ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 7

Bài 1.

a. Tính: $\mathrm{A}=1 \frac{13}{15} \cdot(0,5)^2 \cdot 3+\left(\frac{8}{15}-1 \frac{19}{60}\right): 1 \frac{23}{24}$
b. So sánh: $16^{20}$ và $2^{100}$

Hướng dẫn giải

a. Biến đổi:

$$
\begin{aligned}
& A=\frac{7}{5}-\frac{47}{60}: \frac{47}{24} \
& =\frac{7}{5}-\frac{2}{5} \
& =1
\end{aligned}
$$

b. Biến đổi: $16^{20}=2^{4.20}=2^{80}$

$$\text { Có } 2^{80}<2^{100} \text { vì }(1<2 ; 80<100)$$

Vậy $16^{20}<2^{100}$

Bài 2.
a. Tìm $x$ biết: $|2 x-7|+\dfrac{1}{2}=1 \dfrac{1}{2}$
b. Tìm số tự nhiên n biết: $3^{-1} \cdot 3^n+4.3^n=13.3^5$

Hướng dẫn giải

a. $\text { Ta có }|2 x-7|+\dfrac{1}{2}=1 \frac{1}{2} \Rightarrow|2 x-7|=1$
$\Rightarrow 2 x-7=1 \text { hoặc } 2 x-7=-1$
$\Rightarrow x=4 \text { hoặc } x=3$
Vậy $x=4$ hoặc $x=3$.

b. $\text { Biến đổi được } 3^n \cdot\left(3^{-1}+4\right)=13 \cdot 3^5$
$\Rightarrow 3^n=3^6$
$\Rightarrow \mathrm{n}=6$

Bài 3.
a. Cho dãy tỉ số bằng nhau:
$\dfrac{2 a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2 b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2 c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2 d}{d}$
Tính giá trị biểu thức Q , biết $\mathrm{Q}=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{d+a}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$

b. Cho biểu thức $M=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}$ với $x, y, z$, t là các số tự nhiên khác 0 . Chứng minh $M^{10}<1025$.

Hướng dẫn giải

a. Biến đổi: $\dfrac{2 a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2 b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2 c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2 d}{d}$

$\dfrac{2 a+b+c+d}{a}-1=\dfrac{a+2 b+c+d}{b}-1=\dfrac{a+b+2 c+d}{c}-1=\dfrac{a+b+c+2 d}{d}-1$
$\dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+d}{d}$
$+ \text { Nếu } \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d} \neq 0 \text { thì } \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=\mathrm{d}=>\mathrm{Q}=1+1+1+1=4$
$+ \text { Nếu } \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0\text { thì } \mathrm{a}+\mathrm{b}=-(\mathrm{c}+\mathrm{d}) ;$ $\mathrm{b}+\mathrm{c}=-(\mathrm{d}+\mathrm{a}) ; \mathrm{c}+\mathrm{d}=-(\mathrm{a}+\mathrm{b}) ; \mathrm{d}+\mathrm{a}=-(\mathrm{b}+\mathrm{c})$
$\Rightarrow \mathrm{Q}=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4$
$\mathrm{KL}: \text { Vậy } \mathrm{Q}=4 \text { khi } a+b+c+d \neq 0$

$\text { b. Ta có: } \dfrac{x}{x+y+z}<\dfrac{x}{x+y}$
$\dfrac{y}{x+y+t}<\dfrac{y}{x+y} $
$\dfrac{z}{y+z+t}<\dfrac{z}{z+t} $
$\dfrac{t}{x+z+t}<\dfrac{t}{z+t}$
$\Rightarrow \mathrm{M}<\left(\dfrac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}+\dfrac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}\right)+\left(\dfrac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}+\mathrm{t}}+\dfrac{\mathrm{t}}{\mathrm{z}+\mathrm{t}}\right) $
$\Rightarrow \mathrm{M}<2 $
$\text { Có }M^{10}<2^{10}(\text { Vì } M>0) \text { mà } 2^{10}=1024<1025$
$\text { Vậy } \mathrm{M}^{10}<1025$
KL: Vậy $\mathrm{n}=6$

Bài 4.
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi $M$ là trung điểm $\mathrm{BC}, \mathrm{D}$ là điểm thuộc đoạn $\mathrm{BM}(\mathrm{D}$ khác B và M ). Kẻ các đường thẳng $\mathrm{BH}, \mathrm{CI}$ lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I . Chứng minh rằng:
a. $\mathrm{BAM}=\mathrm{ACM}$ và $\mathrm{BH}=\mathrm{AI}$.
b. Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc $\widehat{\mathrm{A}}=90^{\circ}$. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở E . Chứng minh rằng $\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=\mathrm{BC}+\mathrm{DE}$.

Hướng dẫn giải

$ \text { a. } \text { * Chứng minh: } B A M=A C M$
$+ \text { Chứng minh được: } \triangle \mathrm{ABM}=\triangle \mathrm{ACM}(\mathrm{c}-\mathrm{c}-\mathrm{c})$
$\text { + Lập luận được: } B A M=C A M=45^{\circ}$
$\text { + Tính ra được } A C M=45^{\circ}$
$\Rightarrow B A M=A C M$
$\text { * Chứng minh: } \mathrm{BH}=\mathrm{AI} \text {. }$
$\text { + Chỉ ra: } B A H=A C I \text { (cùng phụ } D A C)$
$\text { + Chứng minh được } \triangle \mathrm{AIC}=\Delta \mathrm{BHA}(\text { Cạnh huyên – góc nhọn) }$
$\Rightarrow \mathrm{BH}=\mathrm{AI}(2 \text { cạnh tương ứng) }$

b. Tam giác MHI vuông cân.

Chứng minh được $A M \perp B C$
Chứng minh được $\mathrm{AM}=\mathrm{MC}$
Chứng minh được $H A M=I C M$
Chứng minh được $\Delta \mathrm{HAM}=\Delta \mathrm{ICM}(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c})$
$\Rightarrow \mathrm{HM}=\mathrm{MI}$ (1)
Do $\triangle \mathrm{HAM}=\triangle \mathrm{ICM} \Rightarrow H M A=I M C \Rightarrow H M B=I M A$ (do $A M B=A M C=90^{\circ}$
Lập luận được: $H M I=90^{\circ}$ (2)
Từ (1)(2)=>$\Delta$ MHI vuông cân $\left({ }^{ }\right)$
Từ (1) và (2)=>$\Delta \mathrm{MHI}$ vuông cân

$\text { + Chứng minh được : }$
$A E \mathrm{C}=A B C+B A E=H A D+D A C+B A E=E A H+H A D+D A C=E A C$
$\text { (Vì } B \text { và } H A C \text { cùng phụ với } B A H \text { ) }$
Suy ra tam giác AEC cân tại C $\Rightarrow\mathrm{AC}=\mathrm{CE}$ (1)
Tương tự chứng minh được $ \mathrm{AB}=\mathrm{BD}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=\mathrm{BD}+\mathrm{EC}=\mathrm{ED}+\mathrm{BC}$

Bài 5. Cho $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là 3 số thực tùy ý thỏa mãn $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$ và $-1 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1$, $-1 \leq z \leq 1$. Chứng minh rằng đa thức $x^2+y^4+z^6$ có giá trị không lớn hơn 2 .

Hướng dẫn giải

+) Trong ba số $x, y, z$ có ít nhất hai số cùng dấu.
Giả sử $x ; y \geq 0$
$\Rightarrow \mathrm{z}=-\mathrm{x}-\mathrm{y} \leq 0$
$+\mathrm{Vì}-1 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1,-1 \leq z \leq 1=>x^2+y^4+z^6 \leq|x|+|y|+|z|$
$\Rightarrow x^2+y^4+z^6 \leq x+y-z$
$\Rightarrow x^2+y^4+z^6 \leq-2 z$
$+)-1 \leq z \leq 1 \text { và } \mathrm{z} \leq 0 \Rightarrow x^2+y^4+z^6 \leq 2$
KL: Vậy $x^2+y^4+z^6 \leq 2$













HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Ví dụ 1: Cho góc bẹt $A O B$ và tia $O M$ sao cho $\widehat{A O M}=60^{\circ}$. Vẽ tia $O N$ nằm trong góc $B O M$ sao cho $O N \perp O M$. Chứng tỏ rằng $\widehat{B O N}=\dfrac{1}{2} \widehat{A O M}$.

Tìm cách giải

Muốn so sánh hai góc $B O N$ và $A O M$ ta cần tính số đo của chúng.
Đã biết số đo của góc $A O M$ nên chỉ cần tính số đo của góc $B O N$.

Hướng dẫn giải

Hai góc $A O M$ và $B O M$ kề bù nên $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{B O M}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$. Vì $O M \perp O N$ nên $\widehat{M O N}=90^{\circ}$.
Tia $O N$ nằm trong góc $B O M$ nên $\widehat{B O N}+\widehat{M O N}=\widehat{B O M}$
$\Rightarrow \widehat{B O N}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$. Vì $30^{\circ}=\dfrac{1}{2} \cdot 60^{\circ}$ nên $\widehat{B O N}=\dfrac{1}{2} \widehat{A O M}$.

Ví dụ 2: Cho góc bẹt $A O B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ vẽ các tia $O E, O F$ sao cho $\widehat{A O E}=\widehat{B O F}<90^{\circ}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc $E O F$. Chứng tỏ rằng $O M \perp A B$.

Tìm cách giải

Để chứng tỏ $O M \perp A B$ ta cần chứng tỏ góc $A O M$ hoặc góc $B O M$ có số đo bằng $90^{\circ}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat{A O E}=\widehat{B O F} ; \widehat{M O E}=\widehat{M O F}$ (đề bài cho)
$$
\Rightarrow \widehat{A O E}+\widehat{M O E}=\widehat{B O F}+\widehat{M O F} \text {. }
$$

Tia $O E$ nằm giữa hai tia $O A, O M$; tia $O F$ nằm giũa hai tia $O B, O M$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O M}=\widehat{B O M}$. Mặt khác, $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{A O M}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$, suy ra $O M \perp O A$. Do đó $O M \perp A B$.

Ví dụ 3: Cho góc tù $A O B$. Vẽ vào trong góc này các tia $O M, O N$ sao cho $O M \perp O A, O N \perp O B$. Vẽ tia $O K$ là tia phân giác của góc $M O N$. Chứng tỏ rằng tia $O K$ cũng là tia phân giác của góc $A O B$.

Tìm cách giải

Muốn chứng tỏ tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O B$ ta cần chứng tỏ $\widehat{A O K}=\widehat{B O K}$. Muốn vậy cần chứng tỏ $\widehat{A O N}+\widehat{N O K}=\widehat{B O M}+\widehat{M O K}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $O M \perp O A \Rightarrow \widehat{A O M}=90^{\circ} ; O N \perp O B \Rightarrow \widehat{B O N}=90^{\circ}$.
Tia $O N$ nằm giữa hai tia $O A, O M$ nên $\widehat{A O N}+\widehat{N O M}=\widehat{A O M}=90^{\circ}$;
Hinh2.6

Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O N$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N}=90^{\circ}$.
Suy ra $\widehat{A O N}=\widehat{B O M}$ (cùng phụ với $\widehat{M O N}$ ).
Tia $O K$ là tia phân giác của góc $M O N$ nên $\widehat{N O K}=\widehat{M O K}$.
Do đó $\widehat{A O N}+\widehat{N O K}=\widehat{B O M}+\widehat{M O K}$.
Vi tia $O N$ nằm giũ̃a hai tia $O A, O K$ và tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O K$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O K}=\widehat{B O K}$. Mặt khác, tia $O K$ nằm giũa hai tia $O A, O B$ nên tia $O K$ cũng là tia phân giác của góc $A O B$.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hai đường thẳng $A B$ và $C D$ vuông góc với nhau tại $O$. Vẽ tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O C$. Tính số đo góc $K O D$ và $K O B$.

Hướng dẫn giải

Vì $A B \perp C D$ nên $ \widehat{A O C}=90^{\circ}$

Vì tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=45^{\circ}$.
Ta có $\widehat{K O D}+\widehat{O_1}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
$$
\Rightarrow \widehat{K O D}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \text {. }
$$
$\widehat{K O B}+\widehat{O_2}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
$$
\Rightarrow \widehat{K O B}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \text {. }
$$

Bài 2. Cho góc $A O B$ và tia $O C$ nằm trong góc đó sao cho $\widehat{A O C}=4 \widehat{B O C}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc $A O C$. Tính số đo của góc $A O B$ nếu $O M \perp O B$.

Hướng dẫn giải

Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{M O C}=\frac{1}{2} \widehat{A O C}$ mà $\widehat{A O C}=4 \widehat{B O C}$ nên $\widehat{M O C}=2 \widehat{B O C}$.

Nếu $O M \perp O B$ thì $\widehat{M O B}=90^{\circ}$.
Ta có $\widehat{M O C}+\widehat{B O C}=90^{\circ}$ do đó $2 \widehat{B O C}+\widehat{B O C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{B O C}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{A O C}=4.30^{\circ}=120^{\circ}$.

Bài 3. Cho góc tù $A O B, \widehat{A O B}=m^{\circ}$. Vẽ vào trong góc này các tia $O C, O D$ sao cho $O C \perp O A ; O D \perp O B$.
a) Chứng tỏ rằng $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}$.
b) Tìm giá trị của $m$ để $\widehat{A O D}=\widehat{D O C}=\widehat{C O B}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $O C \perp O A$ nên $\widehat{A O C}=90^{\circ}$; OD $\perp O B$ nên $\widehat{B O D}=90^{\circ}$.

Tia $O D$ nằm trong góc $A O B$ nên $\widehat{A O D}+\widehat{B O D}=\widehat{A O B}$.
$$
\Rightarrow \widehat{A O D}=\widehat{A O B}-\widehat{B O D}=m^{\circ}-90^{\circ}
$$

Tia $O C$ nằm trong góc $A O B$ nên $\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=\widehat{A O B}$
$$
\Rightarrow \widehat{B O C}=\widehat{A O B}-\widehat{A O C}=m^{\circ}-90^{\circ}
$$
Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}\left(=m^{\circ}-90^{\circ}\right)$.
b) Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O B$ và $O D$. Suy ra $\widehat{B O C}+\widehat{D O C}=\widehat{B O D}=90^{\circ}$.

Nếu $\widehat{B O C}=\widehat{D O C}$ thì $\widehat{D O C}=90^{\circ}: 2=45^{\circ}$.

