Đề thi và lời giải Học sinh giỏi Quốc gia năm 2019 (VMO 2019)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1. Cho hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn

$\lim_{x \rightarrow – \infty} f(x)= \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$
a) Chứng minh rằng $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy $\left(x_n\right),\left(y_n\right)$ với $x_n<y_n, \forall n=1,2,3, \ldots$ sao cho chúng cùng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$ với mọi $n$.

Bài 2. Cho dãy số nguyên dương $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $0 \leq x_0<x_1 \leq 100$ và
$$
x_{n+2}=7 x_{n+1}-x_n+280, \quad \forall n \geq 0 .
$$
a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2, x_1=3$ thì với mỗi số nguyên dương $n$, tổng các ước nguyên dương của $x_n x_{n+1}+x_{n+1} x_{n+2}+x_{n+2} x_{n+3}+2018$ thì chia hết cho 24 .
b) Tìm tất cả các cặp số $\left(x_0, x_1\right)$ để số $x_n x_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số $n$.

Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$, đặt
$$
\Gamma(f(x))=a_0^2+a_1^2+\cdots+a_m^2 .
$$

Cho đa thức $P(x)=(x+1)(x+2) \ldots(x+2020)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2019 đa thức đôi một phân biệt $Q_k(x)$ với $1 \leq k \leq 2^{2019}$ với các hệ số dương thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) $\operatorname{deg} Q_k(x)=2020$.
ii) $\Gamma\left(Q_k(x)^n\right)=\Gamma\left(P(x)^n\right)$ với mọi số nguyên dương $n$.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và trực tâm $H$. Trên các tia $A B, A C, B C, B A, C A, C B$ lần lượt lấy các điểm $A_1, A_2, B_1, B_1, C_1, C_2$ sao cho $A A_1=A A_2=B C$, $B B_1=B B_2=A C, C C_1=C C_2=A B$. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $\left(B B_1, C C_1\right) ;\left(C C_1, A A_1\right) ;\left(A A_1, B B_1\right)$.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ không vượt quá diện tích tam giác $A B C$.
b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Các đường thẳng $A J, B J, C J$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ theo thứ tự tại $R, S, T$. Gọi $K$ là điểm chung của các đường tròn ngoại tiếp $A S T, B T R, C R S$. Giả sử tam giác $A B C$ không cân, chứng minh $I H J K$ là hình bình hành.

Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5. Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$ với $\alpha \in \mathbb{R}$.
a) Khi $\alpha=\frac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
b) Tìm tất cả các giá trị $\alpha$ để $f(x)$ có thể viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Bài 6. Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm cạnh $B C, C A, A B$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao ứng với các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $A B C$. Gọi $K$ là đối xứng của $H$ qua $B C$. Hai đường thẳng $D E, M P$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $D F, M N$ cắt nhau tại $Y$.
a) Đường thẳng $X Y$ cắt cung $\overparen{B C}$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng $K, Z, E, F$ đồng viên.
b) Hai đường thẳng $K E, K F$ cắt lại $(O)$ tại $S, T$. Chứng minh rằng $B S, C T, X Y$ đồng quy.

Bài 7. Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5 \times 5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu để tô các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy màu được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng chồng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minh rằng ta thu được không quá $\frac{1}{8}\left(n^{25}+4 n^{15}+n^{13}+2 n^7\right)$ mảnh giấy đôi một không giống nhau.

Lời giải tham khảo
loi-giai-va-binh-luan-VMO-2019Download

Đề thi và lời giải môn Toán Học sinh giỏi Quốc gia năm 2020 (VMO 2020)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=1$ và
$$
x_{n+1}=x_n+3 \sqrt{x_n}+\frac{n}{\sqrt{x_n}} \text { với mọi } n \geq 1 .
$$
a) Chứng minh rằng $\lim \dfrac{n}{x_n}=0$

b) Tính giới hạn $ \lim \dfrac{n^2}{x_n}$

Bài 2. (5 điểm)
a) Cho ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$
|a-b|+|b-c|+|c-a| \leq 2 \sqrt{2} .
$$
b) Cho 2019 số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{2019}$ thỏa mãn $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$
S=\left|a_1-a_2\right|+\left|a_2-a_3\right|+\cdots+\left|a_{2019}-a_1\right| .
$$

Bài 3. ( 5 điểm) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $a_1=5, a_2=13$ và
$$
a_{n+2}=5 a_{n+1}-6 a_n \text { với mọi } n \geq 2 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $a_{2^k}$ thì $p-1$ chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi số tự nhiên $k$.

Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $B C, C A, A B$.
a) Gọi $H_a$ là điểm đối xứng của $H$ qua $B C$, và $A^{\prime}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Gọi $O_a$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C$. Chứng minh rằng $H D^{\prime}, A^{\prime} O_a$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.
b) Lấy điểm $X$ sao cho tứ giác $A X D A^{\prime}$ là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H X, A B F, A C E$ có một điểm chung khác $A$.

Ngày thi thứ hai. Thời gian 180 phút.

Bài 5. (6 điểm) Cho hệ phương trình (tham số $a$):$\left\{\begin{array}{l}x-a y=y z \\\\y-a z=z x \\\\ z-a x=x y\end{array}\right.$ (với $x, y, z \in \mathbb{R}$ ).
a) Giải hệ khi $a=0$.
b) Chứng minh rằng hệ có 5 nghiệm khi $a>1$.

Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân có các đường cao $A D, B E, C F$ với $D, E, F$ là các chân đường cao. Đường tròn đường kính $A D$ cắt $D E, D F$ lần lượt tại $M, N$. Lấy các điểm $P, Q$ tương ứng trên $A B, A C$ sao cho $N P \perp A B, M Q \perp A C$. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P Q$.
a) Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với $E F$.
b) Gọi $T$ là tiếp điểm của ( $I$ ) với $E F, K$ là giao điểm của $D T, M N$ và $L$ đối xứng với $A$ qua $M N$. Chứng minh rằng $(D K L)$ đi qua giao điểm của $M N$ và $E F$.

Bài 7. (7 điểm) Cho số nguyên dương $n>1$. Ký hiệu $T$ là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự $(x, y, z)$ trong đó $x, y, z$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và $1 \leq x, y, z \leq 2 n$. Một tập hợp $A$ các bộ có thứ tự $(u, v)$ được gọi là “liên kết” với $T$ nếu với mối phần tử $(x, y, z) \in T$ thì ${(x, y),(x, z),(y, z)} \cap A \neq \varnothing$.
a) Tính số phần tử của $T$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với $T$ có đúng $2 n(n-1)$ phần tử.
c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với $T$ có không ít hơn $2 n(n-1)$ phần tử.

Lời giải tham khảo

Xin cám ơn các thầy Lê Phúc Lữ, Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Linh và các bạn Đoàn Cao Khả, Nguyễn Công Thành, Nguyễn Mạc Nam Trung đã chia sẻ tài liệu này.

VMO-2020_daDownload

Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2021 (VMO 2021)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1 (5 điểm). Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ có $x_1 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ và $x_{n+1}=3 x_n^2-2 n x_n^3$ với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh $\lim x_n=0$.
b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2 x_2+\cdots+n x_n$. Chứng minh rằng dãy $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x)
$$
với mọi số thực $x, y$.
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K, J$ lần lượt là trung điểm $B C, E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$.
b) Cho $A L$ cắt $E F$ tại $M, I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N$, $D N$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $P E, Q F, A K$ dồng quy.

Bài 4(5 điểm). Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh $s(n)=\frac{n}{2}(n+1-\varphi(n))$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.

Ngày thi thứ 2. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5 (6 điểm). Cho đa thức $P(x)=a_{21} x^{21}+a_{20} x^{20}+\cdots+a_1 x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left|a_{k+2}-a_k\right| \leq c$ với mọi $k \in{0,1, \ldots, 19}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\sum_{k=0}^{10}\left(a_{2 k+1}-a_{2 k}\right)^2 \leq 440 c^2$.

Bài 6 (7 điểm). Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ hai hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu, học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b).

Bài 7 (7 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $B C$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $A B C$ tại $G$. Cho $B G, C G$ lần lượt cắt $C D, B D$ tại $E, F$.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $B E$ và $C F$ lần lượt cắt $B F, C E$ tại $M, N$. Chứng minh rằng các điểm $A, D, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho $A D, A G$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B C, G B C$ tại $H, K$. Trung trực của $H K, H E, H F$ lần lượt cắt $B C, C A, A B$ tại $R, P, Q$. Chứng minh rằng các điểm $R, P, Q$ thẳng hàng.

Lời giải tham khảo
VMO-2021Download

Đề thi và đáp án học sinh giỏi quốc gia năm 2022 (VMO 2022)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1 (5,0 điểm)
Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi
$$
u_1=6, u_{n+1}=\dfrac{2 n+a}{n}+\sqrt{\dfrac{n+a}{n} u_n+4}, \quad \forall n \geq 1 .
$$
a) Với $a=0$, chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:(0 ;+\infty) \rightarrow(0 ;+\infty)$ thoả mãn
$$
f\left(\dfrac{f(x)}{x}+y\right)=1+f(y), \forall x, y \in(0 ;+\infty) .
$$

Bài 3(5,0$ điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$. Các điểm $E, F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $B A, C A$ sao cho $B F=C E(E \neq B, F \neq C)$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $B E, C F$ và $D$ là giao điểm của $B F$ với $C E$.
a) Gọi $I, J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $D B E, D C F$. Chứng minh rằng $M N$ song song với $I J$.
b) Gọi $K$ là trung điểm của $M N$ và $H$ là trực tâm của tam giác $A E F$. Chứng minh rằng $H K$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4 (5,0 điểm)
Với mỗi cặp số nguyên dương $(n, m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n, m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n ; m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) $\dfrac{s(n, m)}{m-n} \geq \frac{s(1, m)}{m}$ với mọi $n=1,2, \ldots, m-1$;
ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.

Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5(6,0 điểm)
Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của $P(x)$ đều không vượt quá 2021 và $Q(x)$ có ít nhất một hệ số lớn hơn 2021. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và $P(x), Q(x)$ có chung nghiệm hữu tỷ $\dfrac{p}{q} \neq 0(p, q \in \mathbb{Z} ; p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng $|p|+n|q| \leq Q(n)-P(n)$ với mọi $n=1,2, \ldots, 2021$.

Bài 6 (7,0 điểm)
Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $x_i\left(1 \leq x_i \leq 6\right)$ là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ $i(i=1,2,3,4)$.
a) Tính số các bộ $\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)$ có thể có.
b) Tính xác suất để có một số trong $x_1, x_2, x_3, x_4$ bằng tổng của ba số còn lại.
c) Tính xác suất để có thể chia $x_1, x_2, x_3, x_4$ thành hai nhóm có tổng bằng nhau.

