r}=r!+r\left( A_{n}^{r-1}+A_{n-1}^{r-1}+…+A_{r}^{r-1} \right).$

Bài 7. Một nhóm có 15 hóc sinh, trong đó có 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 9 học sinh sao cho có đúng 3 học sinh nữ:

a) để thành lập một hội đồng.
b) để thành lập một hội đồng với 9 vị trí khác nhau.

Bài 8. Có 10 cái ghế được xếp thành một hàng. 7 học sinh được xếp vào 7 cái ghế sao cho không có 2 học sinh nào ngồi chung một cái ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho không có 2 cái ghế trống nào liền nhau.

Bài 9. Có 8 cái hộp được xếp thành hàng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt 5 viên bi khác nhau vào các hộp nếu mỗi hộp chứa nhiều nhất 1 viên bi và không có hai hộp không chứa bi nào đứng cạnh nhau?

Bài 10. Xếp một nhóm có 20 học sinh, trong đó có 3 bạn nữ là: A, B, C và 4 bạn nam: X,Y,Z,T thành 2 hàng, mỗi hàng 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 bạn nữ luôn ở hàng trước, còn 4 bạn nam ở hàng phía sau.

Bài 11. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 bạn nam và 2 bạn nữa thành một hàng sao cho các bạn gái cách nhau bởi đúng 3 bạn nam?

Bài 12. Tìm số $(m+n)$-nhị phân là một dãy chữ số với $ m $ số 0 và $ n $ số 1 sao cho không có 2 số 1 nào đứng kề nhau, khi $n\le m+1.$

Bài 13. Lớp A có 10 bạn nữ và 15 bạn nam và lớp B có 4 nữ và 10 nam. Một hội đồng gồm 7 thành viên được chọn từ 2 lớp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các thành viên sao cho có đúng 4 bạn của lớp B và có đúng 5 bạn nam.

Bài 14. Trong mỗi trường hợp sau, tìm số tuyến đường ngắn nhất từ $ O $ đến $ P $ trong sơ đồ được cho dưới đây:
a) Tuyến đường phải đi qua $ A $.
b) Tuyến đường phải qua đoạn $AB$.
c) Tuyến đường phải đi qua $A$ và $C$.
d) Đoạn đường $AB$ bị đóng.

Bài 15. Tìm số cách chọn một nhóm gồm $ 2k $ người từ $n$ cặp đôi, với $k,n\in \mathbb{N}$ và $2k\le n,$ trong mỗi trường hợp sau đây:

a) Có $k$ cặp đôi trong nhóm đó.
b) Không có cặp đôi nào trong nhóm đó.
c) Có ít nhất một cặp đôi được chọn trong nhóm.

d) Có đúng 2 cặp đôi được chọn trong nhóm đó.

Bài 16. Cho một đa giác có 10 đỉnh.

a) Có bao nhiêu đường chéo.
b) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh thuộc đa giác.
c) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh trùng với cạnh của đa giác.
d) Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào trùng với cạnh của đa giác.
e) Biết rằng không có 3 đường chéo nào đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường chéo.

Bài 17. Cho đa giác đều có 100 cạnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật tạo ra từ các đỉnh của đa giác trên.

Bài 18. Cho A là tập hợp các số nguyên dương từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu tập con có 3 phần tử của A thỏa:

a) Tổng các số chia hết cho 3
b) Tổng các số chia hết cho 4.

Bài 19. Chung kết cuộc thi tiếng hát học đường có 3 bạn vào chung kết, mỗi bạn hát 2 bài khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho không có ai hát liên tiếp.

Bài 20. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 số từ tập $A = {1, 2, \cdots, 100}$ sao cho một số là trung bình cộng của hai số còn lại.

Đối xứng trục – Đối xứng tâm

Đối xứng trục

Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu $d$ là trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng $d$ nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua $d$ thì thuộc hình kia và ngược lại.

Đường thẳng $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $H$ nếu mỗi điểm thuộc hình $H$ lấy đối xứng qua $d$ cũng thuộc hình $H$.

Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng qua trung điểm của hai đáy.

