Bài toán hàm số trong kì thi tuyển sinh vào 10

Leave a reply

Trong các kì thi tuyển sinh vào 10 có dạng toán liên quan đến hàm số, chủ yếu là hàm bậc hai dạng $y = ax^2$ (1) và đường thẳng $y = mx + n$ (2)Trong bài viết này chủ yếu xét các bài toán tương giao giữa đồ thị hàm số (1) và (2).

Nếu hàm số $y =ax^2$ có đồ thị là parabol $(P)$ và hàm số $y = mx + n$ có đồ thị là đường thẳng $d$, thì phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

$$ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 – m x – n =0 (*)$$

$(*)$ là một phương trình bậc hai, nên có 3 trường hợp xảy ra:

  • TH1: Nếu $(*)$ vô nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ không có giao điểm.
  • TH2: Nếu $(*)$ có 1 nghiệm thì $(d)$ và $(P)$ có 1 giao điểm, ta nói $d$ tiếp xúc với $(P)$.
  • TH3: Nếu $(*)$ có hai nghiệm phân biệt thì ta nói $(d)$ cắt $(P)$, và nghiệm của $(*)$ là hoành độ của hai giao điểm, từ hoành độ ta có thể tính tung độ của giao điểm dựa vào phương trình của $(d)$ hoặc của $(P)$.

Ta xét một vài ví dụ sau:

Bài 1. (Thi vào lớp 10 trường PTNK năm 2018) Gọi $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^2$ và $y=2 m x+3$.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ và tính $y_1+y_2$ theo $m$.
b) Tìm $m$ sao cho $y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2$.

Lời giải bài 1.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$$
x^2=2 m x+3 \Leftrightarrow x^2-2 m x-3=0 \quad(1)
$$

Xét phương trình (1), ta có: $\Delta^{\prime}=m^2+3>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$ hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
Theo định lý Viete, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2 m \\\ x_1 x_2=-3\end{array}\right.$
Khi đó $y_1=2 m x_1+3, y_2=2 m x_2+3$
$y_1+y_2=2 m x_1+3+2 m x_2+3=2 m\left(x_1+x_2\right)+6=4 m^2+6$
b) Ta có:
$y_1-4 y_2=x_1-4 x_2+3 x_1 x_2 $
$\Leftrightarrow 2 m x_1+3-8 m x_2-12=x_1-4 x_2-9 $
$ \Leftrightarrow 2 m\left(x_1-4 x_2\right)=x_1-4 x_2 $
$ \Leftrightarrow\left(x_1-4 x_2\right)(2 m-1)=0 $
$ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x_1=4 x_2 \\\
m=\frac{1}{2} \quad(n)
\end{array}\right. $
Với $x_1=4 x_2 $ lại có $x_1 x_2=-3 \Rightarrow 4 x_2^2=-3 $ (vô lý)
Vậy $m=\frac{1}{2} $

Bài 2. (Đề thi vào 10 trường PTNK năm 2019) Cho $(P),(d)$ lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^2$ và $y=2 x+m$.
a) Tìm $m$ sao cho $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ sao cho $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5$.

Lời giải bài 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$$
x^2=2 x+m \Leftrightarrow x^2-2 x-m=0 \quad(1)
$$
$(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 1+m>0 $
$ \Leftrightarrow m>-1(*)$
Vậy $m>-1$ thì $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt.


b) Với điều kiện $(*)$ theo Viete ta có: $S=x_1+x_2=2, P=x_1 \cdot x_2=-m$

Ta có: $A\left(x_1 ; y_1\right) \in(d) \Leftrightarrow y_1=2 x_1+m ; B\left(x_2 ; y_2\right) \in(d) \Leftrightarrow y_2=2 x_2+m$

Ta có: $\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(2 x_1-2 x_2\right)^2=5$

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+4\left(x_1-x_2\right)^2=5 $

$\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2=1$

$\Leftrightarrow 4+4 m=1 \Leftrightarrow m=\frac{-3}{4} $ thỏa (*)
Vậy $m = \dfrac{-3}{4}$.

Bài 3. Đồ thị của hàm số $f(x)=a x^2$ và $g(x)=-a x+b(a ; b$ là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1 và tung độ điểm chung thứ 2 là 8 . Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị và tính $a, b$.

Lời giải bài 3.

  • Phương trình hoành độ giao điểm $a x^2=-a x+b \Leftrightarrow a x^2+a x-b=0$ thì phương trình nhận 1 là nghiệm nên $a 1^2+a \cdot 1-b=0 \Rightarrow b=2 a$.
  • Khi đó gọi nghiệm còn lại là $x_2$ ta có $1 \cdot x_2=\frac{-b}{a}=-2$
  • Do đó tung độ $a(-2)^2=8$, suy ra $a=2$ và $b=4$.

Bài 4. (TS chuyên Đăk Lăk 2020 – 2021) Trong mặt phẳng $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2(m+1) x+3$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2$.

Lời giải bài 4.

  • Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-2(m+1) x-3=0\left(^*\right)$ $\Delta^{\prime}=(m+1)^2+3>0$ với mọi $m$.
  • Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2(m+1), x_1 x_2=-3$.
    Ta có $x_1^2-2(m+1) x_1-3=0$, suy ra $x_1^2-2 m x_1=2 x_1+3$ $x_1^2-2 m x_1+2 x_2-x_1 x_2=2 \Leftrightarrow 2 x_1+3+2 x_2-(-3)=2 \Leftrightarrow m=-2$.
  • Vậy $m=-2$.

Bài 5. (TS chuyên Khánh Hoà 2020 – 2021) Trên mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=2 x^2$ và đường thẳng $(d): y=-2 m x+m+1$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, tìm $m$ thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=66$.

Lời giải bài 5 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $P$ là
$$
2 x^2+2 m x-m-1=0
$$
$\Delta^{\prime}=m^2-2(-m-1)=(m+1)^2+1>0$ với mọi $m$, do đó $d$ cắt $P$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=-m, x_1 x_2=\frac{-m-1}{2}$.
Suy ra $x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2=m^2+m+1$
Ta có $66=\frac{1}{\left(2 x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{\left(2 x_1-1\right)^2+\left(2 x_2-1\right)^2}{\left(2 x_1-1\right)^2\left(2 x_2-1\right)^2}=\frac{4\left(x_1^2+x_2^2\right)-4\left(x_1+x_2\right)+2}{\left(4 x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right)^2}$
$$
=\frac{4\left(m^2+m+1\right)-4(-m)+2}{(-2 m-2-2(-m)+1)^2}=\frac{4 m^2+8 m+6}{1}
$$

Giải ra được $m=-5, m=3$.