Bài 7 (7,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ có $B, C$ cố định trên đường tròn $(O)$ ( $B C$ không đi qua tâm $O$ ) và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $\overparen{B C}$ sao cho $A B \neq A C$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với $B C$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\widehat{B A C}, L$ là giao điểm của $I_a D$ với $O I$ và $E$ là điểm trên $(I)$ sao cho $D E$ song song với $A I$.
a) Đường thẳng $L E$ cắt đường thẳng $A I$ tại $F$. Chứng minh rằng $A F=A I$.
b) Trên đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $I_a B C$ lấy điểm $M$ sao cho $I_a M$ song song với $A D, M D$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $M N$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Đáp án chính thức
VMO-2022Download

(Nguồn: Bộ giáo dục Việt Nam)

Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2023 (VMO 2023)

Leave a reply

Ngày thi thứ nhất. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 1 (5,0 điểm) Xét dãy số $\left(a_n\right)$ thỏa mãn $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\sqrt[3]{3 a_{n+1}-a_n}$ và $0 \leq a_n \leq 1$, với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(a_n\right)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy số $\left(b_n\right)$ xác định bởi $b_n=\left(1+2 a_1\right)\left(1+2^2 a_2\right) \cdots\left(1+2^n a_n\right)$ với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng dãy $\left(b_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm) Cho các số nguyên $a, b, c, \alpha, \beta$ và dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi
$$
u_1=\alpha, u_2=\beta, u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n+c \text { với mọi } n \geq 1 \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng nếu $a=3, b=-2, c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha ; \beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.
b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:
i) Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$;
ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0} u_{n_0+1} \cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho 2023.

Bài 3 (5,0 điểm) Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức
$$
\frac{1}{k a b+c^2}+\frac{1}{k b c+a^2}+\frac{1}{k c a+b^2} \geq \frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}
$$
đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a ; b ; c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=2(a b+b c+c a)$.
Bài 4 (5,0 điểm) Cho tứ giác $A B C D$ có $D B=D C$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $A B, A C$ và $J, E, F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $A B C$ với $B C, C A, A B$. Đường thẳng $M N$ cắt $J E, J F$ lần lượt tại $K, H ; I J$ cắt lại đường tròn $(I B C)$ tại $G$ và $D G$ cắt lại $(I B C)$ tại $T$.
a) Chứng minh rằng $J A$ đi qua trung điểm của $H K$ và vuông góc với $I T$.
b) Gọi $R, S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $A B, A C$. Lấy các điểm $P, Q$ lần lượt trên $I F, I E$ sao cho $K P$ và $H Q$ đều vuông góc với $M N$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $M P, N Q$ và $R S$ đồng quy.

Ngày thi thứ hai. Thời gian làm bài 180 phút.

Bài 5 (6,0 điểm) Xét các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ và $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=2022$ và
$$
f(x+g(y))=x f(y)+(2023-y) f(x)+g(x) \text { với mọi } x, y \in \mathbb{R} \text {. }
$$
a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 6 (7,0 điểm) Có $n \geq 2$ lớp học tổ chức $m \geq 1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ ngoại khóa. Mọi tổ ngoại khóa đều có đúng a lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ ngoại khóa bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này.
a) Tính $m$ khi $n=8, a=4, b=1$.
b) Chứng minh rằng $n \geq 20 \mathrm{khi} m=6, a=10, b=4$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20, a=4, b=1$.

Bài 7 (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ tương ứng tại $M, N, P$. Gọi $\Omega_A$ là một đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại một điểm $A^{\prime}$ và cắt lại $A B, A C$ tương ứng tại $A_b, A_c$. Các đường tròn $\Omega_B, \Omega_C$ và các điểm $B^{\prime}, B_a, B_c$, $C^{\prime}, C_a, C_b$ được xác định một cách tương tự.
a) Chứng minh rằng $B_c C_b+C_a A_c+A_b B_a \geq N P+P M+M N$.
b) Xét trường hợp $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ tương ứng thuộc các đường thẳng $A M, B N, C P$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_b A_c, B_c B_a, C_a C_b$. Chứng minh rằng $O H$ song song với $I K$.

(Nguồn: Bộ Giáo Dục Việt Nam)

Đáp án chính thức
Dap-an-VMO-2023Download

Đường thẳng Simson của tam giác

Leave a reply

Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $P$ là điểm thuộc cung $AC$ không chứa $B$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$.

a) Chứng minh các tứ giác $PCDE, PDBF$ nội tiếp.

b) Chứng minh $D, P, E$ thẳng hàng.

c) Chứng minh tam giác $PDE$ và $PBA$ đồng dạng; tam giác $PFE$ và $PBC$ đồng dạng.

Lời giải.

a) Tứ giác $PCDE$ có $\angle PDC = \angle PEC = 90^\circ $ nên là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác $PDFB $ có $\angle PDB + \angle PFB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ nên là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\angle PFE = \angle PAE$ vì $PFAE$ nội tiếp

Mà $\angle PAE = \angle PBC = \angle PFD$;

Do đó $\angle PFE = \angle PFD$, suy ra $F, E, D$ thẳng hàng.

c) Xét tam giác $PDE$ và $PBA$ có $\angle PDE = \angle PCA = \angle PBA, \angle PED = 180^\circ – \angle PCB = \angle PAB$, do đó $\triangle PDE \backsim \triangle PBA$.

Chú ý: Cho tam giác $ABC$ và $P$ là một điểm bất kì thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó hình chiếu của $P$ trên các đường thẳng $BC, AC, AB$ cùng thuộc một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson của điểm $P$ đối với tam giác $ABC$.