Đối xứng tâm

Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.\
– Quy ước: Điểm đối xứng với điểm $O$ qua điểm $O$ cũng là điểm $O$

Điểm $O$ gọi là tâm đối xứng của hình $H$ nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình $H$ qua điểm $O$ cũng thuộc hình $H$. Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình $H$ có tâm đối xứng $O$.

Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $BC, AC$ và $AB$. $X$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là điểm đối xứng của $X$ qua $M, N, P$. Chứng minh $AA’, BB’$ và $CC’$ đồng quy.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$, $E$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AC$.

a) Chứng minh $A$ là trung điểm của đoạn $DE$.
b) Tứ giác $BDEC$ là hình gì? Tại sao?
c) Gọi $F$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng tam giác $FDE$ cân.
d) $EH$ cắt $BD$ tại $G$. Chứng minh $BG = BD$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, về phía ngoài tam giác $ABC$ dựng các tam giác $BAD$ vuông cân tại $A$, $CAE$ vuông cân tại $A$. Dựng hình bình hành $ADFE$.

a) Chứng minh $CD = BE$ và $CD \perp BE$.
b) Chứng minh $AF = BC$ và $AF \perp BC$
c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $AM \perp DE$ và $AM = \dfrac{1}{2} DE$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn, điểm $D$ thuộc cạnh $BD$. Tìm các điểm $E$ thuộc $AB$ và $F$ thuộc $AC$ sao cho tam giác $DEF$ có chu vi nhỏ nhất.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $ABD$ vuông cân tại $B$, tam giác $ACE$ vuông cân tại $C$. Vẽ đường cao $AH$. Trên tia đối của tia $AH$ lấy điểm $D$ sao cho $AP = BC$. Chứng minh rằng $BE$, $CD$ và $PH$ đồng quy.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $AB$, đường thẳng qua $C$ vuông góc $AC$ cắt nhau tại $K$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.
a) Tứ giác $BHCK$ là hình gì? Tại sao?
b) Tứ giác $BPKC$ là hình gì? Tại sao?

Hình bình hành

Định nghĩa. Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song.

Tính chất và dấu hiệu nhận biết.

Một tứ giác là hình bình hànnh khi và chỉ khi:

  • Có 2 cặp cạnh đối song song.
  • Có hai cặp cạnh đối bằng nhàu.
  • Có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
  • Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD $ có $AC \bot BD$. Dựng các hình bình hành BCED và BDCF. \begin{enumerate}
a) Chứng minh $C$, $E$, $F$ thẳng hàng.
b) Chứng minh tam giác $AEF$ cân.

Gợi ý

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cạnh đối diện và các đoạn nối trung điểm của hai đường chéo đồng qui.

Gợi ý

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc $AC$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $AB$ cắt nhau tại $F$.

a)Tứ giác $HBFC$ là hình gì? Tại sao?
b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $H$, $M$, $F$ thẳng hàng.
c) Đường thẳng qua $F$ song song $BC$ cắt $AH$ tại $G$. Tứ giác $BGFC$ là hình gì? Tại sao?

Gợi ý

Bài 4. Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $BM$ và $CN$. Trên tia đối của tia $MB$, $NC$ lấy các điểm $D$ và $E$ sao cho $DM = MB, NE = NC$.

a) Tứ giác $ABCD$, $ACBE$ là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.

Gợi ý

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng $d$ qua $A$ không cắt các cạnh của hình bình hành. Gọi $M, N, P$ là hình chiếu vuông góc của $B$, $C$ , $D$ trên $d$. Chứng minh $BM + DP = 2CN$.

Gợi ý

Đường trung bình

Định nghĩa. Trong tam giác đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác được gọi là đường trung bình của tam giác đó.

Tính chất.

  • Đường trung bình của tam giác là đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
  • Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Định nghĩa. Trong một hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên đường gọi là đường trung bình của hình thang.

Tính chất.

  • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
  • Đường thẳng qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai đáy thì qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ có $AD = BC$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$; đường thẳng $MN$ cắt các đường thẳng $AD$ và $BC$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $ \widehat{DPN} = \widehat{CQN} $.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, trên tia $BA$ và tia đối $CA$ lấy điểm $M$, $N$ thay đổi sao cho $BM = CN$.

a) Chứng minh rằng $BC$ đi qua trung điểm đoạn $MN$.
b) Gọi $H$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$, $N$ trên đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng $HK$ có độ dài không đổi.

Bài 3. Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB // CD$, $AB < CD$, $ \widehat{ACD} = 45^\circ $. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ACD$. Chứng minh rằng $CH = CB$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Trên cạnh $AC$ ta lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $AD = DE = EC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BD$.

a) Chứng minh $ME // BD$.
b) Chứng minh $I$ là trung điểm của $AM$.
c) Chứng minh $IB =3ID$.
d) Lấy trên $AB$ một điểm $F$ sao cho $ AF = \dfrac{1}{3}AB $. Chứng minh ba điểm $C$, $I$, $F$ thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$, vẽ $MH \bot AC$ ($H$ thuộc $AC$). Gọi $N$ là trung điểm $MH$, chứng minh $AN$ vuông góc $BH$.

Hình thang

Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song.

Trong hình 2, hình thang $ABCD$ có cạnh đối $AB\parallel CD$.

  • $AB, CD$ là cạnh đáy.
  • $AD, BC$ cạnh bên.

Định nghĩa 2.

1) Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

2) Hình thang cân. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Định lý 1. Trong một hình thang cân thì 2 đường chéo bằng nhau và 2 cạnh bên bằng nhau.

Chứng minh.

Định lý 2. Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

  • Hình thang có hai góc kề đáy bằng nhau là hình thang cân.
  • Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1. Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình thang trong các trường hợp sau:

a) $\angle A +\angle D= \angle B+ \angle C$.
b) $\angle A = 2\angle D = 3\angle B$ và $C = 140^\circ$.

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AD$ và đường chéo $DB$ cũng đồng thời là phân giác góc $D$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang.

Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ AH $ là đường cao. Tia phân giác của góc $ B $ cắt $ AC $ tại $ M $. Từ $ M $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ AH $ cắt $ AB $ tại $ N $.

a)Chứng minh rằng tứ giác $ BCMN $ là hình thang.
b) Chứng minh rằng $ BN = MN. $

Gợi ý

Bài 4. Cho hình thang $ ABCD $ ($ AB $ và $ CD $ là hai đáy và $ AB < CD $), $ AD = BC = AB $, $ \widehat{BDC}= 30^\circ. $ Tính các góc của hình thang.

Gợi ý

Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ $ (AB < AC) $. Trên tia $ AC $ lấy điểm $ N $ sao cho $ AN = AB $, trên tia $ AB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ AM = AC $. Chứng minh rằng tứ giác $ BMCN $ là hình thang.

Gợi ý

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại đỉnh $A$. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác $ABD$ vuông cân tại $D$ và $AEC$ vuông cân tại $E$.

a) Chứng minh $BDEC$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $ED\sqrt{2} = BD + CE$.

Gợi ý

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại $A$. Kẻ đường cao $AH$. Một điểm $M$ thuộc cạnh huyền $BC$ sao cho $CM = CA$. Đường thẳng qua $M$ song song với $CA$ cắt $AB$ tại điểm $I$.

a) Chứng minh tứ giác $ACMI$ là hình thang vuông.
b) Chứng minh $MI = MH$ và $AI = AH$.
c) Chứng minh bất đẳng thức $AB + AC < AH + BC$.

Gợi ý

Bài 8. Cho tam giác $ABC $ vuông cân tại $A $. Trên các cạnh $AB $, $AC $ lấy các điểm $M $, $N $ sao cho $AM = AN $

a)Tứ giác $BMNC $ là hình gì? Vì sao?
b) Gọi $I $ là giao điểm của $BN $ và $CM $. Chứng minh $ IA \bot MN. $

Gợi ý

Bài 9. Cho hình thang cân $ABCD $ có $AB // CD$, $CD = 3AB$. Gọi $H$, $K $là hình chiếu của $A $, $B $ trên $CD $.

a) Chứng minh $DH = CK $.
b) Tứ giác $ABCK $ là hình gì? Vì sao?
c) Gọi $I $ là giao điểm của $BD $ và $AH $, $O $ là giao điểm của $AC $ và $ BK $. Chứng minh rằng đường thẳng $IO $ đi qua trung điểm $AD $, $BC $.