Do đó, $\widehat{A O D}=\widehat{D O C}=\widehat{C O D} \Leftrightarrow \widehat{A O B}=3 \cdot \widehat{D O C}=3.45^{\circ}=135^{\circ} \Leftrightarrow m=135$

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 4. Trong hình 2.7 có góc $M O N$ là góc bẹt, góc $A O C$ là góc vuông. Các tia $O M, O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O B$ và $C O D$. Chứng tỏ rằng $O B \perp O D$.


Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{M O N}$ là góc bẹt nên $\widehat{O_1}+\widehat{O_3}+\widehat{A O C}=180^{\circ}$
$$
\widehat{O_2}+\widehat{O_4}+\widehat{B O D}=180^{\circ}
$$

Mặt khác, $\widehat{O_1}=\widehat{O_2} ; \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (đề bài cho) nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A O C}=\widehat{B O D}$.
Vì $\widehat{A O C}=90^{\circ}$ nên $\widehat{B O D}=90^{\circ} \Rightarrow O B \perp O D$.

Bài 5. Cho góc nhọn $A O B$. Trên nửa mặt phẳng bờ $O A$ có chứa tia $O B$, vẽ tia $O C \perp O A$. Trên nửa mặt phẳng bờ $O B$ có chứa tia $O A$ vẽ tia $O D \perp O B$. Gọi $O M$ và $O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O D$ và $B O C$. Chứng tỏ rằng $O M \perp O N$.


Hướng dẫn giải

Ta có $O C \perp O A \Rightarrow \widehat{A O C}=90^{\circ}$. $O D \perp O B \Rightarrow \widehat{B O D}=90^{\circ}$.
Tia $O B$ nằm giữa hai tia $O A, O C$.
Do đó $\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90^{\circ}$.
Tương tự, ta có $\widehat{A O B}+\widehat{A O D}=90^{\circ}$.
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{B O C}=\widehat{A O D}$ (cùng phụ với $\widehat{A O B}$ ).
Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O D \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\frac{\widehat{A O D}}{2}$.
Hinh 2.12

Tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C \Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}=\frac{\widehat{B O C}}{2}$.
Vi $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$.
Ta có $\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A O B}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A O B}+\widehat{O_3}+\widehat{O_2}=90^{\circ}$.
Do đó $\widehat{M O N}=90^{\circ} \Rightarrow O M \perp O N$.

Bài 6. Cho góc bẹt $A O B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ vẽ các tia $O M$ và $O N$ sao cho $\widehat{A O M}=\widehat{B O N}=m^{\circ}(90<m<180)$. Vẽ tia phân giác $O C$ của góc $M O N$.
a) Chứng tỏ rằng $O C \perp A B$.
b) Xác định giá trị của $m$ để $O M \perp O N$.


Hướng dẫn giải

a) Ta có $\widehat{A O N}+\widehat{B O N}=180^{\circ} ; \widehat{B O M}+\widehat{A O M}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{A O M}=\widehat{B O N}$ (đề bài cho) nên $\widehat{A O N}=\widehat{B O M}$.

Mặt khác, tia $O C$ là tia phân giác của góc $M O N$ nên $\widehat{C O N}=\widehat{C O M}$.
Do đó $\widehat{A O N}+\widehat{C O N}=\widehat{B O M}+\widehat{C O M}$
Ta có tia $O N$ nằm giữa hai tia $O A, O C$; tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B$, $O C$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O C}=\widehat{B O C}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$. Vậy $O C \perp A B$.
Hinh 2.13
b) Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B$ và $O N$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N}=m^{\circ}$

Mặt khác $\widehat{B O M}=180^{\circ}-\widehat{A O M}=180^{\circ}-m^{\circ}$
(2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\left(180^{\circ}-m^{\circ}\right)+90^{\circ}=m^{\circ} \Rightarrow 2 m^{\circ}=270^{\circ} \Rightarrow m^{\circ}=135^{\circ}$.
Vậy $m=135$.

CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA PHÂN GIÁC, LÀ TIA ĐỐI

Bài 7. Cho góc $A O B$ có số đo bằng $120^{\circ}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc đó. Trên nửa mặt phẳng bờ $O M$ có chứa tia $O A$, vẽ tia $O N \perp O M$. Trong góc $A O B$ vẽ tia $O C \perp O B$. Chứng tỏ rằng:
a) Tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O M$;
b) Tia $O A$ là tia phân giác của góc $C O N$.


Hướng dẫn giải

a) Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O B$ nên $\widehat{A O M}=\widehat{B O M}=120^{\circ}: 2=60^{\circ}$.

Ta có $O C \perp O B \Rightarrow \widehat{B O C}=90^{\circ}$.
Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O C$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{C O M}=\widehat{B O C}$ $\Rightarrow \widehat{C O M}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O B$ nên $\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=\widehat{A O B}$
$\Rightarrow \widehat{A O C}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$.

Vậy $\widehat{A O C}=\widehat{C O M}\left(=30^{\circ}\right)$.
Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O M$ nên từ (1) suy ra tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O M$.
b) Ta có $O M \perp O N \Rightarrow \widehat{M O N}=90^{\circ}$.

Tia $O A$ nằm giữa hai tia $O N, O M$ nên $\widehat{A O N}+\widehat{A O M}=\widehat{M O N}$.
Suy ra $\widehat{A O N}=\widehat{M O N}-\widehat{A O M}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{A O N}=\widehat{A O C}\left(=30^{\circ}\right)$
Tia $O A$ nằm giữa hai tia $O N, O C$ nên từ (2) suy ra tia $O A$ là tia phân giác của góc $C O N$.

Bài 8. Cho góc bẹt $A O B$, tia $O C \perp A B$. Vẽ tia $O M$ và $O N$ ở trong góc $B O C$ sao cho $\widehat{B O M}=\widehat{C O N}=\frac{1}{3} \widehat{B O C}$. Tìm trong hình vẽ các tia là tia phân giác của một góc.


Hướng dẫn giải

Ta có $O C \perp A B$ nên $\widehat{A O C}=\widehat{B O C}=90^{\circ}$
Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O B$.
Từ (1) và (2) suy ra tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O B$.
Ta có $\widehat{B O M}=\widehat{C O N}=\frac{1}{3} \widehat{B O C}=30^{\circ}$.
Tia $O N$ nằm trong góc $B O C$ nên $\widehat{B O N}+\widehat{C O N}=\widehat{B O C}$.
Suy ra $\widehat{B O N}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O N$.
Do đó $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N} \Rightarrow \widehat{M O N}=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{B O M}=\widehat{M O N}=\widehat{C O N}=30^{\circ}$
Từ (3) và (4) suy ra tia $O M$ là tia phân giác của góc $B O N$.
Tia $O N$ nằm giữa hai tia $O M$ và $O C$
Từ (4) và (5) suy ra tia $O N$ là tia phân giác của góc $C O M$.
Tóm lại, các tia $O C, O M, O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O B, B O N$ và $C O M$.

Bài 9. Cho hai tia $O M$ và $O N$ vuông góc với nhau, tia $O C$ nằm giữa hai tia đó. Vẽ các tia $O A$ và $O B$ sao cho tia $O M$ là

tia phân giác của góc $A O C$, tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C$. Chứng tỏ rằng hai tia $O A$, $O B$ đối nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có $O M \perp O N \Rightarrow \widehat{M O N}=90^{\circ}$.
Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{A O M}=\widehat{M O C}$.
Tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C$ nên $\widehat{B O N}=\widehat{N O C}$.
Xét tổng
$$
\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=2 \widehat{M O C}+2 \widehat{N O C}=2(\widehat{M O C}+\widehat{N O C})=2 \widehat{M O N}=2.90^{\circ}=180^{\circ} \text {. }
$$

Hai góc kề $A O C$ và $B O C$ có tổng bằng $180^{\circ}$ nên hai tia $O A, O B$ đối nhau.

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC – HAI GÓC CÓ CẠNH TƯƠNG ỨNG VUÔNG GÓC

Bài 10. Cho đoạn thẳng $A B=2 a$. Lấy các điểm $E$ và $F$ nằm giữa $A$ và $B$ sao cho $A E=B F$. Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng $A B$ và $E F$ cùng có chung một đường trung trực.

Hướng dẫn giải

  • Trường hợp $A E=B F<a$ :

Gọi $M$ là trung điểm của $A B$. Khi đó $M A=M B=a$.
Điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $M$, điểm $F$ nằm giữa hai điểm $B$ và $M$.

Do đó $M E=M A-A E=a-A E ; M F=M B-B F=a-B F$.
Vì $A E=B F$ nên $M E=M F$. Vậy $M$ là trung điểm chung của hai đoạn thẳng $A B$ và $E F$. Qua $M$ vẽ $x y \perp A B$ thì $x y$ là đường trung trực chung của $A B$ và $E F$.

  • Trường hợp $A E=B F>a$ : Chứng minh tương tự.

Bài 11. Cho bốn điểm $M, N, P, Q$ nằm ngoài đường thẳng $x y$. Biết $M N \perp x y ; P Q \perp x y$ và $x y$ là đường trung trực của đoạn thẳng $N P$. Chứng tỏ rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có $M N \perp x y ; N P \perp x y$ (vì $x y$ là đường trung trực của $N P$ ). Qua điểm $N$ chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với $x y$, suy ra ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng. (1)

Ta có $N P \perp x y ; P Q \perp x y$. Qua điểm $P$ chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với $x y$, suy ra ba điểm $N, P, Q$ thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng $N P$.

Bài 2.12. Hai góc gọi là có cạnh tương ứng vuông góc nếu đường thẳng chứa mỗi cạnh của góc này tương ứng vuông góc với đường thẳng chứa một cạnh của góc kia.

Xem hình $2.8(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ rồi kể tên các góc nhọn (hoặc tù) có cạnh tương ứng vuông góc.


Hướng dẫn giải

Trên hình 2.8a) có $A H \perp O x, A K \perp O y$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc $H A K$ và góc $x O y$; góc $H A t$ và góc $x O y$.
Trên hình 2.8 b ) có $A B \perp A C$ và $A H \perp B C$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc $B A H$ và góc $C$; góc $C A H$ và góc $B$.

Hệ thức lượng trong tam giác

Ta có một số kí hiệu thường dùng.

Cho tam giác $A B C$, khi đó

  • $a=B C, b=A C, c=A B$
  • $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác ABC .
  • $S=S_{A B C}$ diện tích tam giác ABC .
  • R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
  • $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$
  • $m_a, m_b, m_c$ độ dài đường trung tuyến xuất phát từ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.
  • $h_a, h_b, h_c$ là độ dài đường cao xuất phát từ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.

Định lý Cosin trong tam giác

Định lý. Cho tam giác ABC
Khi đó ta có:

  • $a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
  • $b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \cos B$
  • $c^2=a^2+b^2-2 a b \cdot \cos C$

Chứng minh

Để chứng minh định lý ta có thể sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn, hoặc có thể dùng tích vô hướng, ở đây tôi trình bày theo tích vô hướng.

$a^2=B C^2=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^2$

$=\overrightarrow{A C}^2+\overrightarrow{A B}^2-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$
$=A C^2+A B^2-2 A B \cdot A C \cos A $
$=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự.

Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau

Hệ quả.
Trong tam giác $A B C$
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} ; \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c} ; \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
$$

Từ đây suy ra tam giác $A B C$ có
$$
A<90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2>a^2
$$

$$
A>90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2<a^2
$$

Nhận xét:

  • Định lý cosin là tổng quát của định lý Pitago nêu lên quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng để tính toán độ dài, góc, thiết lập các đẳng thức hình học.
  • Hệ quả định lý cosin sử dụng khi ta muốn chuyển các hệ thức về độ dài các cạnh của tam giác.

Định lý Sin trong tam giác

Định lý.
Cho tam giác $A B C$, gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Khi đó
$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$

Chứng minh. Vẽ đường kính $B D$, khi đó $\angle BDC = \angle BAC$ hoặc $\angle BDC = 180^\circ – \angle BAC$, suy ra:
$$
\sin B A C=\sin B D C=\frac{B C}{B D}=\frac{a}{2 R}
$$
suy ra
$$
\frac{a}{\sin A}=2 R
$$

Chứng minh tương tự ta cũng có
$$
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$

Hệ quả

  • $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$
  • $\sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$
  • $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$

Nhận xét:

  • Nêu lên mối liên hệ giữa cạnh, góc đối diện và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
  • Tính toán các yếu tố của tam giác khi biết sỗ đo hai góc và một cạnh.
  • Chứng minh các đẳng thức hình học khác.

Công thức đường trung tuyến

Định lý. (Độ dài đường trung tuyến) Trong tam giác $A B C$, gọi $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ $A, B, C$. Khi đó

  • $m_a^2=\frac{1}{2}\left(b^2+c^2\right)-\frac{1}{4} a^2$.
  • $m_b^2=\frac{1}{2}\left(a^2+c^2\right)-\frac{1}{4} b^2$.
  • $m_c^2=\frac{1}{2}\left(b^2+a^2\right)-\frac{1}{4} c^2$.

Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý này bằng định lý Cosin, áp dụng định lý cosin cho hai tam giác $A M B, A M C$ ta có
$$
\cos A M B=\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot M B}, \cos A M C=\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}
$$

Mà $\cos A M B+\cos A M C=0$ và $M B=M C=\frac{B C}{2}$
$$
\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot B M}+\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}=0
$$

Từ đó ta có $2 A M^2=A B^2+A C^2-M B^2-M C^2$ hay $A M^2=\frac{1}{2}\left(A B^2+A C^2\right)-\frac{1}{4} B C^2$, ta có điều cần chứng minh.

Công thức tính diện tích tam giác

Định lý. Các công thức tính diện tích tam giác

  • $S=\frac{1}{2} a \cdot h_a=\frac{1}{2} b \cdot h_b=\frac{1}{2} c \cdot h_c$
  • $S=\frac{1}{2} a b \cdot \sin C=\frac{1}{2} b c \cdot \sin A=\frac{1}{2} a c \cdot \sin B$
  • $S=\frac{a b c}{4 R}$
  • $S=p r$
  • $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức He-ron)

Chứng minh dành cho bạn đọc.

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG LUỸ THỪA

A. MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LŨY THỪA
Nhận xét: Để giải phương trình nghiệm nguyên dạng lũy thừa ta chú ý một số phương pháp thường sử dụng

  • Sử dụng đồng dư để xét tính chẵn lẻ, hay modun của nghiệm.
  • Phân tích thành thừa số.
  • Đánh giá bất đẳng thức.

