Ví dụ 1: Cho góc bẹt $A O B$ và tia $O M$ sao cho $\widehat{A O M}=60^{\circ}$. Vẽ tia $O N$ nằm trong góc $B O M$ sao cho $O N \perp O M$. Chứng tỏ rằng $\widehat{B O N}=\dfrac{1}{2} \widehat{A O M}$.
Tìm cách giải
Muốn so sánh hai góc $B O N$ và $A O M$ ta cần tính số đo của chúng. Đã biết số đo của góc $A O M$ nên chỉ cần tính số đo của góc $B O N$.
Hướng dẫn giải
Hai góc $A O M$ và $B O M$ kề bù nên $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{B O M}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$. Vì $O M \perp O N$ nên $\widehat{M O N}=90^{\circ}$. Tia $O N$ nằm trong góc $B O M$ nên $\widehat{B O N}+\widehat{M O N}=\widehat{B O M}$ $\Rightarrow \widehat{B O N}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$. Vì $30^{\circ}=\dfrac{1}{2} \cdot 60^{\circ}$ nên $\widehat{B O N}=\dfrac{1}{2} \widehat{A O M}$.
Ví dụ 2: Cho góc bẹt $A O B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ vẽ các tia $O E, O F$ sao cho $\widehat{A O E}=\widehat{B O F}<90^{\circ}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc $E O F$. Chứng tỏ rằng $O M \perp A B$.
Tìm cách giải
Để chứng tỏ $O M \perp A B$ ta cần chứng tỏ góc $A O M$ hoặc góc $B O M$ có số đo bằng $90^{\circ}$
Hướng dẫn giải
Ta có $\widehat{A O E}=\widehat{B O F} ; \widehat{M O E}=\widehat{M O F}$ (đề bài cho) $$ \Rightarrow \widehat{A O E}+\widehat{M O E}=\widehat{B O F}+\widehat{M O F} \text {. } $$
Tia $O E$ nằm giữa hai tia $O A, O M$; tia $O F$ nằm giũa hai tia $O B, O M$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O M}=\widehat{B O M}$. Mặt khác, $\widehat{A O M}+\widehat{B O M}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{A O M}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$, suy ra $O M \perp O A$. Do đó $O M \perp A B$.
Ví dụ 3: Cho góc tù $A O B$. Vẽ vào trong góc này các tia $O M, O N$ sao cho $O M \perp O A, O N \perp O B$. Vẽ tia $O K$ là tia phân giác của góc $M O N$. Chứng tỏ rằng tia $O K$ cũng là tia phân giác của góc $A O B$.
Tìm cách giải
Muốn chứng tỏ tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O B$ ta cần chứng tỏ $\widehat{A O K}=\widehat{B O K}$. Muốn vậy cần chứng tỏ $\widehat{A O N}+\widehat{N O K}=\widehat{B O M}+\widehat{M O K}$.
Hướng dẫn giải
Ta có $O M \perp O A \Rightarrow \widehat{A O M}=90^{\circ} ; O N \perp O B \Rightarrow \widehat{B O N}=90^{\circ}$. Tia $O N$ nằm giữa hai tia $O A, O M$ nên $\widehat{A O N}+\widehat{N O M}=\widehat{A O M}=90^{\circ}$; Hinh2.6
Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O N$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N}=90^{\circ}$. Suy ra $\widehat{A O N}=\widehat{B O M}$ (cùng phụ với $\widehat{M O N}$ ). Tia $O K$ là tia phân giác của góc $M O N$ nên $\widehat{N O K}=\widehat{M O K}$. Do đó $\widehat{A O N}+\widehat{N O K}=\widehat{B O M}+\widehat{M O K}$. Vi tia $O N$ nằm giũ̃a hai tia $O A, O K$ và tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O K$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O K}=\widehat{B O K}$. Mặt khác, tia $O K$ nằm giũa hai tia $O A, O B$ nên tia $O K$ cũng là tia phân giác của góc $A O B$.
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hai đường thẳng $A B$ và $C D$ vuông góc với nhau tại $O$. Vẽ tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O C$. Tính số đo góc $K O D$ và $K O B$.