Bài 6. (TS chuyên Thái Bình 2020 – 2021) Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P): y=\frac{x^2}{2}$ và hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=5 x+2,\left(d_2\right): y=\left(m^2+1\right) x+m$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $\left(d_2\right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ sao cho $Q=x_1+x_2-4 x_1 x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài 6 .
a) Điều kiện để $d_1 || d_2$ là $m^2+1=5, m \neq 2$, giải ra được $m=-2$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $P$ là
$$
\frac{x^2}{2}=\left(m^2+1\right) x+m \Leftrightarrow x^2-2\left(m^2+1\right) x-2 m=0
$$

Điều kiện $\Delta^{\prime}=\left(m^2+1\right)^2-(-2 m)>0 \Leftrightarrow m^4+2 m^2+1+2 m>0 \Leftrightarrow m^4+m^2+(m+1)^2>0$ (Đúng với mọi $m)$

Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2\left(m^2+1\right), x_1 x_2=-2 m$

Ta có $P=x_1+x_2-4 x_1 x_2=$ $2\left(m^2+1\right)-4(-2 m)=2\left(m^2+1+4 m\right)=2(m+2)^2-6 \geq-6$, đẳng thức xảy ra khi $m=-2$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=2 x-m-2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+1=2 x_2$.

Lời giải bài 8 .

  • Phương trình hoành độ giao điểm
    $$
    x^2=2 x-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 x+m+2=0
    $$
  • Điều kiện $\Delta^{\prime}=1-(m+2)>0 \Leftrightarrow m<-1$.
  • Theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2, x_1 x_2=m+2$.

Ta có $x_1^2=2 x_1-m-2$, suy ra $x_1^2+1=2 x_2 \Leftrightarrow 2 x_1-m-2+1=2 x^2 \Leftrightarrow 2\left(x_1-x_2\right)=m+1$ Kết hợp với Viete ta có $x_1=\frac{m+5}{4}, x_2=\frac{3-m}{4}$
Khi đó $x_1 x_2=m+2 \Leftrightarrow \frac{m+5}{4} \frac{3-m}{4}=m+2 \Leftrightarrow m=-1(l), m=-17(n)$.

  • Vậy $m=-17$.

Bài 9. Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Lời giải bài 9 .
a) Phương trình hoành độ giao điểm

$\quad x^2-(m+2) x+2 m=0 $
$\Delta=(m+2)^2-8 m=(m-2)^2>0 \Leftrightarrow m \neq 2 .$

b) Khi đó phương trình có nghiệm $x=2, x=m$.
3

  • TH1: $x_1=2, x_2=m$ suy ra $y_1=4, y_2=m^2$. Ta có $2+2 m^2=7$ giải ra được $m=\sqrt{2,5}, m=$ $-\sqrt{2,5}$.
  • TH2: $x_1=m, x_2=2$, suy ra $y_1=m^2, y_2=4$. Ta có $m+2.4=7 \Leftrightarrow m=-1$.
  • Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa đề bài $m=\sqrt{2,5}, m=-\sqrt{2,5}, m=-1$.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=2 m x-m^2-m-2$ (với $m$ là tham số).
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ biết điểm $M$ có hoành độ bằng -3 .
b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$.

Lời giải bài 10.

b) Tìm điều kiện của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai đie biệt. Gọi $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$ là hai giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$, xác định $m$ để $x_1 y_2+x_2 y_1=2 m^3+6$. Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

$ x^2=2 m x-m^2-m-2 \Leftrightarrow x^2-2 m x+m^2+m+2=0(1) $
$ \Delta^{\prime}=(-m)^2-\left(m^2+m+2\right)=-m-2$

$(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta^{\prime}>$ $0 \Leftrightarrow-m-2>0 \Leftrightarrow m<-2(*)$

$ \text { Ta có } x_1+x_2=2 m, x_1 x_2=m^2+m+2 $
$x_1 y_2+x_2 y_1=x_1 \cdot x_2^2+x_2 \cdot x_1^2=x_1 \cdot x_2\left(x_1+x_2\right)=2$ $m\left(m^2+m+2\right) $
$=2 m^3+2 m^2+4 m $
$2 m^3+2 m^2+4 m=2 m^3+6 \Leftrightarrow 2 m^2+4 m-6=0 $

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=1 \\\
m=-3
\end{array}\right.$

Đối chiếu (*) vậy $m=-3$.

ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Leave a reply


Bài 1. (1 điểm) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y+\frac{x+2 y}{x y}=6 \\\ x^2+y^2+\frac{x^2+4 y^2}{(x y)^2}=14\end{array}\right.$
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình $\sqrt{x^2-(2 m+1) x+m^2+m}=2 x-2 m$
a) Giải phương trình khi $m=2$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 3. (1 điểm) Cho $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=(m+2) x-2 m$.
a) Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1 ; y_1\right), B\left(x_2 ; y_2\right)$.
b) Tìm $m$ để $x_1+2 y_2=7$.

Bài 4. (1,5 điểm) Cho các số thực không âm $x, y, z$ đôi một khác nhau thỏa mãn:
$$
(x+z)(y+z)=1
$$
a) Chứng minh $x y z(x+y+z) \leq \frac{1}{4}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$
P=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}
$$

Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $A, B$ cố định, $C$ thay đổi trên cung lớn $A B$. Gọi $K$ là trung điểm $A B ; D$ và $E$ là hình chiếu của $K$ trên $C A, C B$.
a) Chứng minh $\frac{K D}{K E}=\frac{B C}{A C}$ và tìm vị trí của $C$ để $D E$ lớn nhất.
b) $D E$ cắt $A B$ và $C O$ tại $N, M$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $C M N$ đi qua một điểm cố định.
c) $(C D E)$ và $(O)$ cắt nhau tại $F$ khác $A$. NF cắt $(C D E)$ tại $G$. Chứng minh $G$ thuộc một đường thẳng cố định.

Kí hiệu $(C D E)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $C D E$.
Bài 6. (2 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của $n$ nguyên dương để $25^n+7^n+1$ chia hết cho 9 .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\left|25^n-7^m-3^m\right|$ trong đó $n, m$ là số nguyên dương.

