Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: ( 1,0 điểm)
Cho $x,y$ là hai số thực thỏa mãn $xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$.
Tính giá trị của biểu thức $M=(x+\sqrt{1+y^2})(y+\sqrt{1+x^2})$.

Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{x+4}+|x|=x^2-x-4$
b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{x}{y+z}=2x-1\\ \frac{y}{z+x}=3y-1\\ \frac{z}{x+y}=5z-1\end{array}$

Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MAN}={45}^{\circ }$.
a) Chứng minh $MN$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ bán kính $AB$.
b) Kė $MP$ song song với $AN$ ( $P$ thuộc đoạn $AB$ ) và kẻ $NQ$ song song với $AM$ ( $Q$ thuộc đoạn $AD$ ). Chứng minh $AP=AQ$.
Bài 4: (2,0 điếm)
Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$.
a) Chứng minh rằng $ab+bc+ca\le 3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$.

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $IH$ tại $K$ và cắt $BC$ tại $M$.
a) Chứng minh tứ giác $IFKC$ nội tiếp và $\frac{BI}{BD}=\frac{CI}{CD}$.
b) Chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$.

Bài 6: (1,0 điểm )
Số nguyên dương $n$ được gọi là “số tốt” nếu $n+1$ và $8n+1$ đều là các số chính phương.
a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có $1,2,3$ chữ số.
b) Tìm các số nguyên $k$ thỏa mãn $|k|\le 10$ và $4n+k$ là hợp số với mọi $n$ là “số tốt”.

Đáp án do Star Education thực hiện

Bài 1. Giải phương trình:

$\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^3+5x^2+4x+1$

Bài 2. Cho đa thức $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a$ là số nguyên dương, biết $f(5)-$ $f(4)=$ 2012. Chứng minh rằng: $f(7)-f(2)$ là hợp số.

Bài 3. Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Bài 4. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ có $AC$ vuông góc với $BD$ tại $H$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AB=3AM$. Trên cạnh $HC$ lấy trung điểm $N$. Chứng minh rằng $MH$ vuông góc với $DN$.

Bài 5. Cho đường tròn tâm $O$ và đường tròn tâm $I$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B(O$ và $I$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB),IB$ cắt $(O)$ tại $E,OB$ cắt $(I)$ tại $F$. Qua $B$ vẽ đường thẳng $MN$ song song với $EF(M$ thuộc $(O),N$ thuộc $(I)$ ).

(a) Chứng minh rằng $OAIE$ nội tiếp.

(b) Chứng minh rằng: $AE+AF=MN$.

Bài 6. Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho trong ba điểm bất kì thì tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó luôn bé hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1007 điểm (kế cả biên).

LỜI GIẢI

Bài 1. Giải phương trình:

$\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^3+5x^2+4x+1$

Lời giải. $\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^3+5x^2+4x+1$

ĐKХĐ: $\frac{-1}{8}\le x\le \frac{23}{5}$

Sử dụng lượng liên hợp, phương trình ban đầu tương đương với:

$\sqrt{8x+1}-3+\sqrt{46-10x}-6+x^3-x^2-4x^2+4x-8x+8=0$

$\iff (x-1)(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8)=0$

Từ đó ta có phương trình có một nghiệm là $x=1$. Xét biểu thức:

$\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8=0$

Từ điều kiện ta có:

$-1<x<5\iff (x+1)(x-5)<0\iff x^2-4x-5<0$

Lại có: $\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}\le \frac{8}{3}<\frac{9}{3}=3\iff \frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-3<0$ Từ đó ta có:

$\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8<0$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x=1$

Bài 2. Cho đa thức $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a$ là số nguyên dương, biết $f(5)-$ $f(4)=2012$. Chứng minh rằng: $f(7)-f(2)$ là hợp số.

Lời giải. Ta có: $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

Từ đó ta tính được: $f(5)=125a+25b+5c+d,f(4)=64a+16b+4c+d$

Vậy: $f(5)-f(4)=61a+9b+c=2012,f(7)=343a+49b+7c+d,f(2)=8a+4b+$ $2c+d$

Vậy: $f(7)-f(2)=335a+45b+5c=5(67a+9b+c)=30a+5(61a+9b+c)=30a+$ 10060

Từ đó ta có: $f(7)-f(2)$ là hợp số vì $a$ là số nguyên dương và nó chia hết cho $2,5,10$.

Bài 3. Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức:

$A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Lời giải.