Hướng dẫn giải
Vì $A B \perp C D$ nên $ \widehat{A O C}=90^{\circ}$
Vì tia $O K$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=45^{\circ}$. Ta có $\widehat{K O D}+\widehat{O_1}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) $$ \Rightarrow \widehat{K O D}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \text {. } $$ $\widehat{K O B}+\widehat{O_2}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) $$ \Rightarrow \widehat{K O B}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} \text {. } $$
Bài 2. Cho góc $A O B$ và tia $O C$ nằm trong góc đó sao cho $\widehat{A O C}=4 \widehat{B O C}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc $A O C$. Tính số đo của góc $A O B$ nếu $O M \perp O B$.
Hướng dẫn giải
Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{M O C}=\frac{1}{2} \widehat{A O C}$ mà $\widehat{A O C}=4 \widehat{B O C}$ nên $\widehat{M O C}=2 \widehat{B O C}$.
Nếu $O M \perp O B$ thì $\widehat{M O B}=90^{\circ}$. Ta có $\widehat{M O C}+\widehat{B O C}=90^{\circ}$ do đó $2 \widehat{B O C}+\widehat{B O C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{B O C}=30^{\circ}$. Vậy $\widehat{A O C}=4.30^{\circ}=120^{\circ}$.
Bài 3. Cho góc tù $A O B, \widehat{A O B}=m^{\circ}$. Vẽ vào trong góc này các tia $O C, O D$ sao cho $O C \perp O A ; O D \perp O B$. a) Chứng tỏ rằng $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}$. b) Tìm giá trị của $m$ để $\widehat{A O D}=\widehat{D O C}=\widehat{C O B}$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có $O C \perp O A$ nên $\widehat{A O C}=90^{\circ}$; OD $\perp O B$ nên $\widehat{B O D}=90^{\circ}$.
Tia $O D$ nằm trong góc $A O B$ nên $\widehat{A O D}+\widehat{B O D}=\widehat{A O B}$. $$ \Rightarrow \widehat{A O D}=\widehat{A O B}-\widehat{B O D}=m^{\circ}-90^{\circ} $$
Tia $O C$ nằm trong góc $A O B$ nên $\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=\widehat{A O B}$ $$ \Rightarrow \widehat{B O C}=\widehat{A O B}-\widehat{A O C}=m^{\circ}-90^{\circ} $$ Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}\left(=m^{\circ}-90^{\circ}\right)$. b) Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O B$ và $O D$. Suy ra $\widehat{B O C}+\widehat{D O C}=\widehat{B O D}=90^{\circ}$.
Nếu $\widehat{B O C}=\widehat{D O C}$ thì $\widehat{D O C}=90^{\circ}: 2=45^{\circ}$.
Do đó, $\widehat{A O D}=\widehat{D O C}=\widehat{C O D} \Leftrightarrow \widehat{A O B}=3 \cdot \widehat{D O C}=3.45^{\circ}=135^{\circ} \Leftrightarrow m=135$
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Bài 4. Trong hình 2.7 có góc $M O N$ là góc bẹt, góc $A O C$ là góc vuông. Các tia $O M, O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O B$ và $C O D$. Chứng tỏ rằng $O B \perp O D$.
Hướng dẫn giải
Vì $\widehat{M O N}$ là góc bẹt nên $\widehat{O_1}+\widehat{O_3}+\widehat{A O C}=180^{\circ}$ $$ \widehat{O_2}+\widehat{O_4}+\widehat{B O D}=180^{\circ} $$
Mặt khác, $\widehat{O_1}=\widehat{O_2} ; \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (đề bài cho) nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A O C}=\widehat{B O D}$. Vì $\widehat{A O C}=90^{\circ}$ nên $\widehat{B O D}=90^{\circ} \Rightarrow O B \perp O D$.
Bài 5. Cho góc nhọn $A O B$. Trên nửa mặt phẳng bờ $O A$ có chứa tia $O B$, vẽ tia $O C \perp O A$. Trên nửa mặt phẳng bờ $O B$ có chứa tia $O A$ vẽ tia $O D \perp O B$. Gọi $O M$ và $O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O D$ và $B O C$. Chứng tỏ rằng $O M \perp O N$.