HẾT

Lời giải

on-tap-1Download

ĐỀ THI THỬ VÀO 10 PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU – TOÁN CHUNG

Leave a reply

THỜI GIAN LÀM BÀI 120 PHÚT

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1. Biểu thức $\sqrt{\frac{1}{1-2 x+x^2}}$ xác định khi và chỉ khi:
A. $x>1$
B. $x \geq 1$
C. $x \in R$
D. $x \neq 1$

Câu 2. Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ có $M A, M B$ là hai tiếp tuyến của $(\mathrm{O})(A, B$ là các tiếp điểm). Biết $\widehat{A O B}=90^{\circ}$, chu vi tam giác $M A B$ là:
A. $2 R$
B. $R \sqrt{2}+2$
C. $(2+\sqrt{2}) R$
D. $R \sqrt{2}$

Câu 3. Cho hai đường thẳng $\left(d_1\right): y=\left(2 m^2+3\right) x-3 m+1$ và $\left(d_2\right): y=5 x-2$. Hai đường thẳng trùng nhau khi:
A. $m=-1$
B. $m=1$
C. $m \neq 1$
D. $m \in{1 ;-1}$

Câu 4. Đường thẳng $\Delta: y=m x+n-2$ đi qua gốc tọa độ và điểm $A(-1 ; 3)$. Tính $m+2 n$.
A. 1
B. -2
C. -3
D. 2

Câu 5. Rút gọn biểu thức $T=\frac{\sqrt{x^4(x-y)^2}}{x^2-y^2}$ với $x<y<0$ bằng:
A. $\frac{x^2}{x-y}$
B. $\frac{-x^2}{x-y}$
C. $\frac{-x^2}{x+y}$
D. $\frac{x^2}{x+y}$

Câu 6. Câu nào sau đây đúng?
A. $|A|+|B|=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=0 \\\ B=0\end{array}\right.$
C. $\sqrt{A}=|B| \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\\ A=B^2\end{array}\right.$
B. $(A-B)^2>0 \Leftrightarrow A \neq B$
D. $B, C$ đều đúng.

Câu 7. Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $2 R$ và một dây cung có độ dài bằng $2 R$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến dây cung này là:
A. $R$
B. $\frac{R \sqrt{3}}{2}$
C. $R \sqrt{2}$
D. $R \sqrt{3}$

Câu 8. Gọi $\left(x_0, y_0\right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2=5 \\\ x^2-y^2=1\end{array}\right.$. Tính $\frac{x_0}{y_0}$ biết $y_0<$ $0<x_0$.
A. -2
B. $\sqrt{2}$
C. $-\sqrt{2}$
D. 2

Câu 9. Tìm $m$ để parabol $(P): y=(m-2) x^2$ và đường thẳng $(D): y=2 x-3$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
A. $m<\frac{7}{3}$ và $m \neq 2$

C. $m>\frac{7}{3}$ và $m \neq 2$
B. $m \geq \frac{7}{3}$ và $m \neq 2$
D. $m \leq \frac{7}{3}$ và $m \neq 2$

Câu 10. Cho tam giác $A B C$ có đường cao $A H$. Nếu $B C=2 A H$ và $\tan B=1$ thì tam giác $A B C$ là tam giác gì?
A. Tam giác nhọn
C. Tam giác vuông
B. Tam giác vuông cân
D. Tam giác cân

PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài 1. (1,5 điểm)
(a) Cho $M=\frac{3 \sqrt{x}-3}{4} \cdot\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) ; N=1-\frac{\sqrt{x}}{x-2}$ với $x \geq 0 ; x \neq$ $1 ; x \neq 2$.
Tìm $x$ biết $M \cdot N=6$.
(b) $\triangle A B C$ có $A D$ là đường phân giác của $\widehat{B A C}(D \in B C)$. Biết $A C=A B+B D$ và $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Lấy điểm $E$ trên đoạn thẳng $A C$ sao cho $A E=A B$. Đặt $\widehat{B A D}=x^{\circ}$ và $\widehat{A C B}=y^{\circ}$. Tìm $x, y$.

Bài 2. (2 diểm)
(a) Giải phương trình: $\left(-2 x^2+3 x+5\right) \cdot(\sqrt{1-2 x}-\sqrt{x+4}+1)=0$.
(b) Trong một ngày hội của trường, các lớp được yêu cầu tổ chức một gian hàng ẩm thực trong hai ngày. Lớp 10T dự định sẽ bán xiên thịt nướng, chi phí bỏ ra cho một xiên thịt nướng là 10000 đồng và số lượng xiên nướng chuẩn bị cho hai ngày là như nhau. Ngày thứ nhất, lớp bán hết số thịt đã chuẩn bị và lời 1000000 đồng. Sang ngày thứ hai, lớp tăng giá bán lên $20 \%$ và bán được $\frac{3}{4}$ số xiên thịt; với số xiên thịt còn lại lớp quyết định giảm về giá ban đầu, tuy nhiên khi còn 30 xiên thịt cuối lớp không bán mà để cho các bạn trong lớp tham gia bán hàng ăn. Biết số tiền lời ngày thứ hai bằng ngày thứ nhât, hỏi giá bán một xiên thịt ban đầu là bao nhiêu?

Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình: $\frac{-3 x^2-2 m x+1-m}{x-1}=0$
(a) Phương trình (1) nhận $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại của phương trình.
(b) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa:
$$
3 x_1+6 x_2-3 x_1 x_2=m+2
$$
Bài 4. (3 diểm) Cho $\triangle A B C$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có $\widehat{B A C}=30^{\circ}$ và $B C=a$.
(a) Chứng minh tam giác $O B C$ đều, tính diện tích tam giác $O B C$.
(b) Gọi $M$ là trung điểm của $O B, C M$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $C . O B$ cắt $A C$ tại $D$. Chứng minh tứ giác $O C B K$ là hình thoi và tính $\widehat{A D K}$.
(c) Trên đoạn $D C$ lấy điểm $E$ sao cho $A D=D E$. Chứng minh $A K \perp O E$ và $A C$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $O E B$.

HẾT

DE THI THU TUYEN SINH VAO 10 PTNK TOAN CHUNG 2023 – L2Download

Đề thi thử vào 10 chuyên toán năm 2023 – Star Education

Leave a reply

Thời gian làm bài 150 phút

Đề bài.

Bài 1. (2,5 diểm)
(a) Giải phương trình $3 x^3+x+3+(8 x-3) \sqrt{2 x^2+1}=0$.
(b) Cho phương trinh $(\sqrt{x}+1)\left(x^2-3(m+1) x+2 m^2+5 m+2\right)=0(m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này là bình phương nghiệm kia.
(c) n là số tự nhiên lớn hơn hoạc bằng 4, cho $n$ số thực $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+\cdots a_n=0$ và $\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\cdots\left|a_n\right|=A$. Chứng minh rằng
$$
a_n-a_1 \geq \frac{2 A}{n}
$$

Bài 2. (1,5 điểm) Xét các số $a, b, c$ khác 0 và đôi một phân biệt sao cho các phương trình sau đây có một nghiệm chung:
$$
a x^3+b x+c=0(1), b x^3+c x+a=0(2), c x^3+a x+b=0(3) .
$$
(a) Chứng minh $a+b+c=0$.
(b) Chứng minh rằng một trong các phương trình này có ba nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Bài 3. $(1,5$ điểm)
(a) Tìm số tự nhiên có hai chũ số sao cho nó bằng tổng bình phương các chũ số của nó.
(b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, sao cho p có thể biểu diễn được dưới dạng $\sqrt{\frac{a^2-4}{b^2-1}}$, trong đó a,b là các số nguyên dương.