Do sử dụng nhiều đồng dư, do đó ta chú ý một số tính chất về đồng dư sau Tính chất 3.2. Cho $a$ là một số nguyên tùy ý. Khi đó
(a) $a^2 \equiv 0,1(b\mod 3)$;
(b) $a^2 \equiv 0,1(b\mod 4)$
(c) $a^2 \equiv 0,1,4 (b\mod 8)$;
(d) $a^2 \equiv 0,1,4 (b\mod 5)$;
(e) $a^3 \equiv-1,0,1 (b\mod 7)$
(f) $a^3 \equiv-1,0,1(b\mod 9)$.

Tính chất 3.3. Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b, c, n$ là các số nguyên dương. Ta có
(a) $a^n \vdots p \Leftrightarrow a \vdots p$;
(b) Nếu $a b=p^n$ thì $\left\{\begin{array}{l}a=p^k \\\ b=p^{n-k}\end{array} \quad\right.$ với $k \in \mathbb{N}$ thỏa $0 \leq k \leq n$;
(c) Nếu a b=c^n và (a, b)=1 thì $a=s^n \text { và } b=r^n$ với $s, r \in \mathbb{N}$.

B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 3.29. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mān $x^3+1=4 y^2$.

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x^3+1=4 y^2$. Ta có
$$
x^3=4 y^2-1=(2 y-1)(2 y+1) \text {. }
$$

Đặt $d=(2 y-1,2 y+1)$, ta có $d$ lẻ và $\left\{\begin{array}{l}d \mid 2 y-1 \\\ d \mid 2 y+1\end{array}\right.$.
Do đó $d \mid 2$, suy ra $d=1$ (vì $d$ lẻ). Như vậy $2 y-1$ và $2 y+1$ nguyên tố cùng nhau.
Kết hợp với (3.1) ta suy ra $2 y-1=a^3$ và $2 y+1=b^3$ với $a, b \in \mathbb{Z}$.
Dẫn đến $b^3-a^3=2$ hay $(b-a)\left(b^2+b a+a^2\right)=2$. Từ đó ta được $b=1$ và $a=-1$, suy ra $y=0$ và khi đó $x=-1$. Thử lại thỏa.
Vậy $(x, y)=(-1,0)$.

Ví dụ 3.30. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^5+2023 x=5^y+2$.

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x^5+2023 x=5^y+2$.
Vì $5^y+2$ lẻ nên $x$ lẻ, do đó $x^5+2023 x=x\left(x^4+2023\right) \vdots 4$ (vì $x$ lẻ nên $x \equiv 1(\bmod 4)$.
Tuy nhiên $x^5+2023 x=5^y+2 \equiv 1^y+2 \equiv 3(\bmod 4)$ (Vô lí).

Vậy không tồn tại các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x^5+2023 x=5^y+2$.

Ví dụ 3.31. Tìm các số nguyên $x$ và $y$ sao cho $3^x-y^3=1$.

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại các số nguyên $x$ và $y$ sao cho $3^x-y^3=1$. Nhận xét $x \geq 0$.
Ta có $3^x=y^3-1=(y+1)\left(y^2-y+1\right)$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}y+1=3^t \\\ y^2-y+1=3^{x-t}\end{array} \quad(t \in \mathbb{N}, t \leq x)\right.$.
Khi đó $y=3^t-1$ và
$$
\left(3^t-1\right)^2-\left(3^t-1\right)+1=3^{x-t} \Leftrightarrow 3^{2 t}-3^{t+1}+3=3^{x-t} .
$$

  • Nếu $t=0$, từ (3.2) ta được $1=3^x$ hay $x=0$. Ngoài ra $y=3^0-1=2$.

Nếu $t \geq 1$, giả sử $x-t \geq 2$, khi đó $3^{x-t} \vdots 9$. Từ (3.2) ta có $3^{2 t} \vdots 9$ và $3^{t+1} \vdots 9$ (do $t \geq 1$ ), từ đó suy ra $3 \vdots 9$ (Vô lí).
Do đó $x-t \in{0,1}$.

  • Nếu $x-t=0$ thì $y^2-y+1=1 \Leftrightarrow y(y-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=0 \ y=1\end{array}\right.$.
    Với $y=0$ ta tìm được $x=0$ và với $y=1$ ta có $3^x=2$ (Vô lí).
  • Nếu $x-t=1$ thì $y^2-y+1=3 \Leftrightarrow y^2-y-2=0 \Rightarrow y=2$.
    Khi đó $3^x=2^3+1=9$, dẫn đến $x=2$.

Vậy $(x, y)=(0,0)$ hoặc $(x, y)=(2,1)$.

Ví dụ 3.32. Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho
$$
9^x-7^x=2^y .
$$

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x, y$ sao cho $9^x-7^x=2^y$.
Nếu $x$ lẻ thì
$$
9^x-7^x \equiv 1^x-(-1)^x \equiv 2(\bmod 8) .
$$

Do đó $2^y \equiv 2(\bmod 8)$, suy ra $y=1$. Khi đó $9^x-7^x=2 \Rightarrow x=1$.
Nếu $x$ chẵn, đặt $x=2 k\left(k \in \mathbb{N}^*\right)$, ta được
$$
2^y=9^{2 k}-7^{2 k}=\left(9^k-7^k\right)\left(9^k+7^k\right) .
$$

Suy ra
$$
\left\{\begin{array}{l}
9^k-7^k=2^t \\
9^k+7^k=2^{y-t}
\end{array}\right.
$$
với $t \in \mathbb{N}^*$ và $t \leq y$.
– Nếu $k$ lẻ, khi đó $2^t \equiv 9^k-7^k \equiv 2(\bmod 8)$, do đó $t=2$ và $k=1$.
Dẫn đến $x=2$ và $2^y=81-49=32 \Rightarrow y=5$.
– Nếu $k$ chẵn, ta có
$$
9^k+7^k \equiv 1^k+(-1)^k \equiv 2(\bmod 8) .
$$

Do đó $2^{y-t} \equiv 2(\bmod 8)$, suy ra $y-t=1$. Như vậy $9^k+7^k=2$ (Vồ lí).
Vậy $(x, y)=(1,1)$ hoặc $(x, y)=(2,5)$.

Ví dụ 3.33. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho luôn tồn tại các số nguyên dương $n, x, y$ thỏa mãn
$$
p^n=x^3+y^3 .
$$

Hướng dẫn giải

Đặt $x=p^t x_1$ và $y=p^s y_1\left(x_1, y_1, s, t \in \mathbb{N}\right.$ và $\left.x_1, y_1 \neq p\right)$.
Ta có
$$
p^n=p^{3 t} x_1^3+p^{3 s} y_1^3>p^{3 t} \Rightarrow n>3 t .
$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $t \geq s$.
Nếu $t>s$ thì $p^{n-3 s}=p^{3(t-s)} x_1^3+y_1^3 \vdots p \Rightarrow y_1^3 \vdots p$ (Vô lí).
Vậy $t=s$, do đó $p^{n-3 t}=x_1^3+y_1^3=\left(x_1+y_1\right)\left(x_1^2-x_1 y_1+y_1^2\right)$.

  • Nếu $x_1^2-x_1 y_1+y_1^2=1$ thì $x_1=y_1=1$.
    Khi đó $p^{n-3 t}=2 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p=2 \\\ n-3 t=1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p=2 \\\ n=3 t+1\end{array}\right.\right.$.
    Lúc này ta được $x=y=2^t$. Thử lại thỏa.
  • Nếu $x_1^2-x_1 y_1+y_1^2>1$, ta được
    $$
    \left\{\begin{array}{l}
    x_1+y_1=p^k \\\
    x_1^2-x_1 y_1+y_1^2=p^{n-3 t-k}
    \end{array}\right.
    $$
    với $k \geq 1, n-3 t-k \geq 1$.

Do đó $\left(x_1+y_1\right)^2-\left(x_1^2-x_1 y_1+y_1^2\right)=3 x_1 y_1 \vdots p \Rightarrow 3 \vdots p \Rightarrow p=3$.

Ngoài ra, nếu $n-3 t-k \geq 2$ thì $x_1^2-x_1 y_1+y_1^2=\left(x_1+y_1\right)^2-3 x_1 y_1 \vdots 3^2$, mà $\left(x_1+y_1\right)^2 \vdots 3^2$ nên $3 x_1 y_1 \vdots 3^2 \Rightarrow x_1 y_1 \vdots 3$ (Vô lí).
Vậy $n-3 t-k=1$ hay $x_1^2-x_1 y_1+y_1^2=3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1 \geq y_1$ thì ta được $x_1=2$ và $y_1=1$.
Từ đây ta được $n-3 t=2 \Leftrightarrow n=3 t+2$ và $x=2 \cdot 3^t$ và $y=3^t$.
Thử lại thỏa.
Vậy $p=2$ và $p=3$ là các số nguyên tố cần tìm.

Ví dụ 3.34. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$
\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-5^y=11879 .
$$

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại các số tự nhiên $x, y$ thỏa mãn
$$
\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-5^y=11879 .
$$

Ta có
$$
\begin{aligned}
\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right) & =\left(4^x+5 \cdot 2^x+4\right)\left(4^x+5 \cdot 2^x+6\right) = \left(4^x+5 \cdot 2^x+5\right)^2-1 .
\end{aligned}
$$

Do đó $\left(4^x+5 \cdot 2^x+5\right)^2-1-5^y=11879 \Leftrightarrow\left(4^x+5 \cdot 2^x+5\right)^2-5^y=11880$.
Nếu $y \geq 1$ thì ta suy ra $4^x+5 \cdot 2^x+5 \vdots 5 \Rightarrow 4^x \vdots 5$. (Vô lí)
Do đó $y=0$, khi đó
$$
\left(4^x+5 \cdot 2^x+5\right)^2=11881 \Rightarrow 4^x+5 \cdot 2^x+5=109 \Leftrightarrow 4^x+5 \cdot 2^x-104=0 .
$$

Suy ra $2^x=8 \Rightarrow x=3$.
Vậy $x=3$ và $y=0$.

Ví dụ 3.35. Cho $M=a^2+3 a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
(a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
(b) Tìm các giá trị của $a$ để $M$ là lũy thừa của 5 .

Hướng dẫn giải

(a) Ta có $a^2+3 a+1=a(a+3)+1$ là số lẻ. Do đó mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
(b) Giả sử tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $a^2+3 a+1=5^n$. Khi đó
$$
a^2+3 a-4=5^n-5 \Leftrightarrow(a+4)(a-1)=5\left(5^{n-1}-1\right) .
$$

Nếu $n>1$ thì $5^{n-1}-1>0$.
Ta lại có $(a+4)(a-1) \vdots 5$ và $a+4-(a-1)=5$ nên $\left\{\begin{array}{l}a+4 \vdots 5 \\\ a-1 \vdots 5\end{array}\right.$.
Do đó $(a+4)(a-1) \vdots 25 \Rightarrow 5\left(5^{n-1}-1\right) \vdots 25 \Rightarrow 5^{n-1}-1 \vdots 5$. (Vô lí)
Vậy $n=1$ hay $a^2+3 a+1=5 \Rightarrow a=1$.
Thử lại thỏa, vậy $M$ là lũy thừa của 5 khi và chỉ khi $a=1$.

Ví dụ 3.36. Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $8^n+47$ là số nguyên tố.

Hướng dẫn giải

  • Xét $n=2 k(k \in \mathbb{N})$, khi đó
    $$
    p^n \equiv 8^n+47 \equiv(-1)^{2 k}+47 \equiv 48 \equiv 0(\bmod 3) .
    $$

Do đó $p$ ! 3 nên $p$ không là số nguyên tố (Vô lí).

  • Xét $n=4 k+1\left(k \in \mathbb{N}^*\right)$, khi đó
    $$
    p \equiv\left(8^4\right)^k \cdot 8+47 \equiv 8+47 \equiv 55 \equiv 0(\bmod 5) .
    $$

Do đó $p \vdots: 5$ nên $p$ không là số nguyên tố (Vô lí).

  • Nếu $n=4 k+3\left(k \in \mathbb{N}^*\right)$, khi đó
    $$
    p \equiv\left(8^4\right)^k \cdot 8^3+47 \equiv 8^3+47 \equiv 559 \equiv 0(\bmod 13) .
    $$

Do đó $p$ : 13 nên $p$ không là số nguyên tố (Vô lí).
Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $8^n+47$ là số nguyên tố.

Ví dụ 3.37. Cho phương trình $2^x+5^y=k^2$ ( $x, y, k$ là các số nguyên dương).
(a) Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm khi $y$ chẵn.
(b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán PTNK 2022)

Hướng dẫn giải

(a) Giả sử tồn tại $y \in \mathbb{N}^*$ chẵn để phương trình trên có nghiệm.

  • Với $x=1$ thì $2+5^y=k^2 \equiv 2(\bmod 5)$.
    Điều này vô lý vì $k^2 \equiv 0,1,4(\bmod 5)$ với mọi $k \in \mathbb{N}$.
  • Với $x>1$, do $y$ chẵn nên ta đặt $y=2 m(m \in \mathbb{N})$.
    Khi đó
    $$
    2^x+5^{2 m}=k^2 \Leftrightarrow 2^x=\left(k-5^m\right)\left(k+5^m\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
    k-5^m=2^t \\\
    k+5^m=2^{x-t}
    \end{array} \quad(t \geq 0) .\right.
    $$

Vì $k+5^m>k-5^m$ nên $x-t>t$, suy ra $k=2^{t-1}+2^{x-t-1}$.
Ta thấy nếu $t=0$ thì $k=\dfrac{1}{2}+2^{x-1} \notin \mathbb{N}$. Do đó $t \geq 1$.

Mặt khác $k$ lẻ và $t-1<x-t-1$ nên $2^{t-1}=1 \Rightarrow t=1$. Khi đó $k-5^m=2 \Leftrightarrow k=2+5^m$. Thay vào $2^x+5^{2 m}=k^2$, ta được
$$
2^x+5^{2 m}=\left(2+5^m\right)^2 \Leftrightarrow 2^x=4+2 \cdot 5^m .
$$

Vì $x>1$ nên $2^x \vdots 4$, suy ra $2 \cdot 5^m \vdots 4$ (Vô lí).
Vậy phương trình vô nghiệm khi $y$ chẵn.
(b) Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó $y$ lẻ.