Sau đây ta xem một số bài toán liên quan đến đường thẳng simson

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O), P$ là điểm thay đổi trên cung $B C$ không chứa $A$. Gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $P B, P C$.
a) Tìm vị trí của $P$ để $A D \cdot P B+A E \cdot P C$ lớn nhất.
b) Chứng minh rằng $D E$ đi qua một điểm cố định. Tìm vị trí của $P$ để $D E$ lớn nhất.

Hướng dẫn

a) Ta có $AD \cdot BP +AE \cdot PC = 2S_{ABP} + 2S_{ACP} = 2S_{ABPC} = 2 (S_{ABC}+S_{PBC})$

Do đó $AD \cdot BP + AE \cdot PC $ lớn nhất khi $S_{PBC}$ lớn nhất, $P$ là điểm chính giữa cung $BC$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, khi đó $D, E, H$ thẳng hàng, hay $DE$ qua $H$ cố định.

Bài 2. Cho tam giác $A B C$, nội tiếp đường tròn $(O), P$ là điểm thuộc cung $A C$, gọi $D, E$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $B C, A C$.
a) $D E$ cắt $A B$ tại $F$. Chứng minh $P F \perp A B$.
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, D E$. Tính $\angle P N M$.

Hướng dẫn

a) Tự giải

b) Tam giác $PDE$ và $PBA$ đồng dạng, $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, DE$ nên $PMB$ và $PNE$ đồng dạng, suy ra $\angle PNE = \angle PMB$, từ đó $PNFM$ nội tiếp, suy ra $\agle PNM = 90^\circ$.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$ các đường cao $A D, B E, C F$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $A B, A C, B E, C F$. Chứng minh $M, N, P, Q$ thẳng hàng.

Hướng dẫn

Tứ giác $BFHD$ nội tiếp, nên hình chiếu của $D$ trên $BF, BH, FH$ thẳng hàng, hay $M, P, Q$ thẳng hàng. Tương tự cho tứ giác $CDHE$ thì $N, P, Q$ thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), P Q$ là đường kính của $(O)$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng simson của $P, Q$ ứng với tam giác $A B C$ thì vuông góc nhau tại $I$.

b) Chứng minh $I$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

Hướng dẫn

a) Xét hình như hình trên, ta có $\angle EDC = \angle EPC$ và $\angle LKB = \angle LQC$

Suy ra $\angle EDC + \angle LKB = \angle EPC + \angle LQC = 90^\circ – \angle ECP + 90^\circ – \angle QCL = 180^\circ – \angle QCP = 90^\circ$, do đó tam giác $DIK$ vuông tại $I$ hay $DE \bot LK$ tại $I$.

b) Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, AC, AB$. Do $O$ là trung điểm $PQ$ nên $M$ cũng là trung điểm $DK$, $N$ là trung điểm $LE$.

Khi đó $IN =IL = IE, IM = ID = IK$, suy ra $\angle LIN = \angle ILN = \angle CQK, \angle DIM = \angle MDK = \angle EPC$.

Do đó $\angle MIN = 90^\circ + \angle LIN + \angle DIM = 90^\circ + \angle CQK + \angle EPC = 180^\circ – \angle ACB = 180^\circ – \angle MPN$, do đó $IMPN$ nội tiếp, hay $I$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

Bài 5. (IMO 2007) Xét 5 diểm $A, B, C, D, E$, sao cho $A B C D$ là hình bình hành và $B, C, D, E$ cùng thuộc một đuoòng tròn. Gọi $d$ là đuoòng thẳng qua $\mathrm{A}$, giả sủ $d$ cắt đoạn $B C$ tại $F$ và $B C$ tại $G$. Giả sủ $E F=E G=E C$, chúng minh rằng $\mathrm{d}$ là phân giác của $\angle D A B$.

Hướng dẫn

Gọi $I, H$ là trung điểm của $C G, C F$. Ta có $E I \perp C G, E H \perp C F$. Ta có $O, H, I$ thẳng hàng do $O H, O I$ cùng song song với $d$.

Dễ dàng chứng minh được $E O \perp B D$. Suy ra tam giác $E B D$ cân. Từ đó suy ra $C E$ là phân giác góc $\angle B C G$ và $d$ là phân giác $\angle D A B$.

Bài 6. Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp. Gọi $d_a$ là đường thẳng simson của tam giác $B C D$ ứng với điểm $A$; các đường thẳng $d_b, d_c, d_d$ xác định tương tự. Chứng minh rằng $d_a, d_b, d_c, d_d$ đồng quy.

Hướng dẫn
  • Gọi $H_a, H_b$ là trự tâm tam giác $BCD, ACD$.
  • Chứng minh $d_a$ qua trung điểm $AH_a$;
  • Chứng minh $AH_aH_bB$ là hình bình hành.

Sử dụng vectơ chứng minh các điểm thẳng hàng

Leave a reply

Chứng minh các điểm thẳng hàng là một trong các dạng toán thường gặp trong các bài toán về vector, trong bài trình trình bày một số ví dụ, thông qua đó các em có thêm kinh nghiệm giải dạng toán này.

Tính chất 1. Cho $A, B, C$ là 3 điểm phân biệt.
a) $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow{A B}=k \cdot \overrightarrow{A C}$.
b) Giả sử $\overrightarrow{A B}=x \vec{a}+y \vec{b}$ và $\overrightarrow{A C}=x^{\prime} \vec{a}+y^{\prime} \vec{b}$. Khi đó $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại $k$ để $x=k x^{\prime}, y=k y^{\prime}$ hay $\frac{x}{x^{\prime}}=\frac{y}{y^{\prime}}$.