Cách 1:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+(b^{2}a+a^{2}c+c^{2}b)$

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+a{b}^2)+(b^3+b{c}^2)+(c^3+c{a}^2)+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và do $a+b+c=1$, ta có:

$(a^2+b^2+c^2)\ge 2a^{2}b+2b^{2}c+2c^{2}a+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Mặt khác: $ab+bc+ca=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

Từ đó ta có: $F\ge 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3-3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Hay: $F\ge 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$27(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{(a^2+b^2+c^2)}\ge 2\sqrt{27(a^2+b^2+c^2)\cdot \frac{3}{(a^2+b^2+c^2)}}=18$

$a^2+b^2+c^2\ge \frac{1}{3}(a+b+c{)}^2=\frac{1}{3}$

Vậy: $28(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{(a^2+b^2+c^2)}\ge 18+\frac{1}{3}=\frac{55}{3}$

Từ đó ta có: $F\ge \frac{55}{6}-\frac{3}{2}=\frac{23}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cách 2:

Do $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$ nên ta có:

$(1-c{)}^2=(a+b{)}^2\ge 4ab\iff 1-2c+c^2\ge 4ab\iff a-2ac+a{c}^2\ge 4a^{2}b$

$(1-a{)}^2=(b+c{)}^2\ge 4bc\iff 1-2a+a^2\ge 4bc\iff b-2ab+a^{2}b\ge 4b^{2}c$

$(1-b{)}^2=(c+a{)}^2\ge 4ca\iff 1-2b+b^2\ge 4ca\iff c-2bc+b^{2}c\ge 4a{c}^2$

Hay: $a+b+c-2(ab+bc+ca)\ge 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\iff 1-2(ab+bc+ca)\ge 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Vậy: $F\ge 14[1-2(ab+bc+ca)]+\frac{3(ab+bc+ca)}{1-2(ab+bc+ca)}$

Đạt: $t=1-2(ab+bc+ca),t\ge \frac{1}{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$F\ge 14t+\frac{\frac{3}{2}(1-t)}{t}=14t+\frac{3}{2t}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}t+\frac{27}{2}t+\frac{3}{2t}-\frac{3}{2}\ge \frac{1}{2}t+2\sqrt{\frac{27}{2}t\cdot \frac{3}{2t}}-\frac{3}{2}$

Vậy: $F\ge \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+9-\frac{3}{2}=\frac{23}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 4. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ có $AC$ vuông góc với $BD$ tại $H$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AB=3AM$. Trên cạnh $HC$ lấy trung điểm $N$. Chứng minh rằng $MH$ vuông góc với $DN$.

Lời giải.

• Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm $BM$ và $HB,P$ là giao điểm của $HM$ và $AK$.

• Ta có $KL$ là đường trung bình của tam giác $HMB$ nên $KL$ song song $HM$. Khi đó xét tam giác $AKL$ thì $PH$ là đường trung bình nên $P$ là trung điểm của $AK$.

• Ta có từ $ABCD$ nội tiếp suy ra $HD\cdot HB=HA\cdot AC\Rightarrow HK\cdot HD=HA\cdot HN$, do đó $ADNK$ nội tiếp.

• Suy ra $\mathrm{\angle }NHQ=\mathrm{\angle }AHP=\mathrm{\angle }HAP=\mathrm{\angle }HDN$, suy ra $\mathrm{\angle }HQN={90}^{\circ }$.

Bài 5. Cho đường tròn tâm $O$ và đường tròn tâm $I$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B(O$ và $I$ nằm khác phía đối với đường thẳng $AB),IB$ cắt $(O)$ tại $E,OB$ cắt $(I)$ tại $F$. Qua $B$ vẽ đường thẳng $MN$ song song với $EF(M$ thuộc $(O),N$ thuộc $(I))$.

a) Chứng minh rằng $OAIE$ nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: $AE+AF=MN$.

Lời giải.

a) Chứng minh rằng tứ giác $AOEF$ nội tiếp

Do hai đường tròn $(\mathrm{O})$ và $(\mathrm{I})$ cắt nhau tại $A$ và $B$ nên ta có: $A$ đối xứng với $B$ qua $OI$. Vậy: $\mathrm{\angle }OAI=\mathrm{\angle }OBI$

Ta có tam giác $\mathrm{△}OBE$ cân tại $O$ nên $\mathrm{\angle }OBE=\mathrm{\angle }OEB$, do $\mathrm{\angle }OBE+\mathrm{\angle }OBI={180}^{\circ }$ nên $\mathrm{\angle }OEB+\mathrm{\angle }OBI={180}^{\circ }$. Từ đó ta có: $\mathrm{\angle }OEB+\mathrm{\angle }OAI={180}^{\circ }$

Vậy tứ giác $OAIE$ là tứ giác nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có: tứ giác $OAIF$ là tứ giác nội tiếp.