  • Nếu $x=4 z+1(z \in \mathbb{N})$ thì
    $$
    k^2 \equiv 2^x+5^y \equiv 2^{4 z} \cdot 2+5^y \equiv 2(\bmod 5) .
    $$

Điều này vô lý vì $k^2 \equiv 0,1,4(\bmod 5)$ với mọi $k \in \mathbb{N}$.

  • Nếu $x=4 z+3(z \in \mathbb{N})$ thì
    $$
    k^2 \equiv 2^{4 z} \cdot 2^3+5^y \equiv 8 \equiv 3(\bmod 5) \text { (Vô lí). }
    $$

Vậy $x$ chẵn, đặt $x=2 t\left(t \in \mathbb{N}^*\right)$.
Ta có
$$
2^x+5^y=k^2 \Leftrightarrow 5^y=\left(k-2^t\right)\left(k+2^t\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
k-2^t=5^s \\\
k+2^t=5^{y-s}
\end{array} \quad(s \in \mathbb{N}) .\right.
$$

Nếu $s>0$ thì $5^{y-s}-5^s \vdots 5$ nên $2^{t+1} \vdots 5$ (vô lý). Do đó $s=0$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}k=1+2^t \\\ k=5^y-2^t\end{array}\right.$. Suy ra $1+2^t=5^y-2^t \Rightarrow 5^y-1=2^{t+1}$.
Nếu $t>1$ thì $2^{t+1} \vdots 8$. Dặt $y=2 l+1$, khi đó
$$
2^{t+1}=5^y-1=25^l \cdot 5-1 \equiv 5-1 \equiv 4(\bmod 8) \text{vô lý}
$$

Vậy $t=1$, suy ra $k=3$. Với $k=3$, ta tìm được $x=2$ và $y=1$.
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $k=3$.

Ví dụ 3.38. Cho $k$ là số nguyên dương và $a=3 k^2+3 k+1$.
(a) Chứng minh rằng $2 a$ và $a^2$ là tổng của ba số chính phương.
(b) Chứng minh rằng nếu $a$ là uớc của số nguyên $b$ và $b$ bằng tổng của ba số chính phương thì bất kì lũy thừa với số mũ nguyên dương nào của $b$ cũng là tổng của ba số chính phương.

Hướng dẫn giải

(a) Ta có
$$
\begin{aligned}
2 a=6 k^2+6 k+2 & =k^2+\left(k^2+2 k+1\right)+\left(4 k^2+4 k+1\right) = k^2+(k+1)^2+(2 k+1)^2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
a^2 & =\left(3 k^2+3 k-1+2\right)^2=9 k^4+18 k^3+15 k^2+6 k+1 = \left(4 k^4+12 k^3+13 k^2+6 k+1\right)+\left(4 k^4+4 k^3+k^2\right)+\left(k^4+2 k^3+k^2\right) = \left(2 k^2+3 k+1\right)^2+\left(2 k^2+k\right)^2+\left(k^2+k\right)^2
\end{aligned}
$$
(b) Đặt $a^2=a_1^3+a_2^3+a_3^3$ với $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{Z}$.
Đặt $b=c a$ với $c$ là số nguyên dương, do $b$ bẳng tổng của ba số chính phương nên $b=b_1^2+b_2^2+b_3^2$ với $b_1, b_2, b_3$ là các số nguyên.
Xét số nguyên dương $n$ bất kì, khi đó

  • Nếu $n=2 k\left(k \in \mathbb{Z}^{+}\right)$thì
    $$
    \begin{aligned}
    b^n & =c^{2 k} a^{2 k}=\left(c^k a^{k-1}\right)^2 a^2 = \left(c^k a^{k-1}\right)^2\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right) = \left(c^k a^{k-1} a_1\right)^2+\left(c^k a^{k-1} a_2\right)^2+\left(c^k a^{k-1} a_3\right)^2
    \end{aligned}
    $$
  • Nếu $n=2 k+1(k \in \mathbb{Z})$ thì
    $$
    b^n=\left(b^k\right)^2 \cdot b=\left(b^k\right)^2\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)=\left(b^k b_1\right)^2+\left(b^k b_2\right)^2+\left(b^k b_3\right)^2
    $$

Hoàn tất chứng minh.


C. CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 3.13. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$$
x^3+x^2+x+1=2011^y .
$$

Bài 3.14. Tìm tập nghiệm nguyên dương của phương trình
$$
8^x+15^y=17^z .
$$

Bài 3.15. Tìm các số nguyên dương $x, y, z>1$ thỏa mãn
$$
(x+1)^y-x^z=1 .
$$

Bài 3.16. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $5^x-3^y=2$.

Bài 3.17. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$$
2^x \cdot 3^y+5^z=7^t .
$$

Bài 3.18. Cho các số nguyên dương $m, n \geq 2$. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$$
x^n+y^n=3^m .
$$

Bài 3.19. Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2^p+3^p=$ $a^n$ thì $n=1$.

Bài 3.20. Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp không thể là lũy thừa với số mũ lớn hơn 1 của một số nguyên.

Bài 3.21. Cho phương trình $3 x^2-y^2=23^n$ với $n$ là số tự nhiên.
(a) Chứng minh nếu $n$ chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên $(x, y)$.
(b) Chứng minh nếu $n$ lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên $(x, y)$.

Bài 3.22.
(a) Cho $m$ là số nguyên. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c=0$ và $a b+b c+c a+4 m=0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ sao cho $a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}=0$ và $a^{\prime} b^{\prime}+b^{\prime} c^{\prime}+a^{\prime} c^{\prime}+m=0$.
(b) Với $k$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c=0$ và $a b+b c+c a+2^k=0$.
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK 2015)

ƯỚC CHUNG VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG

Bài viết của thầy Nguyễn Vĩnh Khang – Giáo viên Star Education

Các tính chất của ước chung

Nhận xét: Nếu ta đặt $(x, y)=d$, thì $x^{\prime}=\dfrac{x}{d}$ và $y^{\prime}=\dfrac{y}{d}$ nguyên tố cùng nhau. Từ đó lợi dụng các tính chất liên quan đến số nguyên tố cùng nhau như (được sử dụng thẳng, không cần chứng minh)

  • Nếu $a b: c$, và $(b, c)=1$, ta có $a: c$.
  • Nếu $a: b$ và $a: c$, với $(b, c)=1$, ta có $a: b c$.
  • Nếu $(a, b)=1, r$ là ước của $a, s$ là ước của $b$, ta cũng có $(r, s)=1$.
    để phân tích bài toán tiếp. Việc đặt ước chung như vậy sẽ làm đơn giản bài toán (do ta có thể rút $d$ ra rồi triệt tiêu, nếu được) và cho thêm dữ kiện $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=1$.

Tính chất 3.1. Giả sử $a, b, c, n$ là các số nguyên dương, chứng minh những tính chất sau
(a) $\operatorname{gcd}(a, b, c)=\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(a, b), c)$
(b) $\operatorname{gcd}(a c, b c)=\operatorname{gcd}(a, b) c$
(c) Nếu $\operatorname{gcd}(a, b)=1$, ta có $\operatorname{gcd}(a b, c)=\operatorname{gcd}(a, c) \operatorname{gcd}(b, c)$
(d) $\operatorname{gcd}\left(a^n, b^n\right)=\operatorname{gcd}(a, b)^n$.

Chứng minh.
Phần 1: gọi $d=\operatorname{gcd}(a, b, c)$ ta có $d$ là ước của $a, b$, nên $\operatorname{gcd}(a, b)$ : $d$. Nhưng $c: d$, nên ta được một chiều
$$
\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(a, b), c) \vdots d=\operatorname{gcd}(a, b, c)
$$

Để chứng minh chiều còn lại, gọi $d=\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(a, b), c)$. Tương tự như trên ta có $d$ là ước của $\operatorname{gcd}(a, b)$, nên $d$ cũng là ước của $a, b$. Nhưng $d$ là ước của $a, b, c$, nên
$$
\operatorname{gcd}(a, b, c) \vdots d=\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(a, b), c)
$$

Kết hợp (1.1) và (1.2), ta có đpcm.

Phần 2: nếu $d=(a c, b c)$, ta có $d: c$ do $c$ là ước chung của $a c, b c$. Đặt $d=k c$, ta có $(a c, b c)=k c$, và $a c, b c: k c$. Nói cách khác $a, b: k$, nên $(a, b): k$, và
$$
c(a, b) \vdots k c=(a c, b c)
$$

Mặt khác, đặt $k=(a, b)$, ta có $a, b: k$, nên $a c, b c: k c$. Theo định nghīa, $(a c, b c) \vdots k c=(a, b) c$. Kết hợp với (2.1) ta có đpem $\operatorname{gcd}(a c, b c)=\operatorname{gcd}(a, b) c$.

Phần 3: gọi $k=\operatorname{gcd}(a, c), l=\operatorname{gcd}(b, c)$, theo tính chất 2 , ta được
$$
\left\{\begin{array}{l}
\operatorname{gcd}\left(\dfrac{a}{k}, \dfrac{c}{k}\right)=1 \\
\operatorname{gcd}\left(\dfrac{b}{l}, \dfrac{c}{l}\right)=1
\end{array}\right.
$$

Mặt khác $a: k, b: l$, nhưng $a, b$ lại nguyên tố cùng nhau, nên $k, l$ cūng vậy. Kết hợp với $c: k, l$, ta có $c: k, l$. Để ý rằng $\dfrac{c}{k l}$ là ước của $\dfrac{c}{k}$ và $\dfrac{c}{l}$, nên
$$
\left\{\begin{array}{l}
\operatorname{gcd}\left(\dfrac{a}{k}, \dfrac{c}{k l}\right)=1 \\
\operatorname{gcd}\left(\dfrac{b}{l}, \dfrac{c}{k l}\right)=1
\end{array}\right.
$$

Ta chứng minh $\operatorname{gcd}(a b, c)=1$ nếu $\operatorname{gcd}(a, b)=\operatorname{gcd}(b, c)=\operatorname{gcd}(a, c)=1$. Thật vậy, giả sử ngược lại, tức $\operatorname{gcd}(a b, c) \neq 1$. Khi đó tồn tại $p$ là ước nguyên tố chung của $a b, c$. Nhưng $a b: p$ thì ta phải có $a: p$ hoặc $b: p$, nên $\operatorname{gcd}(a, c): p$ hoặc $\operatorname{gcd}(b, c)$ : $($ cả 2 đều mâu thuẫn với giả thiết).

Áp dụng quan sát trên cho (3.1), ta được
$$
\operatorname{gcd}\left(\dfrac{a b}{k k}, \dfrac{c}{k l}\right)=1 \Leftrightarrow \operatorname{gcd}(a b, c)=k l=\operatorname{gcd}(a, c) \operatorname{gcd}(b, c)
$$

Phần 4: ta chứng minh $\operatorname{gcd}\left(a^n, b^n\right)=1$ nếu $\operatorname{gcd}(a, b)=1$. Thật vậy, giả sử $\operatorname{gcd}\left(a^n, b^n\right) \neq 1$, khi đó $a^n, b^n$ phải có một ước nguyên tố chung $p$. Sử dụng tính chất nếu $x y: p$ thì $x: p$ hoặc $y: p$. Từ đó $a, b: p$, vô lý.

Đặt $d=\operatorname{gcd}(a, b)$, ta có $\operatorname{gcd}\left(\dfrac{a}{d}, \dfrac{b}{d}\right)=1$, nên
$$
\operatorname{gcd}\left(\left(\dfrac{a}{d}\right)^n,\left(\dfrac{b}{d}\right)^n\right)=1
$$

Nhân $d^n$ cho cả 2 vế, và dùng tính chất 2 , ta được
$$
\operatorname{gcd}(a, b)^n=d^n=d^n \operatorname{gcd}\left(\left(\dfrac{a}{d}\right)^n,\left(\dfrac{b}{d}\right)^n\right)=\operatorname{gcd}\left(a^n, b^n\right)
$$

Hệ quả 3.1
Giả sử $a, b, c, n$ là các số nguyên dương, chứng minh những tính chất sau
(a) Nếu $a b: c$ và $(a, b)=1$, tồn tại $k, l$ sao cho $k l=c$, và $a: k, b \vdots l$.
(b) Nếu $a b=c^n$ và $(a, b)=1(n \geq 2)$, tồn tại $k, l$ sao cho $k l=c$ và $a=k^n, b=l^n$.

Chứng minh.

Phần 1: gọi $k=\operatorname{gcd}(a, c), l=\operatorname{gcd}(b, c)$, theo bài tập trước, ta có $k l=\operatorname{gcd}(a, c) \operatorname{gcd}(b, c)=$ $\operatorname{gcd}(a b, c)=c$, và $a: k, b: l$ theo định nghĩa.

Phần 2: gọi $k=\operatorname{gcd}(a, c), l=\operatorname{gcd}(b, c)$, theo bài tập trước, ta có $k l=\operatorname{gcd}(a, c) \operatorname{gcd}(b, c)=\operatorname{gcd}(a b, c)=$ c. Mặt khác
$$
k^n=\operatorname{gcd}\left(a^n, c^n\right)=\operatorname{gcd}\left(a^n, a b\right)=a \operatorname{gcd}\left(a^{n-1}, b\right)=a
$$
, ở đây $\operatorname{gcd}\left(a^{n-1}, b\right)=1$ do nếu tồn tại $p$ là ước nguyên tố chung cho $a^{n-1}, b$, ta phải có $p$ là ước chung của $a, b$ (vô lý). Chứng minh tương tự, ta cũng có $l^n=b$. Ta có đpcm.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 3.1 (Junior Balkan Mathematical Olympiad 2001).
Tìm ước chung lớn nhất của $A_0, A_1, A_2, \ldots, A_{1999}$, với $A_n=2^{3 n}+3^{6 n+2}+5^{6 n+2}$.

Hướng dẫn giải

Do $A_0=35=5 \cdot 7$, nên ước chung lớn nhất, gọi là $d$, phải là 1 trong 4 số ${1,5,7,35}$. Do $A_1=$ $2^3+3^8+5^8 \equiv 8+(-2)^8 \equiv 4(\bmod 5)$ nên $d \neq 5,35$. Mặt khác, theo định lý Fermat, ta có $3^6 \equiv 5^6$ $(\bmod 7)$, nên
$$
A_n \equiv 8^n+\left(3^6\right)^n \cdot 9+\left(5^6\right)^n \cdot 25 \equiv 1+9+25 \equiv 0 \quad(\bmod 7)
$$
Ta kết luận $d=7$.