Tính chất 2. Cho 2 điểm $A, B$ phân biệt và điểm $O$ nằm ngoài đường thẳng $A B$. Khi đó điểm $M$ thuộc đường thẳng $A B$ khi và chỉ khi tồn tại các số $x, y$ thỏa $x+y=1$ và
$$
\overrightarrow{O M}=x \cdot \vec{a}+y \cdot \vec{b}
$$

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ là trung điểm $A B, N$ thỏa $\overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}$ và P là điểm đối xứng của B qua C.
a) Chứng minh $\overrightarrow{A N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$
b) Chứng minh $\overrightarrow{N M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$.
c) Chứng minh $M, N, P$ thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{A C}$.
Suy ra $2 \overrightarrow{A C}=-3 \overrightarrow{N A}=3 \overrightarrow{A N}$.
Do đó $\overrightarrow{A N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$.
b) Ta có $\overrightarrow{N M}=\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$.
c) Ta có $\overrightarrow{P M}=\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{B P}$
$=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{B C}$
$=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{B A}-2 \overrightarrow{A C}$
$=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C}$
$=3\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}\right)$
$=3 \overrightarrow{N M}$. Suy ra $P, M, N$ thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tứ giác $A B C D$. Gọi $M, N$ thuộc cạnh $A D, B C$ sao cho $A M=2 M D, B N=2 N C$. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng $A B, M N$ và $C D$ thẳng hàng.

Lời giải

Gọi $P, Q, R$ lần lượt là trung điểm của $A B, M N$ và $C D$.

  • Ta có $\overrightarrow{P Q}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A M}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$.
  • Ta cũng có $\overrightarrow{P R}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$.
  • Từ đó suy ra $\overrightarrow{P Q}=\frac{2}{3} \overrightarrow{P R}$, suy ra $P, Q, R$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ và điểm $D$ thỏa mãn $\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$, I là trung điểm của $B D$. M là điể thỏa $\overrightarrow{B M}=x \overrightarrow{B C}, x \in \mathbb{R}$.
a) Tinh $\overrightarrow{A I}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Tinh $\overrightarrow{A M}$ theo $x$ và $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$
c) Tìm $x$ để $A, I, M$ thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có $2 \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$ $\Rightarrow \overrightarrow{A I}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}$.
b) Ta có $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+x(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=(1-x) \overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A C}$.
c) Ta có:
$$
\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A C} \\\\
\overrightarrow{A M}=(1-x) \overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A C}
\end{array}\right.
$$

Khi đó, $A, M, I$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{A I}$ và $\overrightarrow{A M}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{1-x}{1}=\frac{x}{\frac{3}{4}} \Leftrightarrow x=\frac{3}{7}$.

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $\mathrm{ABC}$. Hai điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ được xác định bởi hệ thức: $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{A B}-$ $\overrightarrow{N A}-3 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $M N \parallel A C$.

Bài 2. Cho $3 \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}-5 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $A, B, C$ thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ có trung tuyến $A M$. Gọi $I$ là trung điểm $A M$ và $K$ là trung điểm AC sao $A K=\frac{1}{3} A C$.
a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B I}, \overrightarrow{B K}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
b) Chứng minh các điểm $B, I, K$ thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có trọng tâm $G$. Gọi $I, J$ là hai điểm xác định bởi $\overrightarrow{I A}=2 \overrightarrow{I B}, 3 \overrightarrow{J A}+$ $2 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$.
a) Tính $\overrightarrow{I f}, \overrightarrow{I G}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Chứng minh $I, J, G$ thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác $A B C$. Lấy các điểm $M, N, P$ thỏa mãn
$$
\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}, 3 \overrightarrow{A N}-2 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P C}
$$

Chứng minh $M, N, P$ thẳng hàng.

Biểu diễn vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Leave a reply

Tính chất 1. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$

a) Nếu $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ cùng phương thì tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}$.

b) Nếu $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương và $ x \cdot \overrightarrow{a}+y \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$, suy ra $x = y = 0$.

Chứng minh.

a) Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương.

  • Trường hợp 1. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng. Đặt $k=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$, ta chứng minh $\vec{a}=k \cdot \vec{b}$.
    Thực vậy:
    Do $k>0$ nên $k \cdot \vec{b}$ cùng hướng $\vec{b}$ mà $\vec{b}$ cùng hướng $\vec{a}$ nên $k \cdot \vec{b}$ cùng hướng $a$; Và $|k \cdot \vec{b}|=|k| \cdot|\vec{b}|=|\vec{a}|$.
  • Trường hợp 2. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ ngược hướng. Đặt $k=-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$, chứng minh tương tự như trên ta cũng có $\vec{a}=k \cdot \vec{b}$.

b) Giả sử $x \neq 0$, suy ra $\overrightarrow{a} = \dfrac{-y}{x} \cdot \overrightarrow{b}$ cùng phương $\overrightarrow{b}$, mâu thuẫn, do đó $x = 0$, dẫn đến $y = 0$.