Hướng dẫn giải
Ta có $O C \perp O A \Rightarrow \widehat{A O C}=90^{\circ}$. $O D \perp O B \Rightarrow \widehat{B O D}=90^{\circ}$. Tia $O B$ nằm giữa hai tia $O A, O C$. Do đó $\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90^{\circ}$. Tương tự, ta có $\widehat{A O B}+\widehat{A O D}=90^{\circ}$. Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{B O C}=\widehat{A O D}$ (cùng phụ với $\widehat{A O B}$ ). Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O D \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\frac{\widehat{A O D}}{2}$. Hinh 2.12
Tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C \Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}=\frac{\widehat{B O C}}{2}$. Vi $\widehat{A O D}=\widehat{B O C}$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$. Ta có $\widehat{A O B}+\widehat{B O C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A O B}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{A O B}+\widehat{O_3}+\widehat{O_2}=90^{\circ}$. Do đó $\widehat{M O N}=90^{\circ} \Rightarrow O M \perp O N$.
Bài 6. Cho góc bẹt $A O B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ vẽ các tia $O M$ và $O N$ sao cho $\widehat{A O M}=\widehat{B O N}=m^{\circ}(90<m<180)$. Vẽ tia phân giác $O C$ của góc $M O N$. a) Chứng tỏ rằng $O C \perp A B$. b) Xác định giá trị của $m$ để $O M \perp O N$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có $\widehat{A O N}+\widehat{B O N}=180^{\circ} ; \widehat{B O M}+\widehat{A O M}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{A O M}=\widehat{B O N}$ (đề bài cho) nên $\widehat{A O N}=\widehat{B O M}$.
Mặt khác, tia $O C$ là tia phân giác của góc $M O N$ nên $\widehat{C O N}=\widehat{C O M}$. Do đó $\widehat{A O N}+\widehat{C O N}=\widehat{B O M}+\widehat{C O M}$ Ta có tia $O N$ nằm giữa hai tia $O A, O C$; tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B$, $O C$ nên từ (1) suy ra $\widehat{A O C}=\widehat{B O C}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$. Vậy $O C \perp A B$. Hinh 2.13 b) Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B$ và $O N$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N}=m^{\circ}$
Mặt khác $\widehat{B O M}=180^{\circ}-\widehat{A O M}=180^{\circ}-m^{\circ}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $\left(180^{\circ}-m^{\circ}\right)+90^{\circ}=m^{\circ} \Rightarrow 2 m^{\circ}=270^{\circ} \Rightarrow m^{\circ}=135^{\circ}$. Vậy $m=135$.
CHỨNG MINH MỘT TIA LÀ TIA PHÂN GIÁC, LÀ TIA ĐỐI
Bài 7. Cho góc $A O B$ có số đo bằng $120^{\circ}$. Vẽ tia phân giác $O M$ của góc đó. Trên nửa mặt phẳng bờ $O M$ có chứa tia $O A$, vẽ tia $O N \perp O M$. Trong góc $A O B$ vẽ tia $O C \perp O B$. Chứng tỏ rằng: a) Tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O M$; b) Tia $O A$ là tia phân giác của góc $C O N$.
Hướng dẫn giải
a) Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O B$ nên $\widehat{A O M}=\widehat{B O M}=120^{\circ}: 2=60^{\circ}$.
Ta có $O C \perp O B \Rightarrow \widehat{B O C}=90^{\circ}$. Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O C$ nên $\widehat{B O M}+\widehat{C O M}=\widehat{B O C}$ $\Rightarrow \widehat{C O M}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$. Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O B$ nên $\widehat{A O C}+\widehat{B O C}=\widehat{A O B}$ $\Rightarrow \widehat{A O C}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{A O C}=\widehat{C O M}\left(=30^{\circ}\right)$. Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O M$ nên từ (1) suy ra tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O M$. b) Ta có $O M \perp O N \Rightarrow \widehat{M O N}=90^{\circ}$.
Tia $O A$ nằm giữa hai tia $O N, O M$ nên $\widehat{A O N}+\widehat{A O M}=\widehat{M O N}$. Suy ra $\widehat{A O N}=\widehat{M O N}-\widehat{A O M}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$. Vậy $\widehat{A O N}=\widehat{A O C}\left(=30^{\circ}\right)$ Tia $O A$ nằm giữa hai tia $O N, O C$ nên từ (2) suy ra tia $O A$ là tia phân giác của góc $C O N$.