Ví dụ 3.2. Chứng minh rằng nếu $d>0$ không phải là số chính phương, thì $\sqrt{d}$ là số vô tỷ.

Hướng dẫn giải

Để ý rằng $d=1^2 \cdot d$ nên $d$ luôn có thể viết thành dạng $d=x^2 y$ (với $x, y>0$ ). Chọn $x$ lớn nhất có thể, và để ý $y \neq 1$. Nếu $y$ có ước chính phương $z^2$ ngoài 1 , thì $d=x^{\prime 2} y^{\prime}$, với $x^{\prime}=x z>x$ và $y^{\prime}=\dfrac{y}{z}$, vô lý. Như vậy $y$ là tích các số nguyên tố khác nhau (do nếu $p$ là ước nguyên tố của $y$, thì $\dfrac{y}{p}$ không thể nào chia hết cho $p$ được).

Giả sử $\sqrt{d}=\dfrac{a}{b}$ là một số hữu tỷ, với $a, b$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Ta có $$ a^2=b^2 d=(b x)^2 \cdot y $$ nên $a^2: y$. Nhưng $y$ chỉ là tích các số nguyên tố khác nhau, nên $a: y$. Thế $a=c y$ vào (*), ta được
$$
c^2 y^2=(b x)^2 y \Leftrightarrow b^2 x^2=c^2 y
$$

Để ý $c^2 y: b^2$, nhưng $(c, b)=1$ (do $(a, b)=1$ ), nên $y: b^2$. Ta đã chọn sao cho $y$ không thể nào có ước chính phương nào ngoài 1 , nên $b=1$ ! Từ đó ta có $\sqrt{d}=a$, hay $d=a^2$, vô lý.


Hướng dẫn giải

Gọi $d>0$ là một ước chung của $a^m+b^n, a^m-b^n$. Khi đó $\left\{\begin{array}{I}2 a^m=\left(a^m+b^n\right)+\left(a^m-b^n\right) \vdots d \\\ 2 b^n=\left(a^m+b^n\right)-\left(a^m-b^n\right) \vdots d\end{array}\right.$.
Để ý rằng $a, b$ khác tính chẵn lẻ, nên $a^m+b^n$ và $a^m-b^n$ luôn lẻ. Nhưng $d$ là một ước chung, nên $d$ lẻ. Như vậy $a^m, b^n: d$.

Nếu $d \neq 1$, gọi $p$ là một ước nguyên tố của $d$ (có thể $d=p$ ). Khi đó $a^m, b^n: p$, nên ta cũng có $a, b: p$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $a, b$ nguyên tố cùng nhau, nên $d=1$. Nhưng $d$ bất kỳ, nên $a^m+b^n, a^m-b^n$ chỉ có ước chung (dương) là 1 . Hay nói cách khác, $a^m+b^n, a^m-b^n$ nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 3.4. Cho 2 số hữu tỷ $\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d}$ viết ở dạng tối giản (tức $(a, b)=(c, d)=1$ ) sao cho $d\frac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $|b|=|d|$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a d+b c}{b d}$ là một số nguyên, nên $a d+b c: b$, hay $a d: b$. Nhưng $a, b$ nguyên tố cùng nhau, nên $d: b$.
Chứng minh tương tự với $a d+b c: d$, ta có $b: d$. Như vậy $|b|=|d|$.

Ví dụ 3.5 (Spanish Mathematical Olympiad 1996).
Giả sử $a, b$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a}$ là số nguyên. Nếu $d$ là ước chung lớn nhất của $a, b$
(a) Chứng minh rằng $a+b \geq d^2$.
(b) Tìm một cặp $(a, b)$ mà $a+b=d^2$.

Hướng dẫn giải

(a) Đặt $a=d a^{\prime}, b=d b^{\prime}$, ta có
$$
\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a}=\dfrac{d^2\left(a^{\prime 2}+b^{\prime 2}\right)+d\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)}{d^2 a^{\prime} b^{\prime}} \in \mathbb{Z}
$$
nên $\dfrac{d^2\left(a^{\prime 2}+b^{\prime 2}\right)+d\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)}{d^2}=a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+\dfrac{a^{\prime}+b^{\prime}}{d}$ cūng là số nguyên. Như vậy $a^{\prime}+b^{\prime}: d$. Nhưng $a, b$ nguyên dương, nên $a^{\prime}+b^{\prime} \geq d$, hay $a+b=d\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right) \geq d^2$.
(b) $a=3, b=6$, thì $\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a}=3$ và $a+b=9=\operatorname{gcd}(a, b)^2$.

Ví dụ 3.6 (Romanian Mathematical Olympiad 2003).
Cho $n$ là một số chẵn nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ sao cho $a^n+b^n: a+b$.

Hướng dẫn giải

Do $n$ chẵn ta có $a^n-b^n: a^2-b^2: a+b$. Như vậy
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 a^n=\left(a^n+b^n\right)+\left(a^n-b^n\right) \vdots a+b \\\
2 b^n=\left(a^n+b^n\right)-\left(a^n-b^n\right) \vdots a+b
\end{array}\right.
$$

Gọi $d=(a, b)$, và $a=d u, b=d v$, ta có $u, v$ nguyên tố cùng nhau và $\operatorname{gcd}(a, b)=2 d^n \operatorname{gcd}\left(u^n, v^n\right)=$ $2 d^n: d(u+v)$. Nói cách khác, $2 d^{n-1}: u+v$.

Để cho ra tất cả giá trị $a, b$ có thể, ta bắt đầu với 2 số $u, v$ nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tiếp theo chọn $d$ bất kỳ sao cho $2 d^{n-1}: u+v(d$ luôn tồn tại do ta có thể chọn $d=u+v)$. Khi đó $a=d u, b=d v$ thỏa mãn đề bài.

Thật vậy, từ $a^n+b^n=d^n\left(u^n+v^n\right)$, ta chia làm 2 trường hợp
(a) Nếu $u, v$ đều lẻ: ta có $u^n+v^n$ chẵn, nên $a^n+b^n: 2 d^n: d(u+v)=a+b$.
(b) Nếu, không mất tính tổng quát, $u$ chẵn, $v$ lẻ: do $2 d^{n-1}: u+v$, và $u+v$ lẻ, nên $d^{n-1}: u+v$. Từ đó $a^n+b^n: d^n: d(u+v)=a+b$.

Ta kết luận $a=d u, b=d v$, với $u, v$ nguyên tố cùng nhau sao cho $u+v$ là ước của $2 d^{n-1}$.

Ví dụ 3.7 (India Mathematical Olympiad 1998).
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x, y, n)$ sao cho
$$
\operatorname{gcd}(x, n+1)=1 \text { và } x^n+1=y^{n+1} .
$$

Hướng dẫn giải

Do $x>0$, nên $y^{n+1}=x^n+1>1$. Ta có
$$
x^n=y^{n+1}-1=(y-1)\left(y^n+y^{n-1}+\cdots+y+1\right)
$$

Do $y-1>1$, ta phải có $y-1: p$ với $p$ là một ước nguyên tố nào đó của $x$. Từ đó
$$
y^n+y^{n-1}+\cdots+y+1 \equiv \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n \text { số } 1} \equiv n+1 \quad(\bmod p)
$$

Như vậy $p$ là ước chung của $x$ và $n+1$, vô lý.

Ví dụ 3.8 (Bulgarian Mathematical Olympiad 2001).

Tìm tất cả các bộ $(a, b, c)$ nguyên dương sao cho $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $a^2 b, b^2 c$, và $c^2 a$.

Hướng dẫn giải

Đầu tiên để ý rằng nếu $d$ là ước chung của $a, b$, ta có $a^3+b^3+c^3: a^2 b: d^3$, nên $c: d$. Như vậy nếu ta đặt $d=(a, b, c)$, và $a=d u, b=d v, c=d w, u, v$ phải nguyên tố cùng nhau. Chứng minh tương tự, ta có $u, v, w$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

Do $a^3+b^3+c^3: a^2 b$, ta có
$$
d^3\left(u^3+v^3+w^3\right): d^3 u^2 v \Leftrightarrow u^3+v^3+w^3: u^2 v
$$

Từ đó, $u^3+v^3+w^3: u^2$, và $v^3+w^3: u^2$. Chứng minh tương tự, ta cūng có $u^3+v^3+w^3: v^2, w^2$, và $w^3+u^3: v^2, u^3+v^3: w^2$. Nhưng $u, v, w$ nguyên tố cùng nhau đôi một, nên
$$
\left\{\begin{array}{l}
u^3+v^3+w^3: u^2 v^2 w^2 \\\
v^3+w^3: u^2 \\\
w^3+u^3: v^2 \\\
u^3+v^3: w^2
\end{array}\right.
$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $u \leq v \leq w$. Do $a, b, c$ nguyên dương, $u, v, w$ cũng nguyên dương, và $u^2 v^2 w^2 \leq u^3+v^3+w^3 \leq 3 w^3$. Nói cách khác, $w \geq \dfrac{u^2 v^2}{3}$. Mặt khác, $u^3+v^3: w^2$, nên ta được
$$
u^3+v^3 \geq w^2 \geq \dfrac{u^4 v^4}{9} (*)
$$

Nhưng $u \leq v$, nên $2 v^3 \geq u^3+v^3 \geq \frac{u^4 v^4}{9}$, hay $u^4 v \leq 18$. Ta suy ra $u=1$ hoặc $u=2$. Nhưng $u=2$ thì $v \geq 2$, nên $32 \leq u^4 v \leq 18$, vô lý.
*Như vậy $u=1$. Nếu $v=1$ thì 2 : $w^2$, cho nên $w=1$. Ta có bộ $(a, b, c)=(d, d, d)$ thỏa mãn. Nếu $v \geq 2$, ta phải có $w>v$, hay $w \geq v+1 \geq 3$ do $v, w$ nguyên tố cùng nhau. Nhưng $u^3+v^3+w^3: u^2 v^2 w^2$, nên ta có
$$
1+v^3+w^3: v^2 w^2 \Rightarrow v^2 w^2 \leq 1+v^3+w^3 \leq 1+(w-1)^3+w^3<2 w^3
$$

Chia $w^2$ cho cả 2 vế, ta được $v^2<2 w$, hay $w>\frac{v^2}{2}$. Mặt khác, ta có $v^3+u^3: w^2$, nên
$$
v^3+1 \geq w^2>\frac{v^4}{4} \Leftrightarrow 4>v^3(v-4)
$$

Vậy $v \leq 4$. Nhưng $v \geq 2$, ta xét các trường hợp sau
(a) $v=4$ : khi đó $u^3+v^3=65: w^2$, nên $w=1$ (vô lý do $v \leq w$ ).
(b) $v=3$ : khi đó $u^3+v^3=28: w^2$, nên $w \in{1,2}$ (cũng vô lý như trên).
(c) $v=2$ : khi đó $u^3+v^3=9: w^2$, nên $w=3$ (do $w \geq v$ ).

Kiểm tra lại, ta nhận $(a, b, c)=(d, 2 d, 3 d)$ và các hoán vị của nó. Ta kết luận
$$
\begin{aligned}
& (a, b, c)=(k, k, k),(k, 2 k, 3 k),(k, 3 k, 2 k), \
& \quad(2 k, k, 3 k),(2 k, 3 k, k),(3 k, k, 2 k),(3 k, 2 k, k) \quad k \geq 1
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3.9. Cho các số nguyên dương $x, y, z$ sao cho $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$. Giả sử $x, y, z$ nguyên tố cùng nhau (tức $(x, y, z)=1$ ), chứng minh rằng $x+y$ là một số chính phương.

Hướng dẫn giải

Viết lại phương trình thành $x+y=\dfrac{x y}{z}$. Đặt $d=(x, y)$, và $x=d a, y=d b$, ta có $(d, z)=1$ (do $(x, y, z)=1)$ và $(a, b)=1$. Thêm nữa
$$
a+b=\dfrac{d a b}{z}
$$

Ta có $d a b: z$, và $(d, z)=1$, nên $a b: z$. Do $(a, b)=1$, ta sẽ chứng minh $z$ có thể tách thành $z=r s$ sao cho $a: r$ và $b: s$.
*Đặt $r=(a, z)$ và $s=(b, z)$.

  • Theo định nghĩa $a: r, b: s$. Nhưng $(a, b)=1$, nên $(r, s)=1$.
  • Tương tự z:r,s. Kết hợp với điều chứng minh ở trên, ta có $z$ :rs.
  • Mặt khác, đặt $a=k r, b=l s$ và $z=q(r s)$, ta có $k l r s: q r s$, nên $k l: q$. Ta cũng có $(a, z)=r$, nên $(k, q s)=1$.

Như vậy $k l: q$ và $(k, q)=1$. Chứng minh tương tự, ta có $(l, q)=1$. Từ đó $q=1$, và $z=r s$.
Tóm tắt lại, ta có $a=k r, b=l s$ và $z=r s$.
*Thế vào $a+b=\dfrac{d a b}{z}$, ta có
$$
k r+l s=d k l
$$

Để ý $(a, b)=1$ nên $(k, l s)=1$. Mặt khác, $l s=d k l-k r: k$, cho nên $k=1$. Chứng minh tương tự, ta có $l=1$, nên $a b=r s=z$, và $a+b=\dfrac{d a b}{z}=d$. Từ đó $x+y=d(a+b)=d^2$ là một số chính phương.

Ví dụ 3.10. Giải phương trình nghiệm nguyên sau (theo các biến $x, y, n, m$ ) với $m, n \geq 0$.
$$
x^n+y^n=2^m
$$

Hướng dẫn giải

Đặt $d=(x, y)>0$ và $x=d u, y=d v$, ta có $u, v$ nguyên tố cùng nhau và $d^n\left(u^n+v^n\right)=2^m$. Như vậy $d=2^e\left(0 \leq e \leq \frac{m}{n}\right)$. Đặt $k=2^{m-n e}$, ta xét phương trình sau (với $u, v$ nguyên tố cùng nhau).
$$
u^n+v^n=2^k
$$
(a) Nếu $n$ chẵn

(a) Nếu $n=0$ : phương trình gốc trở thành $2^m=2$, nên $m=1$. Ta nhận bộ nghiệm $(x, y, 0,1)$ với mọi $x, y \neq 0$.