Tính chất 2. Cho $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương, khi đó với mọi vectơ $\overrightarrow{c}$ tồn tại duy nhất cặp số $(x;y)$ thỏa mãn $$\overrightarrow{c} = x \cdot \overrightarrow{a} + y \cdot \overrightarrow{b}$$

Chứng minh

  • Lấy điểm $O$ ta dựng các vectơ $\overrightarrow{A O}=\vec{a} ; \overrightarrow{O B}=\vec{b} ; \overrightarrow{O C}=\vec{c}$.
  • Từ $C$ dựng các đường thẳng song song với $O B, O A$ cắt $O A, O B$ tại $D$ và $E$. Khi đó $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}$.
  • Mà $\overrightarrow{O D}$ và $\overrightarrow{O A}$ cùng phương nên tồn tại $x$ thỏa $\overrightarrow{O D}=x \cdot \overrightarrow{O A}=x \cdot \vec{a}$; tương tự tồn tại $y$ sao cho $\overrightarrow{O E}=y \cdot \overrightarrow{O B}=y \cdot \vec{b}$.
  • Do đó $\vec{c}=x \cdot \vec{a}+y \cdot \vec{b}$.
  • Giả sử tồn tại $x^{\prime}, y^{\prime}$ thỏa $\vec{c}=x^{\prime} \cdot \vec{a}+y^{\prime} \cdot \vec{b}$. Khi đó $x \cdot \vec{a}+y \cdot \vec{b}=x^{\prime} \cdot \vec{a}+y^{\prime} \cdot b \Leftrightarrow$ $\left(x-x^{\prime}\right) \vec{a}+\left(y-y^{\prime}\right) \vec{b}=\overrightarrow{0}$.
  • Từ tính chất 1, ta có $x = x’, y = y’$. Ta có điều cần chứng minh.

Việc biểu diễn một vec tơ theo hai vec tơ không cùng phương có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh vec tơ bằng nhau, cùng phương, dẫn đến các bài toán chứng minh thẳng hàng, tính toán độ dài, góc, …

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ và điểm $D$ thỏa mãn $\overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$, I là trung điểm của $B D$.
a) Tính $\overrightarrow{A I}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Cho $\overrightarrow{BM} = x \cdot \overrightarrow{BC}$. Tính $\overrightarrow{A M}$ theo $x$ và $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$

Lời giải.

a) Ta có $2 \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A C} \Rightarrow \overrightarrow{A I}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}$.
b) Ta có $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+x(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=(1-x) \overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A C}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ gọi $M$ là điểm thỏa $\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}$.
Giả sử $\overrightarrow{C M}=x \cdot \overrightarrow{C A}+y \cdot \overrightarrow{C B}$. Tính $x, y$.

Lời giải.

Ta có $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C M}+3 \overrightarrow{C B}-3 \overrightarrow{C M}$

$ \Leftrightarrow 4 \overrightarrow{C M}=\overrightarrow{C A}+3 \overrightarrow{C B} \Leftrightarrow \overrightarrow{C M}=$

$\frac{1}{4} \overrightarrow{C A}+\frac{3}{4} \overrightarrow{C B}$.

Từ đó ta có $x=\frac{1}{4}, y=\frac{3}{4}$, do sự biểu diễn $\overrightarrow{C M}$ theo $\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B}$ là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho tam giác $A B C$ và các điểm $I$, J thỏa mãn $2 \overrightarrow{C I}+3 \overrightarrow{B I}=\overrightarrow{0}, 5 \overrightarrow{J B}-2 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$.
a) Tinh $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác $A B C$. Tính $\overrightarrow{A G}$ theo $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}$.

Lời giải
Ta có:
$2 \overrightarrow{C I}+3 \overrightarrow{B I}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{C I}+3(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C I})=\overrightarrow{0} $

$\Leftrightarrow 5 \overrightarrow{C I}+3 \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{C I}=\frac{3}{5} \overrightarrow{C B} $
$ 5 \overrightarrow{J B}-2 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 5 \overrightarrow{J B}-2(\overrightarrow{J B}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{0} $

$\Leftrightarrow 3 \overrightarrow{J B}=2 \overrightarrow{B C} \Leftrightarrow \overrightarrow{B J}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
a) – Tính $\overrightarrow{A I}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
Ta có:
$$
\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C I}=\overrightarrow{A C}+\frac{3}{5} \overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}+\frac{3}{5}(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}
$$

  • Tính $\overrightarrow{A J}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
    Ta có:
    $$
    \overrightarrow{A J}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B J}=\overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{B C} \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{5}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}
    $$

b) Tính $\overrightarrow{A G}$ theo $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}$.
Đặt $\overrightarrow{A G}=x \overrightarrow{A I}+y \overrightarrow{A J}$.

$\overrightarrow{A G} =x\left(\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}\right)+y\left(\frac{5}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}\right) $
$=\left(\frac{3 x}{5}+\frac{5 y}{3}\right) \overrightarrow{A B}+\left(\frac{2 x}{5}-\frac{2 y}{3}\right) \overrightarrow{A C}$

Mặt khác, $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$
$\Rightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ \frac { 3 } { 5 } x + \frac { 5 } { 3 } y = \frac { 1 } { 3 } } \\\\
{ \frac { 2 } { 5 } x – \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 1 } { 3 } }
\end{array} \right.$

$ \left \{\begin{array}{l}
x=\frac{35}{48} \\\\
y=-\frac{1}{16}
\end{array}\right. $

Vậy $\overrightarrow{A G}=\frac{35}{48} \overrightarrow{A I}-\frac{1}{16} \overrightarrow{A J}$

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ và $M$ là trung điểm cạnh $B C ; N$ là điểm thuộc đoạn $A C$ sao cho $A N=2 N C$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.
b) $\overrightarrow{B N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}$
c) $\overrightarrow{M N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}$.

