Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.
Bài 1. Cho hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn
$\lim_{x \rightarrow – \infty} f(x)= \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$
a) Chứng minh rằng $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ với $x_n<y_n, \forall n=1,2,3, \ldots$ sao cho chúng cùng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$ với mọi $n$.
Bài 2. Cho dãy số nguyên dương $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $0 \leq x_0<x_1 \leq 100$ và
$$
x_{n+2}=7 x_{n+1}-x_n+280, \quad \forall n \geq 0 .
$$
a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2, x_1=3$ thì với mỗi số nguyên dương $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_n x_{n+1}+x_{n+1} x_{n+2}+x_{n+2} x_{n+3}+2018$ thì chia hết cho 24 .
b) Tìm tất cả các cặp số $\left(x_0, x_1\right)$ để số $x_n x_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số $n$.
Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$, đặt
$$
\Gamma(f(x))=a_0^2+a_1^2+\cdots+a_m^2 .
$$
Cho đa thức $P(x)=(x+1)(x+2) \ldots(x+2020)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2019 đa thức đôi một phân biệt $Q_k(x)$ với $1 \leq k \leq 2^{2019}$ với các hệ số dương thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) $\operatorname{deg} Q_k(x)=2020$.
ii) $\Gamma\left(Q_k(x)^n\right)=\Gamma\left(P(x)^n\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và trực tâm $H$. Trên các tia $A B, A C, B C, B A, C A, C B$ lần lượt lấy các điểm $A_1, A_2, B_1, B_1, C_1, C_2$ sao cho $A A_1=A A_2=B C$, $B B_1=B B_2=A C, C C_1=C C_2=A B$. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $\left(B B_1, C C_1\right) ;\left(C C_1, A A_1\right) ;\left(A A_1, B B_1\right)$.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ không vượt quá diện tích tam giác $A B C$.
b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Các đường thẳng $A J, B J, C J$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ theo thứ tự tại $R, S, T$. Gọi $K$ là điểm chung của các đường tròn ngoại tiếp $A S T, B T R, C R S$. Giả sử tam giác $A B C$ không cân, chứng minh $I H J K$ là hình bình hành.
Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.
Bài 5. Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$ với $\alpha \in \mathbb{R}$.
a) Khi $\alpha=\frac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
b) Tìm tất cả các giá trị $\alpha$ để $f(x)$ có thể viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
Bài 6. Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm cạnh $B C, C A, A B$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao ứng với các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $A B C$. Gọi $K$ là đối xứng của $H$ qua $B C$. Hai đường thẳng $D E, M P$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $D F, M N$ cắt nhau tại $Y$.
a) Đường thẳng $X Y$ cắt cung $\overparen{B C}$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng $K, Z, E, F$ đồng viên.
b) Hai đường thẳng $K E, K F$ cắt lại $(O)$ tại $S, T$. Chứng minh rằng $B S, C T, X Y$ đồng quy.
Bài 7. Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5 \times 5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu để tô các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy màu được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng chồng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minh rằng ta thu được không quá $\frac{1}{8}\left(n^{25}+4 n^{15}+n^{13}+2 n^7\right)$ mảnh giấy đôi một không giống nhau.