(b) Nếu $n \geq 2$ :
i. Nếu $k=0$ : ta có $u^n+v^n=1$. Nhưng $n$ chẵn, nên phương trình chỉ có 4 nghiệm $(0, \pm 1)$ và $( \pm 1,0)$. Ta nhận bộ
$$
(x, y, m, n)=\left( \pm 2^e, 0, n e, n\right),\left(0, \pm 2^e, n e, n\right) \quad(n \text { chẵn })
$$
ii. Nếu $k \geq 1$ : ta có $u^n+v^n$ chẵn. Kết hợp với $u, v$ nguyên tố cùng nhau, ta được $u, v$ cùng lẻ. Xét modulo 4, ta có $2^k=u^n+v^n \equiv 1+1 \equiv 2(\bmod 4)$. Nói cách khác $k=1$ và $u^n+v^n=2$, hay $u, v= \pm 1$. Ta nhận bộ
$$
(x, y, m, n)=\left( \pm 2^e, \pm 2^e, n e+1, n\right) \quad(n \text { chẵn })
$$

(b) Nếu $n$ lẻ: ta có $2^k=(u+v)\left(u^{n-1}-u^{n-2} v+\cdots+v^{n-1}\right)$, nên $u+v=2^s$ với $s \geq 0$.
(a) Nếu $n=1$ : ta có $u+v=2^k$, nên ta nhận các bộ sau
$$
(x, y, m, n)=\left(u, 2^m-u, m, 1\right) \quad(u \text { nguyên bất kỳ })
$$

(b) Nếu $n \geq 3$ :
i. Nếu $k=0$ : ta có $u^n+v^n=1$. Nhưng $u^n+v^n=(u+v)\left(u^{n-1}-u^{n-2} v+\cdots-u v^{n-2}+v^{n-1}\right)$, cho nên $u+v= \pm 1$.
*Với $v=1-u$, ta xét phương trình sau
$$
u^n-(u-1)^n=1
$$

Ta có $u=0,1$ là nghiệm, cho nên ta nhận các bộ sau
$$
(x, y, m, n)=\left(2^e, 0, n e, n\right),\left(0,2^e, n e, n\right) \quad(n \text { lẻ })
$$

Nếu $u \geq 2$, ta chứng minh
$$
u^n-(u-1)^n>1
$$
với mọi $n \geq 2$ bằng quy nạp. Khi $n=2$, ta có $u^2-(u-1)^2=2 u-1 \geq 3>1$. Giả sử bất đẳng thức đúng với $n$, ta chứng minh nó đúng với $n+1$
$$
\begin{aligned}
u^{n+1}-(u-1)^{n+1} & =u^n+(u-1) u^n-(u-1)^{n+1} \
& =u^n+(u-1)\left[u^n-(u-1)^n\right] \
& \geq 2^n+(2-1) \cdot 1>1
\end{aligned}
$$

Nếu $u \leq-1$, ta cũng chứng minh $u^n-(u-1)^n=(1-u)^n-(-u)^n>1$ với mọi $n \geq 2$ bằng quy nạp. Khi $n=2$, ta có $(1-u)^n-(-u)^n=-2 u+1>1$. Giả sử bất đẳng thức đúng với $n$, ta chứng minh nó đúng với $n+1$
$$
\begin{aligned}
(1-u)^{n+1}-(-u)^{n+1} & =(1+w)^{n+1}-w^{n+1} \quad(\text { đặt } w=-u \geq 1) \
& =w(w+1)^n+(w+1)^n-w^{n+1} \
& =(w+1)^n+w\left[(w+1)^n-w^n\right] \
& \geq 2^n+1 \cdot 1>1
\end{aligned}
$$
*Với $v=-1-u$, ta xét phương trình sau
$$
u^n-(u+1)^n=1 \Leftrightarrow(u+1)^n-u^n=-1
$$

Dùng những bất đẳng thức ta đã chứng minh ở trên, cộng với trường hợp $u=0,1$ không thỏa, ta kết luận trường hợp này vô nghiệm.
ii. Nếu $k \geq 1$ : ta có $u^n+v^n$ chẵn, và $u, v$ nguyên tố cùng nhau, nên $u, v$ cùng lẻ. Như vậy
$$
u^{n-1}-u^{n-2} v+\cdots-v^{n-1} \equiv \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n \text { số } 1} \equiv n \equiv 1 \quad(\bmod 2)
$$

Kết hợp với $(u+v)\left(u^{n-1}-u^{n-2} v+\cdots+v^{n-1}\right)=2^k$, ta phải có

Kết hợp với $(u+v)\left(u^{n-1}-u^{n-2} v+\cdots+v^{n-1}\right)=2^k$, ta phải có
$$
\left\{\begin{array}{l}
u+v=2^k \quad(k \geq 1) \\\
u^{n-1}-u^{n-2} v+\cdots+v^{n-1}=1
\end{array}\right.
$$

Để ý $u^n+v^n=2^k=u+v$, ta sẽ chứng minh

$\left(u^n-v^n\right)(u-v) \geq 0$ với mọi $u, v$ và $n$ lẻ bằng quy nạp lên $n$. Trường hợp $n=1$ chính là $(u-v)^2 \geq 0$, còn $n=3$ là $\left(u^3-v^3\right)(u-v)=(u-v)^2\left(u^2+u v+v^2\right) \geq 0$.

Giả sử nó đúng với $n-2$ và $n$, ta chứng minh nó cũng đúng với $n+2$
$$
\begin{aligned}
\left(u^{n+2}-v^{n+2}\right)(u-v)= & \left(u^{n+2}-u^2 v^n+u^2 v^n-u^n v^2+u^n v^2-v^{n+2}\right)(u-v) \
= & u^2\left(u^n-v^n\right)(u-v)+u^2 v^2\left(u^{n-2}-v^{n-2}\right)(u-v) \
& +v^2\left(u^n-v^n\right)(u-v) \geq 0
\end{aligned}
$$

  • $2\left(u^n+v^n\right) \geq\left(u^2+v^2\right)\left(u^{n-2}+v^{n-2}\right)$ với mọi $u, v$ và $n \geq 3$ lẻ. Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
    $$
    u^n+v^n-u^2 v^{n-2}-v^2 u^{n-2} \geq 0 \Leftrightarrow\left(u^{n-2}-v^{n-2}\right)(u-v) \geq 0
    $$

Đúng theo bất đẳng thức ta đã chứng minh ở trên.
Áp dụng vào bài toán, ta có $u+v=u^n+v^n \geq \frac{u^2+v^2}{2} \cdot\left(u^{n-2}+v^{n-2}\right) \geq\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)^2$. $\left(u^{n-4}+v^{n-4}\right) \geq \cdots\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)^{(n-1) / 2}(u+v)$. Nhưng $u+v=2^k \geq 2^1>1$, nên
$$
\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)^{(n-1) / 2} \leq 1 \Leftrightarrow u^2+v^2 \leq 2
$$

Xét các giá trị $u, v=0, \pm 1$ thỏa mãn điều kiện trên, ta được các cặp $(u, v)=$ $(0,0),( \pm 1,0),(0, \pm 1),( \pm 1, \pm 1)$. Thử vào $u+v=u^n+v^n=2^k$ (với $2^k \geq 2^1=2$ ), ta chỉ có đúng $u=v=1$ và $k=1$ thỏa. Ta nhận các bộ
$$
(x, y, m, n)=\left(2^e, 2^e, n e+1, n\right) \quad(n \geq 3 \text { lẻ })
$$

Tổng hợp các trường hợp lại, ta kết luận các nghiệm $(x, y, m, n)$ như sau
(a) $\left(2^e, 0, n e, n\right),\left(0,2^e, n e, n\right)$, và $\left(2^e, 2^e, n e+1, n\right)(e, n \geq 0)$.
(b) $\left(-2^e, 0, n e, n\right),\left(0,-2^e, n e, n\right)$, và $\left( \pm 2^e, \pm 2^e, n e+1, n\right)(e, n \geq 0, n$ chẵ $)$.
(c) $\left(u, 2^m-u, m, 1\right)(u \in \mathbb{Z}, m \geq 0)$

Ví dụ 3.11. Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ sao cho
$$
16 x y z=d(x+y+z)^2
$$
với $d$ là ước chung của $x, y, z$

Hướng dẫn giải

Đặt $x=d a, y=d b, z=d c$, ta có $(a, b, c)=1$. Phương trình tương đương với $16 a b c=(a+b+c)^2$.
*Gọi $p^{2 k+1}$ là một ước của $a, p$ nguyên tố. Ta sẽ chứng minh $p^{2 k+2}$ cũng là ước của $a$.

(a) Nếu $p=2$ : đặt $a=2^{2 k+1} u$, ta có
$$
2^{2 k+5} u b c=\left(2^{2 k+1} u+b+c\right)^2
$$

Nếu $b$ chẵn thì $c$ cũng phải chẵn (và ngược lại), nhưng điều này mâu thuẫn với $a, b, c$ nguyên tố cùng nhau. Như vậy $b, c$ phải lẻ. Đê ý vế trái là bội của $2^{2 k+5}$ (mũ lẻ), nên $Q^2: 2^{2 k+5}(Q=$ $2^{2 k+1} u+b+c$. Nói cách khác, $Q: 2^{k+3}$ hay $Q=2^{k+3} R$. Từ đó
$$
2^{2 k+5} u b c=Q^2=2^{2 k+6} R^2
$$
nên $2^{2 k+5} u b c: 2^{2 k+6}$. Nhưng $b, c$ lẻ, nên ta có $u: 2$. Như vậy $a=2^{2 k+1} u: 2^{2 k+2}$.
(b) Nếu $p>2$ : lập luận tương tự như trên, ta đặt $Q=a+b+c$ và $a=p^{2 k+1} u$. Phương trình tương đương với
$$
Q^2=16 p^{2 k+1} u b c: p^{2 k+1}
$$
hay $Q: p^{k+2}$. Ta có $16 p^{2 k+1} u b c=Q^2: p^{2 k+2}$. Nhưng $p>2$, nên $u b c: p$.

Giả sử, không mất tính tổng quát b:p. Khi đó $(a+b+c)^2=16 a b c: p$, nên $a+b+c: p$. Nhưng $a: p$, nên c:p. Ta có điều vô lý do $a, b, c$ nguyên tố cùng nhau. Như vậy $u: p$, nên $a=p^{2 k+1} u: p^{2 k+2}$.

Như vậy nếu $a=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}$ là phân tích thừa số nguyên tố, các số mũ $\alpha_i$ phải chẵn (nếu $\alpha_i$ lẻ thì $p_i^{\alpha_i+1}$ cũng là ước của $a$, vô lý). Cùng với $a>0$, ta kết luận $a$ là số chính phương. Chứng minh tương tự, $b, c$ cũng chính phương.
*Đặt tiếp $a=u^2, b=v^2, c=w^2(u, v, w>0)$, ta có phương trình
$$
16 u^2 v^2 w^2=\left(u^2+v^2+w^2\right)^2 \Leftrightarrow u^2+v^2+w^2=4 u v w
$$

Do $a, b, c$ nguyên tố cùng nhau, $u, v, w$ cũng phải nguyên tố cùng nhau. Mặt khác, xét modulo 4 cho cả 2 vế, ta có $u^2+v^2+w^2 \equiv 0,1,2,3(\bmod 4)$, với $u^2+v^2+w^2 \equiv 0(\bmod 4)$ khi và chỉ khi $u^2, v^2, w^2 \equiv 0 (\text{b mod 4} )$. Như vậy $u, v, w$ đều chẵn, vô lý.

Ta kết luận phương trình vô nghiệm.

Suy luận phản chứng (phần 2)

Phép phản chứng trong toán học còn được gọi là phương pháp chứng minh bằng mâu thuẫn. Nếu ta muốn chứng minh kết luận của bài toán là đúng thì cần phải chứng minh điều ngược lại với giả thiết là sai. Sau đây ta xét một vài ví dụ áp dụng suy luận này, dành cho các bạn hs lớp 8, 9.

1/ Ví dụ:

Ví dụ 1. 

Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỷ.

Lời giải

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại $a,b\in \mathbb{N}^*$ sao cho $\sqrt{2}= \dfrac{a}{b}$ với $(a,b)=1$

Ta có: $(\sqrt{2})^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2}$ hay $a^{2}=2 b^{2}\quad (1)$

Suy ra a là số chẵn, ta có: $\mathrm{a}=2 \mathrm{c}$ với $c\in Z$

Thay $\mathrm{a}=2 \mathrm{c}$ vào (1) ta được: $(2 c)^{2}=2 b^{2}$ hay $b^{2}=2 c^{2}$

Do đó, b là số chẵn

Hai số a và $b$ đều số chẵn $\Rightarrow$ Mâu thuẫn với $(1)$

Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Ví dụ 2. 

Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỷ và một số vô tỷ là số vô tỷ.

Lời giải

Giả sử tổng của số hữu tỉ a vs số vô tỉ b là số hữu tỉ c, ta có: $\mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$

Mà hiệu của 2 số hữu tỉ phải là số hữu tỉ nên $b$ là số hữu tỉ

$\Rightarrow$ Mâu thuẫn vs giả thiết

Vậy tổng của 1 số hữu tỉ với 1 số vô tỉ là 1 số vô tỉ.

Ví dụ 3. (Nguyên lý Dirichlet)

Có $nk + 1$ viên bi, bỏ vào trong $k$ cái hộp. Chứng minh rằng có ít nhất một hộp có ít nhất là là $n+1$ viên bi.

Lời giải

Giả sử tất cả các hộp đều chứa số bi không vượt quá $n$ viên, khi đó tổng số bi không vượt quá $nk$, mâu thuẫn. Vậy phải có một hộp chứa nhiều hơn $n$ viên bi $\Rightarrow$ đpcm.

2/ Bài tập

Bài 1. 

Cho 15 số phân biệt thỏa mãn tổng của 8 số bất kì lớn hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh tất cả các số đã cho đều dương.

Lời giải

Gọi 15 số đã cho là $a_1<a_2<a_3<\cdots <a_{15}$. Ta chỉ cần chứng minh $a_1 > 0$.

Thật vậy, giả sử $a_1 \leq 0$, khi đó $$a_1 + a_2 + \cdots + a_8 \leq a_2 + a_3 + \cdots a_8 < a_9 + \cdots a_{15}$$ (mâu thuẫn).

Vậy điều giả sử là sai, hay  $0<a_1\Rightarrow 15$ số đã cho đều dương.

Bài 2. 