Bài 8. Cho góc bẹt $A O B$, tia $O C \perp A B$. Vẽ tia $O M$ và $O N$ ở trong góc $B O C$ sao cho $\widehat{B O M}=\widehat{C O N}=\frac{1}{3} \widehat{B O C}$. Tìm trong hình vẽ các tia là tia phân giác của một góc.
Hướng dẫn giải
Ta có $O C \perp A B$ nên $\widehat{A O C}=\widehat{B O C}=90^{\circ}$ Tia $O C$ nằm giữa hai tia $O A, O B$. Từ (1) và (2) suy ra tia $O C$ là tia phân giác của góc $A O B$. Ta có $\widehat{B O M}=\widehat{C O N}=\frac{1}{3} \widehat{B O C}=30^{\circ}$. Tia $O N$ nằm trong góc $B O C$ nên $\widehat{B O N}+\widehat{C O N}=\widehat{B O C}$. Suy ra $\widehat{B O N}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$. Tia $O M$ nằm giữa hai tia $O B, O N$. Do đó $\widehat{B O M}+\widehat{M O N}=\widehat{B O N} \Rightarrow \widehat{M O N}=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$. Vậy $\widehat{B O M}=\widehat{M O N}=\widehat{C O N}=30^{\circ}$ Từ (3) và (4) suy ra tia $O M$ là tia phân giác của góc $B O N$. Tia $O N$ nằm giữa hai tia $O M$ và $O C$ Từ (4) và (5) suy ra tia $O N$ là tia phân giác của góc $C O M$. Tóm lại, các tia $O C, O M, O N$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $A O B, B O N$ và $C O M$.
Bài 9. Cho hai tia $O M$ và $O N$ vuông góc với nhau, tia $O C$ nằm giữa hai tia đó. Vẽ các tia $O A$ và $O B$ sao cho tia $O M$ là
tia phân giác của góc $A O C$, tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C$. Chứng tỏ rằng hai tia $O A$, $O B$ đối nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có $O M \perp O N \Rightarrow \widehat{M O N}=90^{\circ}$. Tia $O M$ là tia phân giác của góc $A O C$ nên $\widehat{A O M}=\widehat{M O C}$. Tia $O N$ là tia phân giác của góc $B O C$ nên $\widehat{B O N}=\widehat{N O C}$. Xét tổng $$ \widehat{A O C}+\widehat{B O C}=2 \widehat{M O C}+2 \widehat{N O C}=2(\widehat{M O C}+\widehat{N O C})=2 \widehat{M O N}=2.90^{\circ}=180^{\circ} \text {. } $$
Hai góc kề $A O C$ và $B O C$ có tổng bằng $180^{\circ}$ nên hai tia $O A, O B$ đối nhau.
ĐƯỜNGTRUNG TRỰC – HAI GÓC CÓ CẠNH TƯƠNG ỨNG VUÔNG GÓC
Bài 10. Cho đoạn thẳng $A B=2 a$. Lấy các điểm $E$ và $F$ nằm giữa $A$ và $B$ sao cho $A E=B F$. Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng $A B$ và $E F$ cùng có chung một đường trung trực.
Hướng dẫn giải
Trường hợp $A E=B F<a$ :
Gọi $M$ là trung điểm của $A B$. Khi đó $M A=M B=a$. Điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $M$, điểm $F$ nằm giữa hai điểm $B$ và $M$.
Do đó $M E=M A-A E=a-A E ; M F=M B-B F=a-B F$. Vì $A E=B F$ nên $M E=M F$. Vậy $M$ là trung điểm chung của hai đoạn thẳng $A B$ và $E F$. Qua $M$ vẽ $x y \perp A B$ thì $x y$ là đường trung trực chung của $A B$ và $E F$.
Trường hợp $A E=B F>a$ : Chứng minh tương tự.
