Ta có một số kí hiệu thường dùng.
Cho tam giác $A B C$, khi đó
- $a=B C, b=A C, c=A B$
- $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác ABC .
- $S=S_{A B C}$ diện tích tam giác ABC .
- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$
- $m_a, m_b, m_c$ độ dài đường trung tuyến xuất phát từ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.
- $h_a, h_b, h_c$ là độ dài đường cao xuất phát từ $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$.
Định lý Cosin trong tam giác
Định lý. Cho tam giác ABC
Khi đó ta có:
- $a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
- $b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \cos B$
- $c^2=a^2+b^2-2 a b \cdot \cos C$
Chứng minh
Để chứng minh định lý ta có thể sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn, hoặc có thể dùng tích vô hướng, ở đây tôi trình bày theo tích vô hướng.
$a^2=B C^2=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^2$
$=\overrightarrow{A C}^2+\overrightarrow{A B}^2-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$
$=A C^2+A B^2-2 A B \cdot A C \cos A $
$=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$
Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự.
Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau
Hệ quả.
Trong tam giác $A B C$
$$
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} ; \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c} ; \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
$$
Từ đây suy ra tam giác $A B C$ có
$$
A<90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2>a^2
$$
và
$$
A>90^{\circ} \Leftrightarrow b^2+c^2<a^2
$$
Nhận xét:
- Định lý cosin là tổng quát của định lý Pitago nêu lên quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ứng dụng để tính toán độ dài, góc, thiết lập các đẳng thức hình học.
- Hệ quả định lý cosin sử dụng khi ta muốn chuyển các hệ thức về độ dài các cạnh của tam giác.
Định lý Sin trong tam giác
Định lý.
Cho tam giác $A B C$, gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Khi đó
$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$
Chứng minh. Vẽ đường kính $B D$, khi đó $\angle BDC = \angle BAC$ hoặc $\angle BDC = 180^\circ – \angle BAC$, suy ra:
$$
\sin B A C=\sin B D C=\frac{B C}{B D}=\frac{a}{2 R}
$$
suy ra
$$
\frac{a}{\sin A}=2 R
$$
Chứng minh tương tự ta cũng có
$$
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R
$$
Hệ quả
- $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$
- $\sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$
- $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$
Nhận xét:
- Nêu lên mối liên hệ giữa cạnh, góc đối diện và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
- Tính toán các yếu tố của tam giác khi biết sỗ đo hai góc và một cạnh.
- Chứng minh các đẳng thức hình học khác.
Công thức đường trung tuyến
Định lý. (Độ dài đường trung tuyến) Trong tam giác $A B C$, gọi $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ $A, B, C$. Khi đó
- $m_a^2=\frac{1}{2}\left(b^2+c^2\right)-\frac{1}{4} a^2$.
- $m_b^2=\frac{1}{2}\left(a^2+c^2\right)-\frac{1}{4} b^2$.
- $m_c^2=\frac{1}{2}\left(b^2+a^2\right)-\frac{1}{4} c^2$.
Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý này bằng định lý Cosin, áp dụng định lý cosin cho hai tam giác $A M B, A M C$ ta có
$$
\cos A M B=\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot M B}, \cos A M C=\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}
$$
Mà $\cos A M B+\cos A M C=0$ và $M B=M C=\frac{B C}{2}$
$$
\frac{A M^2+M B^2-A B^2}{2 A M \cdot B M}+\frac{A M^2+M C^2-A C^2}{2 A M \cdot M C}=0
$$
Từ đó ta có $2 A M^2=A B^2+A C^2-M B^2-M C^2$ hay $A M^2=\frac{1}{2}\left(A B^2+A C^2\right)-\frac{1}{4} B C^2$, ta có điều cần chứng minh.
Công thức tính diện tích tam giác
Định lý. Các công thức tính diện tích tam giác
- $S=\frac{1}{2} a \cdot h_a=\frac{1}{2} b \cdot h_b=\frac{1}{2} c \cdot h_c$
- $S=\frac{1}{2} a b \cdot \sin C=\frac{1}{2} b c \cdot \sin A=\frac{1}{2} a c \cdot \sin B$
- $S=\frac{a b c}{4 R}$
- $S=p r$
- $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức He-ron)
Chứng minh dành cho bạn đọc.