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ có $I$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C, J$ là trung điểm $A C, K$ thuộc $A B$ thoả $A B=3 A K$.
a) Tính $\overrightarrow{B I}, \overrightarrow{B J}, \overrightarrow{B K}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
b) Tính $\overrightarrow{I f}, \overrightarrow{I K}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.

Bài 3. Cho tam giác $A B C$. Lấy $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, A C$. $L$ là điểm thoả mãn $2 \overrightarrow{L A}+5 \overrightarrow{L B}+3 \overrightarrow{L C}=\overrightarrow{0}$
a) Tính $\overrightarrow{B M}, \overrightarrow{B M}, \overrightarrow{B L}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.
b) Tính $\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M L}$ theo $\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}$.

Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau – Phần 2

Leave a reply

Bài 1. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}$. Chứng minh rằng $a=b=c$.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1
$$

Khi đó, $a=b ; b=c ; c=a \Rightarrow a=b=c$.
Bài 2. Cho ba tỉ số bằng nhau là $\dfrac{a}{b+c}, \dfrac{b}{c+a}, \dfrac{c}{a+b}$. Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Lời giải.
$$
\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{2 a+2 b+2 c}=\dfrac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\dfrac{1}{2} \text {. }
$$

Bài 3. Cho $a+b+c+d \neq 0$ và $\dfrac{a}{b+c+d}=\dfrac{b}{a+c+d}=\dfrac{c}{a+b+d}=\dfrac{d}{a+b+c}$.

Tính giá trị của: $A=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{a+d}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{d+a}{b+c}$.

Lời giải.
$$
\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{3 a+3 b+3 c+3 d}=\frac{a+b+c+d}{3(a+b+c+d)}=\frac{1}{3} \text {. }
$$

Khi đó, $3 a=b+c+d \quad ; 3 b=a+c+d \quad ; 3 c=a+b+d \quad ; 3 d=a+b+c$
$$
4 a=a+b+c+d \quad ; 4 b=a+b+c+d \quad ; 4 c=a+b+c+d \quad ; 4 d=a+b+c+d
$$

Khi đó, $4 a=4 b=4 c=4 d \Rightarrow a=b=c=d$.
Vậy $A=4$.

Bài 4. Cho tỉ lệ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
Lời giải.
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}
$$

Bài 5. Cho tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Chứng minh rằng $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.
Lời giải.
$ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k .$
$k^2=\dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a b}{c d} . $
$k^2=\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2} $

Khi đó, $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{a^2-b^2}{c^2-d^2}$.

Bài 6. Cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}$.

Chứng minh rằng: $\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d}$.

Lời giải.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}=k $

$\Rightarrow k^3=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3 . $
$k^3=\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{d} $
$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\dfrac{a}{d} $

Bài tập tự luyện.


Bài 1. Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
(a) $\dfrac{3 a+5 b}{3 a-5 b}=\dfrac{3 c+5 d}{3 c-5 d}$;
(b) $\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$;
(c) $\dfrac{a b}{c d}=\dfrac{(a-b)^2}{(c-d)^2}$;
(d) $\dfrac{7 a^2+5 a c}{7 a^2-5 a c}=\dfrac{7 b^2+5 b d}{7 b^2-5 b d}$.

Bài 2. Cho $\dfrac{a}{2018}=\dfrac{b}{2019}=\dfrac{c}{2020}$.

Chứng minh rằng: $ 4(a-b)(b-c)=(c-a)^2$.

Bài 3. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=\dfrac{a_3}{a_4}=\ldots=\dfrac{a_{2018}}{a_{2019}}$.

Chứng minh rằng: Ta có đẳng thức: $\dfrac{a_1}{a_{2019}}=\left(\dfrac{a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2018}}{a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{2019}}\right)^{2018}$

Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau (Phần 1)

Leave a reply

Lý Ngọc Vy – Giáo viên Star Education

Định nghĩa 1. Thương trong phép chia số $a$ cho số $b(b \neq 0)$ gọi là tỉ số của $a$ và $b$.

Định nghĩa 2. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số.
$$
\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a: b=c: d
$$

Trong đó:

  • $a$ và $d$ gọi là ngoại tỉ.
  • $b$ và $c$ gọi là trung tỉ.

Tinh chất 1. Cho $a, b, c, d$ là các số khác 0 . Ta có một số tính chất sau:
(a) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a d=b c$
(b) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
(c) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$.

Dãy tỉ số bằng nhau.

$$
\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{a-b+c}{x-y+z}
$$

Với điều kiện là mẫu thức khác 0 .

Ví dụ 1. Tìm $x$ để tạo thành các tỉ lệ thức
(a) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20}$
(b) $\dfrac{2}{2,5}=\dfrac{4}{x}$
(c) $\dfrac{3,5}{4 x}=\dfrac{5}{200}$

Lời giải.
(a) $\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{20} \Rightarrow x=20: 4.3 \Rightarrow x=15$.
(b) $\dfrac{2}{2,5}=\dfrac{4}{x} \Rightarrow x=4: 2.2,5 \Rightarrow x=5$.
(c) $\dfrac{3,5}{4 x}=\dfrac{5}{200} \Rightarrow x=3,5: 5.200: 4 \Rightarrow x=35$.