$\mathrm{\angle }OEA=\mathrm{\angle }OIA$ (tứ giác $OAIE$ là tứ giác nội tiếp)

$\mathrm{\angle }OIA=\mathrm{\angle }OFA$ (tứ giác $OAIF$ là tứ giác nội tiếp)

Vậy: $\mathrm{\angle }OEA=\mathrm{\angle }OFA$ nên tứ giác $OAFE$ là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng: $MN=AE+AF$

Bài toán cần chứng minh tương đương với: $AF=BN$ và $AE=BM$.

Ta chỉ cần chứng minh $AF=BN$ vì $AE=BM$ là điều tương tự.

Để chứng minh $AF=BN$. Ta chỉ cần chứng minh số đo cung $\mathrm{AF}$ bằng số đo cung $\mathrm{BN}(AF,BN$ lần lượt là dây căng cung $\mathrm{AF}$, cung $\mathrm{BN}$ trong đường tròn (I)). Hay chỉ cần chứng minh: số đo cung $\mathrm{AB}$ bằng số đo cung FN. Từ đó ta chứng minh: $\mathrm{\angle }OFA=\mathrm{\angle }FBN$ là bài toán được giải quyết.

Do $EF|MN$ nên ta có: $\mathrm{\angle }OFE=\mathrm{\angle }FBN$

Mà $\mathrm{\angle }OFE=\mathrm{\angle }OAE=\mathrm{\angle }OEA=\mathrm{\angle }OFA$ (tứ giác $AOEF$ là tứ giác nội tiếp)

Từ đó ta có: $\mathrm{\angle }OFA=\mathrm{\angle }FBN$ (đpcm)

Bài 6. Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho trong ba điểm bất kì thì tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó luôn bé hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1007 điểm (kế cả biên).

Lời giải. Gọi $A$ là một điểm bất kì trong 2013 điểm trên. Lấy $A$ làm tâm vẽ đường tròn có bán kính bằng 1 .

Nếu 2012 điểm còn lại thuộc đường tròn $(A)$ thì bài toán được chứng minh xong. Giả tồn tại một số điểm nằm ngoài đường tròn tâm $(A)$. Lấy điểm $(B)$ bất kì trong các điểm đó và vẽ đường tròn tâm $(B)$ có bán kính bằng 1 .

Giả sử tồn tại một điểm $C$ nằm ngoài hai đường tròn $(A)$ và $(B)$ thì $AB,AC$ đều lớn hơn 1. Điều này vô lí.

Từ đó ta có tất cả các điểm đã cho đều thuộc trong hai đường tròn $(A)$ và $(B)$.

Theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại một đường tròn chứa $\frac{2012}{2}+1=1007$ điểm (đpcm).

Bài 1. Cho hai số thực $a,b$ thỏa điều kiện $ab=1,a+b\ne 0$. Tính giá trị của biểu thức:

$P=\frac{1}{(a+b{)}^3}(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3})+\frac{3}{(a+b{)}^4}\left(\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{6}{(a+b{)}^5}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Bài 2. (a) Giải phương trình: $2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}$

(b) Chứng minh rằng: $abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3)$ chia hết cho 7 với mọi số nguyên $a,b,c$

Bài 3. Cho hình bình hành $ABCD$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $CD$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BD$ tại $F$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ cắt đường trung trực của $AC$ tại $E$. Hai đường thẳng $BC$ và $EF$ cắt nhau tại $K$. Tính tỉ số: $\frac{KE}{KF}$.

Bài 4. Cho hai số dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện: $a+b\le 1$. Chứng minh rằng: $a^2-$ $\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\le -\frac{9}{4}$

Bài 5. Cho tam giác $\mathrm{△}ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AN$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BC$ tại $D$. Kẻ đường kính $AE$.

(a) Chứng minh rằng: $BA\cdot BC=2BD\cdot BE$

(b) $CD$ đi qua trung điểm của đường cao $AH$ của tam giác $\mathrm{△}ABC$.

Bài 6. Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng $x_1$ trận và thua $y_1$ trận, người thứ hai thắng $x_2$ và thua $y_2$ trận,… người thứ mười thắng $x_{10}$ trận và thua $y_{10}$. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:

$x_1^2+x_2^2+\dots +x_{10}^2=y_1^2+y_2^2+\dots +y_{10}^2$