Từ 8 số nguyên dương không lớn hơn 20, chứng minh rằng có thể chọn ra 3 số $x, y, z$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Lời giải

Gọi 8 số nguyên dương không lớn hơn 20 là $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{8}$

$$ \text { với } 1 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq \ldots \ldots \leq a_{8} \leq 20 $$

Nhận thấy rằng với ba số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a \geq b \geq c$ và $b+c>a$ thì khi đó $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

Giả sử trong các số $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots . a_{8}$ không chọn được 3 số nào là độ dài 3 cạnh của tam giác thì ta có:

$$a 3 \geq a 1+a 2 \geq 1+1=2$$

$$a 4 \geq a 2+a 3 \geq 1+2=3$$

$$a 5 \geq a 3+a 4 \geq 2+3=5$$

$$a 6 \geq a 4+a 5 \geq 3+5=8$$

$$a 7 \geq a 5+a 6 \geq 5+8=13$$

$$a 8 \geq a 6+a 7 \geq 13+8=21$$

$\Rightarrow$ Trái với giả thiết

Vậy điều giả sử là sai

$\Rightarrow$ đpcm.

Bài 3. 

Cho tập $B = {1, 2, 3, …, 16}$. Người ta ghi các số của tập B thành một vòng tròn (mỗi số ghi một lần). Hỏi có cách ghi để tổng thỏa:

a/ Tổng của hai số kề nhau bất kì lớn hơn hoặc bằng 17 được không? Tại sao?

b/ Tổng của ba số kề nhau bất kì lớn hơn 24 được không? Tại sao?

Lời giải

a/ Giả sử tồn tại cách ghi thỏa mãn. Khi đó, gọi 2 số kề với 1 là a và b.

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{l} 1 + a \geqslant 17  \\1 + b \geqslant 17  \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}  a \geqslant 16 \\ b \geqslant 16 \end{array} \right. \Rightarrow$ Mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại cách ghi thỏa mãn.

b/ Giả sử tồn tại cách ghi thỏa mãn.

Khi đó, ta tách số 16 ra và chia 15 số còn lại thành 5 bộ 3 số kề nhau. Và tổng của 16 số này phải lớn hơn hoặc bằng: $16+5\cdot 25=141$

Mà $1+2+3+\cdots 16=136 \Rightarrow $ Mâu thuẫn

Vậy không tồn tại cách ghi thỏa mãn.

Bài 4. 

Có thể chia tập $X = \{1, 2, …, 2023\}$ thành hai tập rời nhau sao cho tổng các phần tử thuộc tập này bằng 2 lần tổng các phần tử thuộc tập kia?

Lời giải

Giả sử có thể chia tập $X$ thành hai tập rời nhau $A$ và $B$ sao cho tổng các phần tử thuộc A bằng 2 lần tổng các phần tử thuộc B.

Khi đó, tổng các phần tử của 2 tập hợp này phải chia hết cho 3.

Mà ta có: $1+2+3+\cdots +2023=\dfrac{2023\cdot 2024}{2}=1012\cdot 2023 \not \vdots \ 3 \Rightarrow$ Mâu thuẫn

Vậy không thể chia tập $X$ thành hai tập rời nhau $A$ và $B$ sao cho tổng các phần tử thuộc $A$ bằng 2 lần tổng các phần tử thuộc $B$.

Bài 5. 

Một bảng vuông $8 \times 8$ khuyết các ô vuông ở hai góc đối diện. Hỏi có thể phủ các ô của bảng vuông bằng các hình Domino $1 \times 2$ mà không có quân Domino nào chồng lên nhau được không? Tại sao?

Lời giải

Không có mô tả.

Giả sử có thể phủ các ô của bảng vuông bằng các hình Domino $1 \times 2$ mà không có quân Domino nào chồng lên nhau.

Mỗi quân Domino lát vào bàn cờ luôn chiếm một ô trắng và một ô đen. Do đó, để lát được phần còn lại của bàn cờ thì số ô trắng và số ô đen bằng nhau. Mà số ô màu trắng và số ô màu đen trong phần còn lại của bàn cờ không bằng nhau. Điều này mâu thuẫn.

Vậy không thể lát được phần còn lại của bàn cờ bằng các quân Domino.

TẬP HỢP – TẬP HỢP SỐ

Ví dụ 1.1. Số nguyên $A$ được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: $A=123 \ldots 585960$.
(a) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của $A$ sao cho số $A_1$ tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất.
(b) Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của $A$ sao cho số $A_2$ tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

(a) Số $A$ có $9+2.51=111$ chữ số. Sau khi xóa 100 chữ số của $A$ ta còn 11 chữ số.
Ta có: $A=12 \ldots 10 \ldots 20 \ldots 30 \ldots 40 \ldots 50 \ldots 60$ có 6 chữ số 0 .
Để $A_1$ nhỏ nhất ta sẽ xóa sao cho $A_1$ có nhiều số 0 đứng đầu nhất.
Theo phân bố của các số 0 trong $A$ thì số $A_1$ có thể có tối đa 5 chữ số 0 đứng đầu. Còn lại 6 chữ số của $A_1$ sẽ được lấy từ dãy số sau: 51525354555657585960 .
Vậy số $A_1=00000123450$ là số nhỏ nhất cần tìm.
(b) Tương tự lập luận ở câu a)
Ta có: $A=1 \ldots 9 \ldots 19 \ldots 29 \ldots 39 \ldots 49 \ldots 5960$ có 6 chữ số 9 .
Để $A_2$ lớn nhất thì ta sẽ xóa sao cho $A_2$ có nhiều số 9 đứng đầu nhất.
Theo phân bố của các số 9 trong $A$ thì số $A_2$ có thể có tối đa 5 chữ số 9 đứng đầu. Còn lại 6 chữ số của $A_2$ sẽ được lấy từ dãy số sau: 51525354555657585960 .
Vậy số $A_2=99999785960$ là số lớn nhất cần tìm.

Ví dụ 1.2. Cho tập $A=\{1,2,3, \ldots, 9\}$.
(a) Hãy chỉ ra một cách chia tập $A$ thành 3 tập con rời nhau, có số phần tử bằng nhau và tổng các phần tử bằng nhau.
(b) Tìm tất cả cách chia trong câu a.

Hướng dẫn giải

(a) $A_1=\{1,5,9\}, A_2=\{2,6,7\}, A_3=\{3,4,8\}$ là một cách chia thỏa đề bài.
(b) Tổng các phần tử là $1+2+\cdots+9=45$ do đó mỗi tập hợp có tổng là 15 và có 3 phần tử.
Dễ thấy $1,2,3$ không cùng một tập hợp, vì nếu cùng thì phần tử còn lại sẽ lớn hơn hoặc bằng 10 (vô lý).
Giả sử $1 \in A_1, 2 \in A_2, 3 \in A_3$. hai phần tử còn lại của $A_1$ là $a, b$, ta có $a+b=14$, chỉ có thể là 6,8 hoặc 5,9.
Nếu $6,8 \in A_1$, thì hai phần tử thuộc $A_2$ tổng là 13, chỉ có thể là 4,9 .
Khi đó $5,7 \in A_3$. Ta có các kết quả $A_1=\{1,6,8\}, A_2=\{2,4,9\}, A_3=\{3,5,7\}$.
Nếu $5,9 \in A_1$, thì hai phần tử thuộc $A_2$ có tổng 13 là 6,7.
Khi đó $4,8 \in A_3$. Các kết quả là $A_1=\{1,5,9\}, A_2=\{2,6,7\}, A_3=\{3,4,8\}$.

Ví dụ 1.3. Biết rằng:
$$
A=\{1 ; a\}, B=\{a ; b ; 3\}, C=\{2 ; 4 ; c\}, D=\{a ; b ; 4\}, E=\{a ; b ; c ; e\}
$$
và biết $A \subset D ; B \subset E ; C \subset E ; D \subset E$. Tìm các phần tử $a, b, c, e$.

Hướng dẫn giải

Từ $A \subset D$, suy ra $b=1$.
Từ $B \subset E$, thì một trong hai số $c$ hoặc $e$ phải là $3(1)$.
Từ $D \subset E$ thì một trong hai số $c$ hoặc $e$ phải là $4(2)$.
Từ $C \subset E$ và (1),(2) thì $c, e$ không nhận giá trị 2 nên $a=2$ và $e=4$, suy ra $c=3$.
Vậy $a=2, b=1, c=3, e=4$.

Ví dụ 1.4. Tập hợp $M$ chứa 4 số nguyên phân biệt được gọi là tập liên kết nếu với mỗi $x \in M$ thì ít nhất một trong hai số $x-1, x+1$ thuộc $M$. Gọi $U_n$ là số tập con liên kết của tập $\{1,2, \ldots, n\}$.
(a) Tính $U_7$.
(b) Xác định giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho $U_n \geq 2019$.

Hướng dẫn giải

Gọi $a<b<c<d$ là 4 phần tử của một tập liên kết M.
Vì $a-1 \notin M $ nên $a+1 \in M$, suy ra $b=+1$. Vì $d-1 \in M$, suy ra $c=d-1$.
Như vậy một tập liên kết sẽ có dạng $\{a+1, d-1, d\}$, với $\{d-a>2\}$.
(a) Có 10 tập con liên kết của tập $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ là
$$
\begin{aligned}
& \{1,2,3,4\},\{1,2,4,5\},\{1,2,5,6\},\{1,2,6,7\}, \
& \{2,3,4,5\},\{2,3,5,6\},\{2,3,6,7\}, \
& \{3,4,5,6\},\{3,4,6,7\},\{4,5,6,7\} .
\end{aligned}
$$
(b) Gọi $D=d-a+1$ là đường kính của tập $\{a, b=a+1, c=d-1, d\}$, hiển nhiên $3<D \leq$ $n-1+1=n$.
Với $D=4$ sẽ có $n-3$ tập liên kết, với $D=5$ sẽ có $n-4$ tập liên kết, …, với $D=n$ sẽ có đúng một tập liên kết. Do đó
$$
U_n=1+2+\ldots+(n-3)=\dfrac{(n-3)(n-2)}{2} .
$$
Do đó $U_n \geq 2019 \Leftrightarrow(n-3)(n-2) \geq 4038$. Như vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ là $n=67$.

Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng với mọi số dương $m$ thì $\dfrac{2 m}{m^2+5}$ không thể là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có $0<\dfrac{2 m}{m^2+5}<1$ nên $\dfrac{2 m}{m^2+5}$ không thể là số nguyên.

Ví dụ 1.6. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường PTNK năm 2014) Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại.
(a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đā cho đều không nhỏ hơn 5 .
(b) Tìm tất cả các bộ gồm 5 số thỏa mãn đề bài mà tồng của chúng nhỏ hơn 40 .

Hướng dẫn giải

(a) Gọi 5 số đó là $a, b, c, d, e$, do các số là phân biệt nên ta có thể giả sử $ad+e$, suy ra $a+b+c \geq d+e+1$. Suy ra $a \geq d+e+1-b-c$.
Mặt khác, do $b, c, d, e$ là số tự nhiên nên từ $d>c>b$ ta có $d \geq c+1 \geq b+2$, suy ra $d-b \geq 2$. $e>d>c$, suy ra $e-c \geq 2$.
Do đó $a \geq(d-b)+(e-c)+1 \geq 5$. Suy ra $b, c, d, e>5$.
Vậy các số đều không nhỏ hơn 5.
(b) Nếu $a \geq 6$, suy ra $b \geq 7, c \geq 8, d \geq 9, e \geq 10$, suy ra $a+b+c+d+e \geq 40$ ( vô lý),
suy ra $a<6$.
Theo câu a ta có $a=5$. Khi đó $b+c+5 \geq d+e+1$, suy ra $b+c \geq d+e-4$.
Mà $d-2 \geq b, e-2 \geq c$, suy ra $d+e-4 \geq b+c$. Do đó $b=d-2, c=e-2$.
Khi đó $a+b+c+d+e=5+2 b+2 c+4<40$. Suy ra $b+c<\dfrac{31}{2}$. Suy ra $b \geq 7$.
Từ đó ta có $b=6, b=7$.
Nếu $b=6$ ta có $d=8, c=8, e=10$. Ta có bộ $(5,6,7,8,9)$
Nếu $b=7, d=9, c=8, e=10$.
Ta có bộ $(5,7,8,9,10)$. Vậy có hai bộ số thỏa đề bài là $(5,6,7,8,9)$ và $(5,7,8,9,10)$.

Ví dụ 1.7. Trong một buôn của người dân tộc, cư dân có thể nói được tiếng dân tộc, có thể nói được tiếng Kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết quả của một đợt điều tra cơ bản cho biết:
Có 912 người nói tiếng dân tộc,
Có 653 người nói tiếng Kinh,
Có 435 người nói được cả hai thứ tiếng.
Hỏi buôn làng có bao nhiêu cư dân ?

Hướng dẫn giải

Gọi $A$ là tập các người các người nói tiếng dân tộc, ta có $|A|=912, B$ là tập các người nói tiếng Kinh, ta có $|B|=653$. Khi đó $|A \cap B|=435$.
$A \cup B$ là tập các người dân trong buông.
Ta có
$$
|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|=912+653-435=1130
$$

Bài 1.1. Viết các số từ 1 đến 9 vào một bảng vuông $3 \times 3$, mỗi số viết một lần, sao cho tồng số ở mỗi dòng, mỗi cột và hai đường chéo đều được số chia hết cho 9 .
(a) Chỉ ra một cách viết thỏa đề bài.
(b) Với cách viết thỏa đề bài thì ô chính giữa có thể là các số nào? Tại sao?

Hướng dẫn giải

(a)
(b) Giả sử ta có bảng sau thỏa đề bài

Ta có $a+e+k, c+e+g, d+e+f, b+e+h$ chia hết cho 9 .

$$
a+e+k+c+e+g+d+e+f+b+e+h=3 e+a+b+c+d+e+f+g+h+k=3 e+45
$$
nên $3 e+45$ chia hết cho 9 , do dó $e$ chia hết cho 3 , vậy $e \in\{3,6,9\}$.

Bài 1.2. Tích của $n$ số nguyên bằng 1 và tổng của chúng bằng 0 . Chứng minh rằng $n$ là một số chia hết cho 4 .

Hướng dẫn giải

Gọi $n$ số đó là $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Ta có
$$
a_1+a_2+\cdots+a_n=0
$$

$$
a_1 \cdot a_2 \cdots a_n=1
$$
nên các số $a_i \in\{-1 ; 1\}$, mà tổng bằng 0 nên số các số 1 bằng số các số -1 , do đó $n$ chẵn, đặt $n=2 k$, khi đó
$$
1=a_1 \cdot a_2 \cdots a_n=(-1)^k
$$
Do đó $k$ cũng chẵn, suy ra $n$ chia hết cho 4.