Bài 4. ( 3,5 điểm) Cho đường tròn $(O ; R)$ và dây cung $B C=R \sqrt{3}$ cố định, $A$ thay đổi trên cung lớn $B C$ sao cho tam giác $A B C$ nhọn. Các đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$. Phân giác trong góc $A$ cắt $D E$ và $B C$ lần lượt tại $K, L$.
(a) Tính $\angle B A C$ và $\angle O H C$.
(b) Chứng minh $\frac{A K}{A L}$ không đổi. Tìm vị trí của A để KL lớn nhât, tính giá trị đó theo $R$.
(c) Chứng minh đường thẳng d qua L vuông góc $O A$ tiếp xúc với một đường tròn cố định.
(d) Đường thẳng qua K vuông góc DE và đường thẳng qua L vuông góc $B C$ cắt nhau tại P. Chứng minh AP luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5. (1 điểm) Có 10 viên bi vàng và 10 viên bi xanh được xếp thành một hàng. Chúng minh rằng tồn tại 10 viên bi liên tiếp sao cho số viên bi vàng và xanh bằng nhau.

LỜI GIẢI

DE THI THU TUYEN SINH VAO 10 CHUYEN TOAN 2023 – L2Download

Một số bài toán về đường cao và trực tâm

11 Replies

Trong chương trình hình học chuyên toán dành cho lớp 9, có nhiều bài toán liên quan đến các đường cao và trực tâm tam giác, hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất và bài tập như thế.

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M$ là trung điểm của $BC$. Vẽ đường kính $AK$.

a) Chứng minh $H, M, K$ thẳng hàng;

b) Chứng minh $AH = 2 \cdot OM$.

c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $H, G, O$ thẳng hàng và $GH = 2 \cdot OG$.

Hướng dẫn - Gợi ý

(a) Ta có $\angle A B K=\angle A C K=90^{\circ}$, từ đó $B K / / C H, C K / / B H$, do đó tứ giác $B H C K$ là hình bình hành.
Hơn nữa $M$ là trung điểm $B C$ nên cũng là trung điểm $H K$.
(b) Tam giác $A H K$ thì $O, M$ lần lượt là trung điểm $A K, H K$ nên $O M$ là đường trung bình, do đó $A H=2 \cdot O M$.
(c) Tam giác $A B C$ có $A M$ là trung tuyến nên với $G$ là trọng tâm thì ta có $A G=\frac{2}{3} A M$. Hơn nữa tam giác $A H K$ có $A M$ là trung tuyến và $G$ thuộc $A M$ và $A G=\frac{2}{3} A M$ nên $G$ cũng là trọng tâm tam giác $A H K$; Mặt khác có $O$ là trung điểm của $A K$ nên $G$ thuộc đoạn $H O$ và $G H=2 \cdot G O$.

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. $A O$ căt $E F$ tại $K$ và $(O)$ tại $L$.
a) Chứng minh $\angle B A H=\angle C A O$ và $\angle A O \perp E F$.
b) $C F, B E$ cắt $(O)$ tại $Q, P$. Chứng minh $A P=A Q=A H$.
c) Tính $\angle A$ nếu $B, H, O, C$ cùng thuộc một đường tròn. Khi đó tính $\angle O H C$.

Hướng dẫn - Gợi ý

(a) Ta có $\angle B A D=90^{\circ}-\angle A B D, \angle C A K=90^{\circ}-\angle A K C$;
Hơn nữa $\angle A B D=\angle A K C$, suy ra $\angle B A D=\angle C A K$.
Gọi $L$ là giao điểm của $A K$ và $E F$.
Tứ giác $B F E C$ nội tiếp, suy ra $\angle A E F=\angle A B C=\angle A K C$, do đó tứ giác $E L K C$ nội tiếp.
Từ đó $\angle A L E=\angle A C K=90^{\circ}$ hay $A O \perp E F$.

(b) Ta có $\angle A P H=\angle A C B=\angle A H P $ suy ra $ A H=A P$. Tương tự thì $A H=A Q$

(c) Ta có $\angle B H C=\angle E H F=180^{\circ}-\angle B A C$; Và $\angle B O C=2 \angle B A C$; Khi đó $B H O C$ nội tiếp khi và chỉ khi $\angle B H C=\angle B O C$ hay $180^{\circ}-\angle B A C=2 \angle B A C$, tính ra $\angle B A C=60^{\circ}$.
Khi đó $\angle O H C=\angle O B C=30^{\circ}$.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$, các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại trực tâm tam giác là $H$. Gọi $M$ là trung điểm $B C$ và $P$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $A M$. Chứng minh rằng
(a) Các tứ giác $B F P M, C E P M$ nội tiếp.
(b) Tứ giác $B H P C$ nội tiếp.
(c) $B C$ là tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P B, A P C$.

Hướng dẫn - Gợi ý

(a) Ta chứng minh được
$$
A P \cdot A M=A H \cdot A D=A F \cdot A B=A E \cdot A C
$$
suy ra $B F P M, C E P M$ là các tứ giác nội tiếp.
(b) Ta có $\angle B H C=180^{\circ}-\angle B A C$ và
$$
\angle B P C=\angle B P M+\angle C P M=\angle B F M+\angle C E M=\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C
$$

Suy ra $\angle B H C=\angle B P C$ nên $B H P C$ nội tiếp.
(c) Ta có
$$
\angle M P B=\angle A B M \Rightarrow \angle M B P=\angle M A B
$$
do đó $B M$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B P$. Tương tự thì $M C$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P C$.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $A H$.
a) Chứng minh $M E D F$ nội tiếp.
b) $M E, M F$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $B C$.
c) Gọi $K$ là giao điểm $A D$ và $E F ; T$ là giao điểm của $M B$ và đường tròn đường kính $B C$. Chứng minh rằng $T, K, C$ thẳng hàng và $K$ là trực tâm tam giác $M B C$.