Gợi ý

Định lý Carnot

Ta bắt đầu với định lí 4 điểm, được sử dụng trong việc chứng minh các đường thẳng vuông góc.

Định lý 1. Cho các đoạn thẳng $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $AB$ vuông góc $CD$ khi và chỉ khi $$AC^2 – AD^2 = BC^2 – BD^2$$

Chứng minh. Chứng minh định lí ta có thể dụng định lí pitago  hoặc có thể dùng trục đẳng phương (thực ra cũng tương đương như dùng pitago)

Xét các đường tròn $(C;CA)$ và $(D;DA)$ ta có $BC^2 – CA^2 = BD^2 – BD^2$
hay $P_{B/(C;CA)} = P_{B/(D;DA)}$.
Do đó $AB$ là trục đẳng phương của $(C)$ và $(D)$ nên $AB \bot CD$.

Định lý 2. (Định lý Carnot) Cho tam giác $ABC$, các điểm $M, N, P$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, AC$ và $AB$. Khi đó đường thẳng qua $M, N, P$ lần lượt vuông góc $BC, AC$ và $AB$ đồng quy khi và chỉ khi $$MB^2 – MC^2 + NC^2 – NA^2 + PA^2 -PB^2 = 0$$

Chứng minh.

Gọi $X$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc $AB$ và đường thẳng qua $N$ vuông góc $AC$. Theo định lí 4 điểm ta có
$XA^2 – XB^2 = PA^2 – PB^2$ và $XC^2 – XA^2= NC^2 – NA^2$
Khi đó $PA^2-PB^2 + NC^2- NA^2 = XC^2-XB^2$.\
Do đó $XM$ vuông góc với $BC$ khi và chỉ khi $XC^2-XB^2 = MC^2 -MB^2$\
hay $PA^2-PB^2 +NC^2+NA^2 = MC^2-MB^2 \Leftrightarrow MB^2 – MC^2 + NC^2 – NA^2 + PA^2 -PB^2 = 0$.

Tứ giác

Định nghĩa. Tứ giác $ABCD$ là hình gồm các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$.

Định lí. Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $\angle A = 70^\circ$. Các tia phân giác $BD, CE$ của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$; các tia phân giác ngoài của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $J$.

a)Tính số đo các góc của tứ giác $BICJ$.
b) hứng minh $A$, $I$, $J$ là ba điểm thẳng hàng.
c) Tứ giác $ABIC$ có phải là tứ giác lồi không? Vì sao?

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I, J$ theo thứ tự là giao điểm của các phân giác trong và phân giác ngoài của các góc $A, B$.

a) Chứng minh rằng $\angle AIB = \dfrac{1}{2}(\angle C+ \angle D)$; $\angle AJB = \dfrac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.
b) Chứng minh rằng $\angle AIB $ và $\angle AJB$ là hai góc bù nhau.

Bài 3. Cho tứ giác $ABCD$ có $\angle ACB = \angle ADB = 25^\circ, \angle BDC = 60^\circ, \angle ACD = 30^\circ$, góc ngoài của góc $A$ bằng $55^\circ$. Tính số đo các góc $\angle CAB, \angle DBA, \angle ABC$.

Bài 4.  Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng:

a) $AC + BD < AB + BC + CD + DA$.
b) $AB + BC+ CD + DA < 2(AC + BD)$.

Bài 5.  Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat C = 180^\circ$, các tia $DA, CB$ cắt nhau tại $E$, tia $BA, CD$ cắt nhau tại $F$. Phân giác của góc $\widehat {DEC}$ và phân giác của góc $\widehat {CFB}$ cắt nhau tại $H$. Tính $\widehat {EHF}$.

Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{ADB} = 10^\circ, \widehat {BDC} = 50^\circ, \widehat {ACD} = 60^o\circ , \widehat {ACB }= 20^o\circ$. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác $ABCD$.

Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$ có tam giác $ACD$ đều, tam giác $ACB$ cân tại $C$ và $\angle ACB = 20^0$.

a) Tính số đo góc $A,B$ của tứ giác.
b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC, BD$. Tính số đo các góc $\widehat {ABD}, \widehat {COD}$.

Bài 8.  Cho tứ giác $ABCD$ có $AB+BD$ không lớn hơn $AC+CD$. Chứng minh $AB < AC$.

Bài 9. Cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $O$ nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ $O$ đến các đỉnh của tứ giác thì lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Đường thẳng Euler

Định lý. Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng.

(Đường thẳng qua 3 điểm này được gọi là đường thẳng Euler của tam giác)

Chứng minh định lý.

Cách 1. (THCS) Cho tam giác $ABC$, gọi $H, G, O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ta chứng minh $H, G, O$ thẳng hàng.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là đối xứng của $A$ qua $O$. Ta có $HBDC$ là hình bình hành.

Do đó $M$ là trung điểm $BC$ cũng là trung điểm $HD$.

Tam giác $AHD$ có $AM$ là trung tuyến và $AG = 2GM$ nên $G$ là trọng tâm.

Cách 2 (Vectơ) 

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, tâm ngoại tiếp là $O$, $G$ là trọng tâm tam giác. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là chân đường cao từ $A$.
Ta cần chứng minh $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$. Thật vậy đặt $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OH}$.
Thực hiện phép chiếu vectơ $\overrightarrow{v}$ trên $BC$ ta có $\overrightarrow{v_{BC}} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}$.
Tương tự hình chiếu của $\overrightarrow{v}$ trên $AC$ là $\overrightarrow{v_{AC}} = \overrightarrow{0}$.
Do đó $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$.
Khi đó $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$, do đó $O, H, G$ thẳng hàng và $OH = 3OG$.

Cách 3 (phép vị tự) Xét phép vị tự tâm $G$ thì số $k = \dfrac{-1}{2}$ thì tam giác $ABC$ biến thành tam giác $MNP$ với $M, N, P$ là trung điểm các cạnh $BC, AC, AB$.

Khi đó trực tâm tam giác $ABC$ biến thành trực tâm tam giác $MNP$, hay $H \mapsto O$.

Do đó $\overrightarrow{GO} = \dfrac{-1}{2} \overrightarrow{GH}$.

Hay $H, G, O$ thẳng hàng và $GH = 2GO$.

 

Bài tập liên quan

Bài 1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng đường thẳng euler của các tam giác $ABC$ và $MNQ$ trùng nhau.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, các đường cao $AA’, BB’, CC’$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng đường thẳng euler của các tam giác $AB’C’, BA’C’, CA’B’$ đồng quy tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A’B’C’$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = 2BC^2$. Gọi $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tia $MH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $D$. Chứng minh $AD, BC$ và đường thẳng euler của tam giác $ABC$ đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là giao điểm của $AI, BI, CI$ với $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng euler của tam giác $A’B’C’$ đi qua điểm $I$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB, AC$ tại $D, E$. Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $BI, CI$ với $DE$; $P$ là giao điểm của $BN$ và $CM$, $AI$ cắt $(O)$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là đường thẳng euler của tam giác $IBC$.

Bài 6. Cho hai đường tròn (O) và $(O’)$ cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D (A nằm giữa C và D). Chứng minh rằng đường thẳng euler của tam giác BCD luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 7. Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. DE cắt đường tròn đường kính BH lần 2 tại K, DF cắt đường tròn đường kính CH lần 2 tại L. Chứng minh KL vuông góc với đường thẳng Euler của tam giác ABC

Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $T, U, V$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BOC, COA, AOB$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $TUV$. Chứng minh $K$ thuộc đường thẳng euler của tam giác $ABC$.

Bài 9. Cho tam giác $ABC$, $D$ là điểm thuộc phân giác trong của góc $\angle BAC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $EF$ vuông góc với $OD$.