Bài 1.3. Tập hợp $\mathrm{A}$ bao gồm các số tự nhiên thỏa các điều kiện sau:
(a) $1 \in A$;
(b) Nếu $n \in A$ thì $2 n+1 \in A$;
(c) Nếu $3 n+1 \in A$ thì $n \in A$;
Vậy 8 có thuộc $A$ không ?

Hướng dẫn giải

$\{1,3,7,15,31,63,127\} \in A$, và $\{42,85,171,343,114,229,76,25,8\} \in A$

Bài 1.4. Giả sử $x, y, z, t$ là bốn số khác nhau và là các phần tử của tập hợp
$$
A=\{1 ; 2 ; 3 ; 4\} .
$$
Tìm $x, y, z, t$ với các giả thiết:
Nếu $x \neq 1$ thì $z \neq 2$;
Nếu $t=2$ thì $y \neq 1$;
Nếu $y=2$ hoặc $y=3$ thì $x=1$;
Nếu $y \neq 3$ thì $z=4$;
Nếu $t \neq 1$ thì $y=1$.

Hướng dẫn giải

Bài 1.5. Một nhóm 6 học sinh làm bài kiểm tra môn toán được điểm là số tự nhiên từ 1 đến 10 . Hai bạn được gọi là bạn tốt nếu điểm trung bình của 2 bạn đó lớn điểm trung bình của 6 bạn.
(a) Có thể chia 6 bạn thành 3 cặp bạn tốt được không? Tại sao?
(b) Nếu số điểm của 6 bạn là khác nhau, chứng minh rằng có 2 bạn có số điểm hơn kém nhau là 1 .

Hướng dẫn giải

Gọi số điểm các bạn lằn lượt là $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, và $a_i \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.
Đặt $s=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$
(a) Giả sử chia được thành 3 cặp bạn tốt, giả sử là các cặp $a_1, a_2 ; a_3, a_4$ và $a_5, a_6$ ta có
$$
\dfrac{a_1+a_2}{2}>\dfrac{s}{6}, \dfrac{a_3+a_4}{2}>\dfrac{s}{6}, \dfrac{a_5+a_6}{2}>\dfrac{s}{6}
$$
Suy ra
$$
\dfrac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6}{2}>\dfrac{s}{2}
$$

Điều này mâu thuẫn.
(b) Giả sử không có bạn nào hơn kém nhau là 1 , thì giả sử $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$ Suy ra $a_2 \geq 3, a_3 \geq 5, \cdots, a_6 \geq 11$, vô lí.

Bài 1.6. Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT ở một trường, kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc nhu sau:
Về môn Toán: 48 thí sinh,
Về Toán hoặc Văn: 76 thí sinh,
Về Vật lí: 37 thí sinh,
Về Văn: 42 thí sinh,
Về Vật lí hoặc Văn: 66 thí sinh,
Về Toán hoặc Vật lí: 75 thí sinh,
Về cả ba môn: 4 thí sinh.
Vậy có bao nhiêu học sinh chỉ nhận được danh hiệu xuất sắc về:
(a) 1 môn ?
(b) 2 môn?
(c) Ít nhất 1 môn?

Hướng dẫn giải

Sử dụng biểu đồ Venn. Kí hiệu $A, B, C$ là tập hợp các học sinh đạt danh hiệu xuất sắc tương ứng với các môn Toán, Vật lí hoặc Văn. Các tập hợp này, theo giả thiết thì có 48,37 và 42 phần tử. Giao của ba tập hợp này có 3 phần tử. Kí hiệu qua $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ là số các thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc.

Theo 1,2 hoặc 3 môn. Dựa vào biểu đồ Venn ta lập được các phương trình:
$$
\left\{\begin{array}{l}
a+x+y=44 \\\
b+x+z=33 \\\
a+b+x+y+z=71 \\\
a+c+x+y+z=72 \\\\
b+c+x+y+z=62
\end{array}\right.
$$
Ta có được một hệ 6 phương trình với 6 ần, nhưng diều mà ta cần biết không phải là các giá trị ẩn $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ mà là các tổng $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}, \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}$.
Muốn vậy, ta cộng ba phương trình đầu của hệ và sau đó cộng ba phương trình sau của hệ với nhau và được:
$$
\left\{\begin{array}{l}
a+b+c+2(x+y+z)=115 \\\
2(a+b+c)+3(x+y+z)=205
\end{array}\right.
$$
Xem hệ này như là một hệ phương trình hai ẩn, ta tính được:

$$
\begin{aligned}
& a+b+c=65 \
& x+y+z=25
\end{aligned}
$$

Đáp số: 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn, 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 môn, 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn.

Bài 1.7. Một số $m$ được gọi là số ma thuật nếu tổng các chữ số của nó bằng tích các chữ số của nó. Ví dụ số 213 ta có $2+1+3=2 \times 1 \times 3$.
(a) Chứng minh rằng có số ma thuật có $1,2,3,4,5$ chữ số.
(b) Có số ma thuật có 6 chữ số hay không? Tại sao?
(c) Chứng minh rằng có số ma thuật có 2037 chữ số.

Hướng dẫn giải

(a) Các số ma thuật có $1,2,3,4,5$ chữ số là: $1,22,123,4211,52111$.
(b) Số ma thuật có 6 chữ số: 621111
(c) $22222222222111 \ldots .1,11$ chữ số 2 và 2025 chữ số 1 .

Bài 1.8. Có thể viết các số tự nhiên từ 1 đến 16 thành
(a) một đường thẳng
(b) một đường tròn
sao cho tồng hai số liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên dược không? Tại sao

Hướng dẫn giải

(a) $8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9,16$.
(b) Giả sử tồn tại cách ghi thỏa đề bài, ta xét hai số kề bên số 8 , gọi là $a, b$ thì $8+a, 8+b$ đều là số chính phương, suy ra $a=b=1$, vô lí. Vậy không tồn tại cách ghi thỏa đề bài.

Bài 1.9. Cho $A$ là tập con của tập các số hữu tỷ dương thỏa mãn các điều kiện sau:
$1 \in A$
Nếu $x \in A$ thì $1+x \in A$
Nếu $x \in A$ thì $\dfrac{1}{x} \in A$

Hướng dẫn giải

(c) $\dfrac{13}{5}=2+\dfrac{3}{5}$.
Ta có $\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{3}} \dfrac{3}{2} \in A \Rightarrow \dfrac{2}{3} \in A \Rightarrow \dfrac{5}{3}=1+\dfrac{2}{3} \in A$, do đó $\dfrac{3}{5} \in A$, hơn nữa $2 \in A$, suy ra $\dfrac{13}{5}=2+\dfrac{3}{5} \in A$.

Bài 1.10. Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến $n$. Cứ mỗi lần một học sinh xóa đi hai số và thay bằng tổng hoặc hiệu của hai số đó.
(a) Cho $n=8$ hỏi sau 7 lần có thể số trên bảng còn lại số 0 dược không?
(b) Câu hỏi tương tự với $n=9$.

Hướng dẫn giải

(a) Câu trả lời là thực hiện được, ta làm như sau:
$1,2,3,4,5,6,7,8$
$1,2,3,4,5,6,1$
$1,2,3,4,1,1$
$1,2,1,1,1$
$1,1,1,1$,
$1,1,0$
$0,0$
$0$
(b) Câu trả lời là không, vì mổi lần thay đổi thì tổng các số còn lại tính chẵn lẻ khồng đổi, tổng lúc đầu là $1+2+\cdots+9=45$ nên sau một số lần thay đổi thì số còn lại phải là số lẻ, không thể bằng 0 .

Bài 1.11. Có bao nhiêu cách viết số 1 thành tồng của 3 phân số mà mỗi phân số có tử số bằng 1 và mẫu số là một số tự nhiên? Tại sao?

Hướng dẫn giải

$$
1=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}
$$

Bài 1.12. Chứng minh rằng giữa hai số hữu tỉ phân biệt luôn có một số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

Cho $a, b \in \mathbb{Q}, a<b$. Xét $c=\frac{a+b}{2}$ ta có $a<c<b$ và $c \in \mathbb{Q}$.

Bài 1.13. Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có thể viết thành tổng bình phương của hai số tự nhiên khác, ví dụ $5=1^2+2^2$ thì $5 \in S$. Chứng minh rằng nếu $x, y \in S$ thì $x y \in S$.

Hướng dẫn giải

Cho $a, b \in S$ ta có $a=x^2+y^2, b=z^2+t^2$, khi đó
$$
a b=\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)=x^2 z^2+y^2 t^2+x^2 t^2+y^2 z^2=(x z+t y)^2+(x z-t y)^2
$$
Do đó $a b \in S$.

Bài 1.14. Cho $a, b$ là các số nguyên dương phân biệt, chứng minh rằng 1 không là nghiệm của phương trình $x^2-2(a+b) x+a b+2=0$.

Hướng dẫn giải

Giả sử 1 là nghiệm của phương trình ta có
$$
1^2-2(a+b) 1+a b+2=0 \Leftrightarrow a b-2 a-2 b+3=0 \Leftrightarrow(a-2)(b-2)=1
$$
Do $a, b$ là các số nguyên dương nên $a=1, b=1$ hoặc $a=3, b=3$ mâu thuẫn vì $a \neq b$.

Bài 1.15. Cho các số $a_1, a_2, \cdots, a_6$ thỏa $-\dfrac{1}{2} \leq a_i \leq \dfrac{1}{2}$ và tổng của 5 số bất kì là một số nguyên. Chứng minh rằng 6 số này bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đặt $S=a_1+a_2+\cdots a_6$, ta có $S \in \mathbb{Z}$
Ta có $S-a_i \in \mathbb{Z}$ với mọi $i$.
Giả sử có hai số $a_1 \neq a_2$ ta có $S-a_1-\left(S-a_2\right) \in \mathbb{Z} \Rightarrow a_2-a_1 \in \mathbb{Z}$, suy ra $a_1, a_2 \in\{\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\}$, do $a_1 \neq a_2$ nên $a_1=\dfrac{1}{2}, a_2=-\dfrac{1}{2}$ hoặc $a_1=\dfrac{-1}{2}, a_2=\dfrac{1}{2}$.
Tương tự xét cặp số giữa $a_1$ với các số $a_3,a_4, a_5, a_6$ ta có cũng có các số còn lại thuộc $\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{-1}{2}\}$, do đó tổng 5 số lúc này không thể là số nguyên.

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN SGD TPHCM NĂM 2022

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: ( 1,0 điểm)
Cho $x, y$ là hai số thực thỏa mãn $x y+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=1$.
Tính giá trị của biểu thức $M=\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)$.

Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{x+4}+|x|=x^2-x-4$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y+z}=2 x-1 \\\ \frac{y}{z+x}=3 y-1 \\\ \frac{z}{x+y}=5 z-1\end{array}\right.$

Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hình vuông $A B C D$. Trên các cạnh $B C$ và $C D$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{M A N}=45^{\circ}$.
a) Chứng minh $M N$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ bán kính $A B$.
b) Kė $M P$ song song với $A N$ ( $P$ thuộc đoạn $A B$ ) và kẻ $N Q$ song song với $A M$ ( $Q$ thuộc đoạn $A D$ ). Chứng minh $A P=A Q$.
Bài 4: (2,0 điếm)
Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa $a+b+c=3$.
a) Chứng minh rằng $a b+b c+c a \leq 3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$.

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B<A C)$ có các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $E F$ cắt đường thẳng $B C$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $I H$ tại $K$ và cắt $B C$ tại $M$.
a) Chứng minh tứ giác $I F K C$ nội tiếp và $\frac{B I}{B D}=\frac{C I}{C D}$.
b) Chứng minh $M$ là trung điểm của $B C$.

Bài 6: (1,0 điểm )
Số nguyên dương $n$ được gọi là “số tốt” nếu $n+1$ và $8 n+1$ đều là các số chính phương.
a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có $1,2,3$ chữ số.
b) Tìm các số nguyên $k$ thỏa mãn $|k| \leq 10$ và $4 n+k$ là hợp số với mọi $n$ là “số tốt”.

Đáp án do Star Education thực hiện

ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN SGD THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2023

THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT

Bài 1. (1,0 diểm) Cho $a, b$ là các số thực, $b \neq 0$ thỏa mãn điều kiện
$$
a^2+b^2=\frac{4 b^2}{\sqrt{a^2+b^2}+a}+a \sqrt{a^2+b^2}
$$

Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2$.
Bài 2. (2,5 điếm)
a) Giải phương trình: $x=\frac{5}{x-1}+2 \sqrt{x-2}$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{9 y+49}{x+y}+x+y=23 \\\ x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=7(\sqrt{x}+\sqrt{y})\end{array}\right.$.

Bài 3. (2,5 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A(A B<A C)$, có đường cao $A H$. Dường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$, tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $J$ là giao điểm của $A I$ và $D E . K$ là trung điểm $A B$.
a) Chứng minh tứ giác $B I J D$ nội tiếp
b) Gọi $M$ là giao điểm của $K I$ và $A C, N$ là giao điểm của $A H$ và $E D$. Chứng minh $A M=A N$.
c) Gọi $Q$ là giao điểm của $D I$ và $E F, P$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh ba điểm $A, P, Q$ thẳng hàng.

Bài 4. (2,0 diểm) Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\sqrt{1+4 x y+2 x+2 y}+2 z=5$.
a) Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{(2 x+1)(2 y+1)}}+\frac{1}{2 z+1} \geq \frac{2}{3}$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biễu thức $P=\frac{x+1}{2 x+1}+\frac{y+1}{2 y+1}+\frac{2 z+3}{4 z+2}$.

Bài 5. (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ nội tiếp hình thoi $A B C D$. Gọi $E, F, G, H$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $A B, B C, C D, D A$ sao cho $E F, G H$ cùng tiếp xúc với $(O)$.
a) Chứng minh $C G \cdot A H=A O^2$.
b) Chứng minh $E H$ song song $F G$.

Bài 6. (1,0 điểm) Xét các số nguyên $a<b<c$ thỏa mãn $n=a^3+b^3+c^3-3 a b c$ là số nguyên tố.
a) Chứng minh $a<0$.
b) Tìm tât cả các số nguyên $a, b, c(a<b<c)$ sao cho $n$ là một ước của 2023.

ĐÁP ÁN CỦA GIÁO VIÊN STAR EDUCATION