Hướng dẫn - Gợi ý

(a) Gọi $I$ là trung điểm $B C$, thì $I$ là tâm đường tròn đường kính $B C$.
Ta có $\angle A E H=\angle A F H=90^{\circ}$ nên $A E H F$ nội tiếp và $M$ là tâm đường tròn.
Tam giác $M A E$ và $I C E$ cân nên $\angle M E A=\angle M A E, \angle I E C=\angle I C E$, suy ra $\angle M E A+\angle I E C=$ $\angle M A E+\angle I C E=90^{\circ}$, do đó $\angle M E I=90^{\circ}$, hay $M E$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ đường kính $B C$.
Tương tự thì $M F$ cũng là tiếp tuyến của đường tron2h $(I)$ đường kính $B C$.
(b) Ta có $\angle I E M=\angle I M F=\angle I D M=90^{\circ}$, do đó 5 điểm $I, M, D, E, F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $I M$. Do đó tứ giác $M E D F$ nội tiếp.
(c) Gọi $L$ là giao điểm $I M$ và $E F$ thì ta có $I M \perp E F$ tại $L$. Khi đó ta có $M L \cdot M I=M E^2$ (1) Hơn nữa $\triangle M E T \backsim \triangle M B E$, suy ra $M T \cdot M B=M E^2$ Và $\triangle M K L \backsim \triangle M D I$, suy ra $M K \cdot M D=M L \cdot M I$ Từ (1), (2), (3) ta có $M T \cdot M B=M K \cdot M D$, từ đó ta có $B T K D$ nội tiếp, suy ra $\angle B T K=
180^{\circ}-\angle B D K=90^{\circ} \text {. }
$

Mặt khác $\angle B K C=90^{\circ}$, từ đó $T, K, C$ thẳng hàng.
Tam giác $M B C$ có hai đường cao $M D$ và $C T$ cắt nhau tại $K$ nên $K$ là trực tâm của tam giác.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $B C$.Đường tròn đường kính $A H$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $A$. $A P$ cắt $B C$ tại $K$.
a) Chứng minh các tứ giác $K B F P, K C E P$ nội tiếp.
b) Chứng minh $K, E, F$ thẳng hàng.
c) Chứng minh $H$ là trực tam giác $A K M$.

Hướng dẫn - Gợi ý

(a) Ta có các tứ giác $A P F E, B F E C$ nội tiếp, suy ra $\angle K P F=\angle A E F, \angle A E F=\angle C B F$, từ đó $\angle K P F=\angle C B F$, kéo theo tứ giác $K B F P$ nội tiếp. Tương tự thì $\angle A P E=\angle A F E=\angle A C K$, do đó $K P E C$ nội tiếp.
(b) Tứ giác $\angle K P F B, K P E C$ nội tiếp, suy ra $\angle P K F=\angle P B F, \angle P K E=\angle A C P$ mà $\angle P B F=$ $\angle A C P$ nên $\angle P K F=\angle P K E$, từ đó ta có $K, F, E$ thẳng hàng.
(c) Ta có $A P F E$ nội tiếp và $A F H E$ nội tiếp nên $A, P, F, H, E$ cùng thuộc một đường tròn, suy ra $\angle A P H=\angle A F H=90^{\circ}$;
Vẽ đường kính $A D$, ta có $\angle A P D=90^{\circ}$; Do đó $P, H, D$ thẳng hàng.
Mặt khác, theo bài tập 1 thì $H, M, D$ thẳng hàng nên $P, H, M$ thẳng hàng và $M P \perp A K$. Tam giác $A K M$ có $A H, P M$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm tam giác, do đó $K H \perp A M$.

Bài 6. Cho tam giác $A B C$, các đường cao $B E, C F$. Các điểm $P \in B E, Q \in C F$ sao cho $\angle P A B=$ $\angle Q A C=90^{\circ}$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ vuông góc $P Q$ đi qua trung điểm $B C$.

Hướng dẫn - Gợi ý

Bài 7. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có trực tâm $H$. Đường trung trực $A H$ cắt $A B, A C$ tại $Q, P$. Chứng minh $O A$ là phân giác $\angle P O Q$.

Hướng dẫn - Gợi ý
  • $\angle B A H=\angle O A C, \angle B A O=\angle C A H$;
  • Ta có thể suy nghĩ hướng chứng minh $\triangle A O Q \backsim \triangle A H B$.

Theo nhận xét trên, thì ta cần chứng minh $A O \cdot A H=A B \cdot A Q$, thực vậy ta có hai tam giác $Q A H$ và $O A B$ cân tại $Q, O$ và $\angle Q A H=\angle O A B$ nên
$$
\triangle Q A H \backsim \triangle O A B \Rightarrow A O \cdot A H=A Q \cdot A B
$$

Từ đó ta có $\triangle A O P \backsim \triangle A B H$, kéo theo $\triangle A O Q=\angle A B H$
Chứng minh tương tự thì $\angle A O P=\angle A C H$
Từ (1) và (2) ta có $\angle A O Q=\angle A O P$.

Bài 8. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $B D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. $A D$ cắt $(O)$ tại $K . K F$ cắt $(O)$ tại $P$.
a) Chứng minh $F H \cdot F C=F P \cdot F K$.
b) $C P$ cắt $D E$ tại $L$. Chứng minh $H L P F$ nội tiếp.
c) Chứng minh $C P$ qua trung điểm của $E F$.

Hướng dẫn - Gợi ý

(a) Ta có tứ giác $A B D E$ nội tiếp nên $\angle C E D=\angle A B C$ mà $\angle A B C=\angle A P C$, suy ra $\angle A P C=$ $\angle C E D$, từ đó có tứ giác $A P L E$ nội tiếp. Khi đó
$$
C L \cdot A P=C E \cdot C A=C H \cdot C F
$$
suy ra $H L P F$ nội tiếp.
(b) $H L$ cắt $A C$ tại $T$. Ta cần chứng minh $H T / / F E$ và $L$ là trung điểm $H T$. Ý đầu tiên ta có thể làm như sau: tứ giác $H F P L, A F H E, A P K C$ nội tiếp nên
$$
\angle C H L=\angle C P F=\angle C A K=\angle C F E
$$
suy ra $H T / / F E$.
Tiếp theo
$$
\angle T H E=\angle F E H=\angle D E H
$$
mà
$$
\angle H E T=90^{\circ} \Rightarrow \angle L E T=\angle L T E
$$
do đó
$$
L H=L E=L T
$$

Khi đó
$$
\frac{H L}{F M}=\frac{C L}{C M}=\frac{L T}{M E} \Rightarrow M F=M E
$$

Bài 9. Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $D E . M$ là trung điểm của $B C, L$ là giao điểm của $A M$ và $D E$. Chứng minh 4 điểm $B, C, L, K$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn - Gợi ý

Nhận xét: Đây là bài toán khó đối với các em THCS, tuy vậy dựa vào các bài toán đã giải ở trên ta có thể kết nối để cho ra lời giải bài toán này.
Ở đây việc kéo dài $K L$ cắt $B C$, có lẽ là ý nghĩa tự nhiên nhất để sử dụng tam giác đồng dạng, suy ra tứ giác nội tiếp.
Gọi giao điểm đó là $T$, thì ta cần chứng minh $T K \cdot T L=T B \cdot T C$, hơn nữa từ bài toán 1.4 ta có tính chất $T H \perp A M$, đây có lẽ là chìa khóa để cho ta lời giải bài toán này.