Bài 11. Cho bốn điểm $M, N, P, Q$ nằm ngoài đường thẳng $x y$. Biết $M N \perp x y ; P Q \perp x y$ và $x y$ là đường trung trực của đoạn thẳng $N P$. Chứng tỏ rằng bốn điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có $M N \perp x y ; N P \perp x y$ (vì $x y$ là đường trung trực của $N P$ ). Qua điểm $N$ chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với $x y$, suy ra ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng. (1)
Ta có $N P \perp x y ; P Q \perp x y$. Qua điểm $P$ chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với $x y$, suy ra ba điểm $N, P, Q$ thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng $N P$.
Bài 2.12. Hai góc gọi là có cạnh tương ứng vuông góc nếu đường thẳng chứa mỗi cạnh của góc này tương ứng vuông góc với đường thẳng chứa một cạnh của góc kia.
Xem hình $2.8(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ rồi kể tên các góc nhọn (hoặc tù) có cạnh tương ứng vuông góc.
Hướng dẫn giải
Trên hình 2.8a) có $A H \perp O x, A K \perp O y$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc $H A K$ và góc $x O y$; góc $H A t$ và góc $x O y$. Trên hình 2.8 b ) có $A B \perp A C$ và $A H \perp B C$ nên các góc có cạnh tương ứng vuông góc là: góc $B A H$ và góc $C$; góc $C A H$ và góc $B$.
Phép phản chứng trong toán học còn được gọi là phương pháp chứng minh bằng mâu thuẫn. Nếu ta muốn chứng minh kết luận của bài toán là đúng thì cần phải chứng minh điều ngược lại với giả thiết là sai. Sau đây ta xét một vài ví dụ áp dụng suy luận này, dành cho các bạn hs lớp 8, 9.
1/ Ví dụ:
Ví dụ 1.
Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỷ.
Lời giải
Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại $a,b\in \mathbb{N}^*$ sao cho $\sqrt{2}= \dfrac{a}{b}$ với $(a,b)=1$
Ta có: $(\sqrt{2})^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2}$ hay $a^{2}=2 b^{2}\quad (1)$
Suy ra a là số chẵn, ta có: $\mathrm{a}=2 \mathrm{c}$ với $c\in Z$
Thay $\mathrm{a}=2 \mathrm{c}$ vào (1) ta được: $(2 c)^{2}=2 b^{2}$ hay $b^{2}=2 c^{2}$
Do đó, b là số chẵn
Hai số a và $b$ đều số chẵn $\Rightarrow$ Mâu thuẫn với $(1)$
Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.
Ví dụ 2.
Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỷ và một số vô tỷ là số vô tỷ.
Lời giải
Giả sử tổng của số hữu tỉ a vs số vô tỉ b là số hữu tỉ c, ta có: $\mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$
Mà hiệu của 2 số hữu tỉ phải là số hữu tỉ nên $b$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow$ Mâu thuẫn vs giả thiết
Vậy tổng của 1 số hữu tỉ với 1 số vô tỉ là 1 số vô tỉ.
Ví dụ 3. (Nguyên lý Dirichlet)
Có $nk + 1$ viên bi, bỏ vào trong $k$ cái hộp. Chứng minh rằng có ít nhất một hộp có ít nhất là là $n+1$ viên bi.
Lời giải
Giả sử tất cả các hộp đều chứa số bi không vượt quá $n$ viên, khi đó tổng số bi không vượt quá $nk$, mâu thuẫn. Vậy phải có một hộp chứa nhiều hơn $n$ viên bi $\Rightarrow$ đpcm.
2/ Bài tập
Bài 1.
Cho 15 số phân biệt thỏa mãn tổng của 8 số bất kì lớn hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh tất cả các số đã cho đều dương.
Lời giải
Gọi 15 số đã cho là $a_1<a_2<a_3<\cdots <a_{15}$. Ta chỉ cần chứng minh $a_1 > 0$.
Thật vậy, giả sử $a_1 \leq 0$, khi đó $$a_1 + a_2 + \cdots + a_8 \leq a_2 + a_3 + \cdots a_8 < a_9 + \cdots a_{15}$$ (mâu thuẫn).
Vậy điều giả sử là sai, hay $0<a_1\Rightarrow 15$ số đã cho đều dương.
Bài 2.