Ví dụ 2. Tìm $x, y$ biết:
(a) $x: y=20: 9$ và $x-y=-22$;
(b) $3 x=4 y$ và $x+2 y=35$;
(c) $x: 2=2 y: 3$ và $x y=27$;

Lời giải.
(a) $\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{x-y}{20-9}=\dfrac{-22}{11}=-2 \Rightarrow x=-40 ; y=-18$.
(b) $\dfrac{x}{4}=\frac{y}{3}=\dfrac{x+2 y}{4+2.3}=\dfrac{35}{10}=\dfrac{7}{2} \Rightarrow x=14 ; y=\dfrac{21}{2}$.
(c) $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2 y}{3}=k$
$k^2=\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{2 y}{3}=\dfrac{x \cdot 2 y}{6}=\dfrac{27 \cdot 2}{6}=9 \Rightarrow k=3$ hoặc $k=-3 \Rightarrow x=6 ; y=\dfrac{9}{2}$ hoặc $x=-6 ; y=\dfrac{-9}{2}$.

Ví dụ 3. Tìm $a, b$ và $c$ trong mỗi trường hợp sau:
(a) $5 a-3 b-3 c=-536$ và $\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6}, \dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8}$;
(b) $3 a-5 b+7 c=86$ và $\dfrac{a+3}{5}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{c-1}{7}$;
(c) $5 a=8 b=3 c$ và $a-2 b+c=34$;
(d) $3 a=7 b$ và $a^2-b^2=160$;

Lời giải.

(a)
$\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6} \Rightarrow \frac{a}{20}=\dfrac{b}{30} ; \dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{8} \Rightarrow \dfrac{b}{30}=\dfrac{c}{48} $
$\dfrac{a}{20}=\dfrac{b}{30}=\dfrac{c}{48}=\dfrac{5 a-3 b-3 c}{5.20-3.30-3.48}=\dfrac{-536}{-134}=4$

$\Rightarrow a=80 ; b=120 ; c=192$
(b)
$ \dfrac{a+3}{5}=\dfrac{b-2}{3}=\dfrac{c-1}{7}=\dfrac{3(a+3)-5(b-2)+7(c-1)}{3.5-5.3+7.7}=\dfrac{3 a-5 b+7 c+12}{49}=2 $
$ \Rightarrow a=7 ; b=8 ; c=15 $
(c)
$5 a=8 b=3 c \Rightarrow \dfrac{a}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{3}}$

$=\dfrac{a-2 b+c}{\dfrac{1}{5}-2 \cdot \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{34}{34}=1$

$\Rightarrow a=24 ; b=15 ; c=40 .
$
(d)
$3 a=7 b \Rightarrow \dfrac{a}{7}=\dfrac{b}{3}=k $
$k^2=\dfrac{a^2}{49}=\dfrac{b^2}{9}=\dfrac{a^2-b^2}{49-9}=\dfrac{160}{40}=4$
$\Rightarrow k=2$ hoặc $k=-2 \Rightarrow a=14$ hoặc $a=-14 ; b=6$ hoặc $b=-6$.

Ví dụ 4. Hưởng ứng phong trào quyên góp sách giáo khoa cũ giúp đỡ học sinh có hoàn cảnh khó khăn, ba lớp 7A, 7B. 7C đã quyên góp số sách tỉ lệ với $3: 4: 5$. Tính số sách giáo khoa mỗi lớp quyên góp, biết số sách quyên góp của lớp 7 hơn lớp 7A là 22 quyển.

Lời giải. Gọi $x, y, z$ lần lượt là số sách của các lớp 7A, 7B, 7C. Ta có
$$
\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{z-x}{5-3}=\frac{22}{2}=11 \Rightarrow x=33 ; y=44 ; z=55
$$

Ví dụ 5. Tìm $a ; b ; c$ biết $\dfrac{12 a-15 b}{7}=\dfrac{20 c-12 a}{9}=\dfrac{15 b-20 c}{11}$ và $a+b+c=48$.
Lời giải.
$\dfrac{12 a-15 b}{7}=\dfrac{20 c-12 a}{9}=\dfrac{15 b-20 c}{11}=\dfrac{12 a-15 b-20 c+12 a-15 b+20 c}{7+9+11}=0 $
$\Rightarrow 12 a=15 b ; 20 c=12 a ; 15 b=20 c . $
$\Rightarrow \dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4} ; \dfrac{c}{3}=\dfrac{a}{5} ; \dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3} $
$\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{5+4+3}=\dfrac{48}{12}=4 $

$\Rightarrow a=20 ; b=16 ; c=12 $

Bài tập.

Bài 1. Tìm số hữu tỉ $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
(a) $6: x=6,5:(-29,25)$;
(b) $14 \frac{2}{3}:\left(-80 \frac{2}{3}\right)=(0,5 . x): 35 \frac{3}{4}$;
(c) $4: x=x: 0,16$;
(d) $(1-x)^3:(-0,5625)=0,525: 0,7$;

Bài 2. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ từng nhóm bốn số sau không?
(a) $-1 ;-3 ;-9 ; 27$;
(b) $-1 ; \frac{-1}{2} ; \frac{-1}{3} \frac{-1}{6}$;
(c) 0,$4 ; 0,04 ; 0,004 ; 0,0004$;
(d) $3^{-3} ; 3^{-5} ; 3^{-7} ; 3^{-11}$

Bài 3. Tìm $a, b, c$ biết

(a) $15 a=10 b=6 c$ và $a b c=-1920$;
(b) $a^2+3 b^2-2 c^2=-16$ và $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$;

Bài 4. Tìm $x ; y ; z$ biết $2 x=3 y ; 4 y=5 z$ và $4 x-3 y+5 z=7$
Bài 5. Tìm $x ; y ; z$ biết $3 x=4 y ; 5 y=6 z$ và $x y z=30$.