Do có sử dụng bài toán phụ ở trên nên lời giải bài toán có thể viết ngắn gọn hơn, đi thi thì học sinh nhớ chứng minh lại các ý toán đã sử dụng.

  • Gọi $T$ là giao điểm của $E F$ và $B C ; A H$ cắt $B C$ tại $D$.
  • Ta chứng minh được $T H \perp A M$ (bài 1.4), tại $Q$. Khi đó các tứ giác $H K T D, H Q M D$ nội tiếp nên
    $$
    \angle T K D=\angle T H D=\angle A M D
    $$
    suy ra $K L M D$ nội tiếp. Hơn nữa có các tứ giác $B F E C, E F D M$ nội tiếp nên
    $$
    T K \cdot T L=T D \cdot T M=T E \cdot T F=T B \cdot T C
    $$
    do đó $B K L C$ nội tiếp.

Bài 10. Cho tam giác $A B C$ nhọn, $M$ trên cạnh $B C$. Trên các cạnh $A B, A C$ lấy điểm $D, E$ sao cho $M D=M B, M E=M C$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $M D E$. Chứng minh rằng 4 diểm $A, D, H, E$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn - Gợi ý

Nhận xét: Bài này ta dễ nghĩ tới việc chứng minh $\angle D H E=180^{\circ}-\angle B A C=\angle P H Q$, trong đó $B Q, C P$ là các đường cao.
Do đó chỉ cần chứng minh tam giác $H P D$ và $P Q E$ đồng dạng, tới đây tính toán một chút vì hai tam giác này đều là các tam giác vuông.

Gọi $K, L$ lần lượt là trung điểm $B D, C E$. Ta có
$$
D P=B P-B D=B C \cos B-2 B M \cos B=\cos B(B C-2 B M)=\cos B(M C-M B)
$$
tương tự thì
$$
E Q=E C-C Q=\cos C(M C-M B)
$$

Suy ra
$$
\frac{D P}{E Q}=\frac{\cos B}{\cos C}=\frac{P B}{C Q}=\frac{H P}{H Q}
$$

Do đó
$$
\triangle H P D \backsim \triangle H Q E \Rightarrow \angle D H P=\angle E H Q, \angle D H E=\angle P H Q=180^{\circ}-\angle B A C
$$
do đó từ giác $A D H E$ nội tiếp.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. (Chuyên Tiền Giang) Cho tam giác nhọn $A B C$ có $A B<A C$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $K$ đường kính $B C$ cắt các cạnh $A B, A C$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $H$ là giao điểm của $B F$ và $C E$.
a) Chứng minh tam giác $A E F$ và tam giác $A C B$ dồng dạng.
b) Gọi $A^{\prime}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Chứng minh $A A^{\prime}$ vuông góc với $E F$.
c) Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $A M, A N$ dến đường tròn $(K)$ với $M, N$ là các tiếp điểm. Chứng minh ba điểm $M, H, N$ thẳng hàng.

Bài 2. (Chuyên Thái Nguyên) Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), A B<A C$, các đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$ ( $D$ thuộc $A C, E$ thuộc $A B$ ). Gọi $M$ là trung điểm của $B C$, tia $M H$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng năm điểm $A, D, E, H, N$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Lấy điểm $P$ trên đoạn $B C$ sao cho $\widehat{B H P}=\widehat{C H M}, Q$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $H P$. Chứng minh rằng tứ giác $D E N Q$ là hình thang cân.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $M P Q$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$.

Bài 3. (Lê Quý Đôn – Bình Định ) Cho tam giác $A B C(A B<A C)$ có các góc đều nhọn, các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $E F$ cắt đường thẳng $B C$ và $A D$ lần lượt tại $K$ và I. Qua $F$ kẻ đường thẳng song song với $A C$ cắt $A K, A D$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $O$ là trung điểm $B C$. Chứng minh
a) $D A$ là phân giác của $\widehat{F D E}$.
b) F là trung điểm của $M N$.
c) $O D \cdot O K=O E^2$ và $B D \cdot D C=O D \cdot D K$.

Bài 4. (Chuyên TPHCM – 2018) Cho tam giác $A B C(A B<A C)$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $A B, A C$.
a) Chứng minh rằng $B E \sqrt{C H}+C F \sqrt{B H}=A H \sqrt{B C}$.
b) Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $H$ và gọi $O$ là trung điểm của $B C$. Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $B C$ cắt $A C$ tại $K$. Chứng minh rằng $B K$ vuông góc với $A O$.

Bài 5. (PTNK) Cho tam giác $A B C$ nhọn. Một đường tròn qua $B, C$ cắt các cạnh $A B, A C$ lần lượt tại $E$ và $F ; B F$ cắt $C E$ tại $D$. Lấy điểm $K$ sao cho tứ giác $D B K C$ là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng $\triangle K B C$ dồng dạng với $\triangle D F E, \triangle A K C$ dồng dạng với $\triangle A D E$.
b) Hạ $D M$ vuông góc với $A B, D N$ vuông góc với $A C$. Chứng minh rằng $M N$ vuông góc với $A K$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $A D, J$ là trung điểm $M N$. Chứng minh đường thẳng $I J$ đi qua trung điểm của cạnh $B C$.
d) Đường thẳng $I J$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $I M N$ tại $T$ (khác $I$ ). Chứng minh rằng $A D$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $D T J$.

Đề thi và đáp án chọn đội dự tuyển PTNK năm 2022

Leave a reply

Thời gian làm bài 120 phút.

Bài 1. Cho $a, b, c \geq 0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a b+b c+c a-2(a+b+c)$.

Bài 2. Cho $k, n \in Z^{+}$, có bao nhiêu đơn ánh từ $\{1, 2, \cdots, 2k+1\} \to \{1, 2, \cdots, 2n\}$ thỏa $f(1) < f(2) < \ldots < f(k) < f(k+1) > f(k+2)>\ldots> f(2 k)>f(2 k+1)$ và $f(k+1) \neq 2 n-2$.