Từ 8 số nguyên dương không lớn hơn 20, chứng minh rằng có thể chọn ra 3 số $x, y, z$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Lời giải
Gọi 8 số nguyên dương không lớn hơn 20 là $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{8}$
Nhận thấy rằng với ba số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a \geq b \geq c$ và $b+c>a$ thì khi đó $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.
Giả sử trong các số $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots . a_{8}$ không chọn được 3 số nào là độ dài 3 cạnh của tam giác thì ta có:
$$a 3 \geq a 1+a 2 \geq 1+1=2$$
$$a 4 \geq a 2+a 3 \geq 1+2=3$$
$$a 5 \geq a 3+a 4 \geq 2+3=5$$
$$a 6 \geq a 4+a 5 \geq 3+5=8$$
$$a 7 \geq a 5+a 6 \geq 5+8=13$$
$$a 8 \geq a 6+a 7 \geq 13+8=21$$
$\Rightarrow$ Trái với giả thiết
Vậy điều giả sử là sai
$\Rightarrow$ đpcm.
Bài 3.
Cho tập $B = {1, 2, 3, …, 16}$. Người ta ghi các số của tập B thành một vòng tròn (mỗi số ghi một lần). Hỏi có cách ghi để tổng thỏa:
a/ Tổng của hai số kề nhau bất kì lớn hơn hoặc bằng 17 được không? Tại sao?
b/ Tổng của ba số kề nhau bất kì lớn hơn 24 được không? Tại sao?
Lời giải
a/ Giả sử tồn tại cách ghi thỏa mãn. Khi đó, gọi 2 số kề với 1 là a và b.
Theo giả thiết, ta có:
$\left\{\begin{array}{l} 1 + a \geqslant 17 \\1 + b \geqslant 17 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a \geqslant 16 \\ b \geqslant 16 \end{array} \right. \Rightarrow$ Mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại cách ghi thỏa mãn.
b/ Giả sử tồn tại cách ghi thỏa mãn.
Khi đó, ta tách số 16 ra và chia 15 số còn lại thành 5 bộ 3 số kề nhau. Và tổng của 16 số này phải lớn hơn hoặc bằng: $16+5\cdot 25=141$
Mà $1+2+3+\cdots 16=136 \Rightarrow $ Mâu thuẫn
Vậy không tồn tại cách ghi thỏa mãn.
Bài 4.
Có thể chia tập $X = \{1, 2, …, 2023\}$ thành hai tập rời nhau sao cho tổng các phần tử thuộc tập này bằng 2 lần tổng các phần tử thuộc tập kia?
Lời giải
Giả sử có thể chia tập $X$ thành hai tập rời nhau $A$ và $B$ sao cho tổng các phần tử thuộc A bằng 2 lần tổng các phần tử thuộc B.
Khi đó, tổng các phần tử của 2 tập hợp này phải chia hết cho 3.
Mà ta có: $1+2+3+\cdots +2023=\dfrac{2023\cdot 2024}{2}=1012\cdot 2023 \not \vdots \ 3 \Rightarrow$ Mâu thuẫn
Vậy không thể chia tập $X$ thành hai tập rời nhau $A$ và $B$ sao cho tổng các phần tử thuộc $A$ bằng 2 lần tổng các phần tử thuộc $B$.
Bài 5.
Một bảng vuông $8 \times 8$ khuyết các ô vuông ở hai góc đối diện. Hỏi có thể phủ các ô của bảng vuông bằng các hình Domino $1 \times 2$ mà không có quân Domino nào chồng lên nhau được không? Tại sao?
Lời giải
Giả sử có thể phủ các ô của bảng vuông bằng các hình Domino $1 \times 2$ mà không có quân Domino nào chồng lên nhau.
Mỗi quân Domino lát vào bàn cờ luôn chiếm một ô trắng và một ô đen. Do đó, để lát được phần còn lại của bàn cờ thì số ô trắng và số ô đen bằng nhau. Mà số ô màu trắng và số ô màu đen trong phần còn lại của bàn cờ không bằng nhau. Điều này mâu thuẫn.
Vậy không thể lát được phần còn lại của bàn cờ bằng các quân Domino.