Bài 3. Cho $n$ là số nguyên dương, kí hiệu $a(n)=1+2+\ldots+n$ và $b(n)=1^2+2^2+\ldots+n^2$. Hỏi có tồn tại số $n$ sao cho $2(n+1) a(n)+3 b(n)-1$ là số chính phương?

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có $2 A=5 B=10 C$. Phân giác trong $B D$ cẳt trung tuyển $C M$ tại I. Một đường thẳng $d$ đi qua $D$ vuông góc với $A C$ cắt $B C$ và $A I$ lần lượt tại $E$ và $K . A E$ cắt $C K$ tại $F$. Chứng minh: $M F$ song song $B K$.

Lời giải tham khảo

Bài 1. Đặt $t=a+b+c$ ta có $a(1-a) \geq 0, b(1-b) \geq 0, c(1-c) \geq$, suy ra $a+b+c \geq$ $a^2+b^2+c^2=1$, và $(a+b+c)^2 \leq 3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3$, suy ra $a+b+c \leq \sqrt{3}$ Ta có $1=(a+b+c)^2-2(a b+b c+a c) \Rightarrow a b+b c+c a=\frac{t^2-1}{2}$.
Do đó $P=\frac{t^2-1}{2}-2 t=\frac{1}{2} t^2-2 t-\frac{1}{2}$ với $1 \leq t \leq \sqrt{3}$.
Khảo sát hàm bậc hai trong đoạn ta có $\max P=-2$ khi $t=1$ và $\min P=1-2 \sqrt{3}$.
Vậy $\max P=-2$ khi $a=1, b=c=0$ và min $P=1-2 \sqrt{3}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài 2. Do đó $f$ là đơn ánh, $\operatorname{Im} f$ là một tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$, mặt khác $f(k+1)$ là giá trị lớn nhất nên $\operatorname{Im} f$ có giá trị lớn nhất khác $2 n-2$.
Ta đếm số tập con có $2 k+1$ phần tử của $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$. Số tập con có $2 k+1$ của $A$ là $C_{2 n}^{2 k+1}$, số tập con có $2 k+1$ mà có phần tử lớn nhất $2 n-2$ là bằng với số tập con có $2 k$ phần tử của ${1,2, \cdots 2 k-3}$, là $C_{2 n-3}^{2 k}$.
Do đó theo nguyên lí bù trừ số tập con có $2 k+1$ của tập $A$ mà phần tử lớn nhất khác $2 n-2$ là $\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$.
Tiếp theo ta đếm số đơn ánh từ ${1,2, \cdots, 2 k+1}$ tới $A^{\prime}=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_{2 k+1}\right\}$ thỏa đề bài, ta có $f(k+1)=a_{2 k+1}$, nên số đơn ánh bằng số cách chọn $k$ phần tử từ $A^{\prime}$ nên bằng $C_{2 k}^k$.
Vậy số đơn ánh thỏa đề bài $C_{2 k}^k\left(C_{2 n}^{2 k+1}-C_{2 n-3}^{2 k}\right)$

Bài 3. Ta có $a(n)=\frac{n(n+1)}{2}, b(n)=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$
Khi đó $P(n)=2(n+1) a(n)+3 b(n)-1=\frac{n(n+1)(4 n+3)}{2}-1$.
Giả sử $P(n)$ là số chính phương ta có $n(n+1)(4 n+3)=2\left(x^2+1\right)$, ta có $n(n+1)(4 n+3)$ luôn có ước nguyên tố dạng $p=4 k+3$, suy ra $p \mid 2\left(x^2+1\right)$ suy ra $p|x, p| 1$, vô lí! Vậy không tồn tại $n$ để $P(n)$ là số chính phương.

Bài 4.

Ta tính được $\angle A=\frac{5 \pi}{8}, \angle B=\frac{\pi}{4}, \angle C=\frac{\pi}{8}$. Vẽ đường cao $A N, N$ thuộc $B C$.
Ta có $\frac{B N}{N C}=\frac{A N}{N C}=\frac{\sin C}{\cos C}$ và $\frac{A D}{C D}=\frac{A B}{B C}=\frac{\sin C}{\sin 5 C}, \sin 5 C=\cos C$, suy ra $\frac{B N}{N C}=\frac{A D}{C D}$, do đó $A N, B D, C M$ đồng quy tại $I$ và $D N | A B$.
Ta có $\angle B A N=\angle A N D=\angle A C K=2 \angle A C K$, suy ra $A C K$ cân và $N$ là trung điểm $A K$, từ đó tam giác $A B K$ vuông cân.
Khi đó $\angle F N K=\angle A C K=45^{\circ}=\angle A K B$ và $\angle A N M=45^{\circ}$, do đó $M, N, F$ thẳng hàng và $M F | B K$.

Đề thi và lời giải Học sinh giỏi Quốc gia năm 2019 (VMO 2019)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1. Cho hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn

$\lim_{x \rightarrow – \infty} f(x)= \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$
a) Chứng minh rằng $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ với $x_n<y_n, \forall n=1,2,3, \ldots$ sao cho chúng cùng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$ với mọi $n$.

Bài 2. Cho dãy số nguyên dương $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $0 \leq x_0<x_1 \leq 100$ và
$$
x_{n+2}=7 x_{n+1}-x_n+280, \quad \forall n \geq 0 .
$$
a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2, x_1=3$ thì với mỗi số nguyên dương $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_n x_{n+1}+x_{n+1} x_{n+2}+x_{n+2} x_{n+3}+2018$ thì chia hết cho 24 .
b) Tìm tất cả các cặp số $\left(x_0, x_1\right)$ để số $x_n x_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số $n$.

Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$, đặt
$$
\Gamma(f(x))=a_0^2+a_1^2+\cdots+a_m^2 .
$$

Cho đa thức $P(x)=(x+1)(x+2) \ldots(x+2020)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2019 đa thức đôi một phân biệt $Q_k(x)$ với $1 \leq k \leq 2^{2019}$ với các hệ số dương thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) $\operatorname{deg} Q_k(x)=2020$.
ii) $\Gamma\left(Q_k(x)^n\right)=\Gamma\left(P(x)^n\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và trực tâm $H$. Trên các tia $A B, A C, B C, B A, C A, C B$ lần lượt lấy các điểm $A_1, A_2, B_1, B_1, C_1, C_2$ sao cho $A A_1=A A_2=B C$, $B B_1=B B_2=A C, C C_1=C C_2=A B$. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $\left(B B_1, C C_1\right) ;\left(C C_1, A A_1\right) ;\left(A A_1, B B_1\right)$.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ không vượt quá diện tích tam giác $A B C$.
b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Các đường thẳng $A J, B J, C J$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ theo thứ tự tại $R, S, T$. Gọi $K$ là điểm chung của các đường tròn ngoại tiếp $A S T, B T R, C R S$. Giả sử tam giác $A B C$ không cân, chứng minh $I H J K$ là hình bình hành.

Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5. Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$ với $\alpha \in \mathbb{R}$.
a) Khi $\alpha=\frac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
b) Tìm tất cả các giá trị $\alpha$ để $f(x)$ có thể viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Bài 6. Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm cạnh $B C, C A, A B$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao ứng với các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $A B C$. Gọi $K$ là đối xứng của $H$ qua $B C$. Hai đường thẳng $D E, M P$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $D F, M N$ cắt nhau tại $Y$.
a) Đường thẳng $X Y$ cắt cung $\overparen{B C}$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng $K, Z, E, F$ đồng viên.
b) Hai đường thẳng $K E, K F$ cắt lại $(O)$ tại $S, T$. Chứng minh rằng $B S, C T, X Y$ đồng quy.

Bài 7. Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5 \times 5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu để tô các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy màu được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng chồng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minh rằng ta thu được không quá $\frac{1}{8}\left(n^{25}+4 n^{15}+n^{13}+2 n^7\right)$ mảnh giấy đôi một không giống nhau.

Lời giải tham khảo
loi-giai-va-binh-luan-VMO-2019Download

Đề thi và lời giải môn Toán Học sinh giỏi Quốc gia năm 2020 (VMO 2020)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=1$ và
$$
x_{n+1}=x_n+3 \sqrt{x_n}+\frac{n}{\sqrt{x_n}} \text { với mọi } n \geq 1 .
$$
a) Chứng minh rằng $\lim \dfrac{n}{x_n}=0$

b) Tính giới hạn $ \lim \dfrac{n^2}{x_n}$

Bài 2. (5 điểm)
a) Cho ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$
|a-b|+|b-c|+|c-a| \leq 2 \sqrt{2} .
$$
b) Cho 2019 số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$
S=\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+\cdots+\left|a_{2019}-a_1\right| .
$$

Bài 3. ( 5 điểm) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $a_1=5, a_2=13$ và
$$
a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_n \text { với mọi } n \geq 2 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2^k}$ thì $p-1$ chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi số tự nhiên $k$.

Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $B C, C A, A B$.
a) Gọi $H_a$ là điểm đối xứng của $H$ qua $B C$, và $A^{\prime}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Gọi $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C$. Chứng minh rằng $H D^{\prime}, A^{\prime} O_a$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.
b) Lấy điểm $X$ sao cho tứ giác $A X D A^{\prime}$ là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H X, A B F, A C E$ có một điểm chung khác $A$.

Ngày thi thứ hai. Thời gian 180 phút.

Bài 5. (6 điểm) Cho hệ phương trình (tham số $a$):$\left\{\begin{array}{l}x-a y=y z \\\\y-a z=z x \\\\ z-a x=x y\end{array}\right.$ (với $x, y, z \in \mathbb{R}$ ).
a) Giải hệ khi $a=0$.
b) Chứng minh rằng hệ có 5 nghiệm khi $a>1$.

Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân có các đường cao $A D, B E, C F$ với $D, E, F$ là các chân đường cao. Đường tròn đường kính $A D$ cắt $D E, D F$ lần lượt tại $M, N$. Lấy các điểm $P, Q$ tương ứng trên $A B, A C$ sao cho $N P \perp A B, M Q \perp A C$. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P Q$.
a) Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với $E F$.
b) Gọi $T$ là tiếp điểm của ( $I$ ) với $E F, K$ là giao điểm của $D T, M N$ và $L$ đối xứng với $A$ qua $M N$. Chứng minh rằng $(D K L)$ đi qua giao điểm của $M N$ và $E F$.

Bài 7. (7 điểm) Cho số nguyên dương $n>1$. Ký hiệu $T$ là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự $(x, y, z)$ trong đó $x, y, z$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và $1 \leq x, y, z \leq 2 n$. Một tập hợp $A$ các bộ có thứ tự $(u, v)$ được gọi là “liên kết” với $T$ nếu với mối phần tử $(x, y, z) \in T$ thì ${(x, y),(x, z),(y, z)} \cap A \neq \varnothing$.
a) Tính số phần tử của $T$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với $T$ có đúng $2 n(n-1)$ phần tử.
c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với $T$ có không ít hơn $2 n(n-1)$ phần tử.

Lời giải tham khảo

Xin cám ơn các thầy Lê Phúc Lữ, Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Linh và các bạn Đoàn Cao Khả, Nguyễn Công Thành, Nguyễn Mạc Nam Trung đã chia sẻ tài liệu này.

VMO-2020_daDownload

Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2021 (VMO 2021)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1 (5 điểm). Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ có $x_1 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ và $x_{n+1}=3 x_n^2-2 n x_n^3$ với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh $\lim x_n=0$.
b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2 x_2+\cdots+n x_n$. Chứng minh rằng dãy $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x)
$$
với mọi số thực $x, y$.
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K, J$ lần lượt là trung điểm $B C, E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$.
b) Cho $A L$ cắt $E F$ tại $M, I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N$, $D N$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $P E, Q F, A K$ dồng quy.

Bài 4(5 điểm). Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh $s(n)=\frac{n}{2}(n+1-\varphi(n))$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.

Ngày thi thứ 2. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5 (6 điểm). Cho đa thức $P(x)=a_{21} x^{21}+a_{20} x^{20}+\cdots+a_1 x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left|a_{k+2}-a_k\right| \leq c$ với mọi $k \in{0,1, \ldots, 19}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\sum_{k=0}^{10}\left(a_{2 k+1}-a_{2 k}\right)^2 \leq 440 c^2$.

Bài 6 (7 điểm). Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ hai hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu, học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b).

Bài 7 (7 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $B C$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $A B C$ tại $G$. Cho $B G, C G$ lần lượt cắt $C D, B D$ tại $E, F$.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $B E$ và $C F$ lần lượt cắt $B F, C E$ tại $M, N$. Chứng minh rằng các điểm $A, D, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho $A D, A G$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B C, G B C$ tại $H, K$. Trung trực của $H K, H E, H F$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ tại $R, P, Q$. Chứng minh rằng các điểm $R, P, Q$ thẳng hàng.

Lời giải tham khảo
VMO-2021Download